函数的单调性与最值（期中复习专项训练）高一数学上学期湘教版

专题 函数的单调性与最值 基础·固本强基 题型1 判断函数的单调性、证明函数的单调性 题型2 求函数的单调区间（重点） 题型3 比较函数值的大小关系（重点） 提升·进阶突破 题型4 根据函数的单调性解不等式 题型5 利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型6 已知函数单调性求参数（难点） 拔高·压轴破难 题型7 根据函数的最值求参数 题型8 恒成立问题、能成立（有解）问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 判断函数的单调性、证明函数的单调性（共4小题） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】① 定定义域；② 拆成一次/二次/反比例/对勾/根式；③ 逐个套增减结论。 【易错】二次函数在 R 上不单调，须写对称轴分区间；反比例有两条分支，不能说“在定义域上”递减。 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 3．已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型2 求函数的单调区间（共4小题） 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 1．函数的单调递减区间为 . 2．已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 3．函数的单调递减区间是 . 4．已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 题型3 比较函数值的大小关系（共5小题） 【模型】把 f 值的大小比较，转化为自变量的大小比较 —— 先搬到同一单调区间。 【步骤】① 用奇偶性把自变量搬到同一侧；② 用单调性比大小；③ 无单调性就插中间量 0、1。 【易错】偶函数用 f(x)=f(|x|)；若 f 关于某直线对称，则比较“到对称轴的远近”，越远值越大（图像开口向上时）。 1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 2．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 4．已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型4 根据函数的单调性解不等式（共4小题） 【模型】脱 f —— 增函数 f(A)>f(B) ⟺ A>B；减函数则方向相反。 【步骤】① 判单调性；② 用奇偶性把式子化成 f(A)>f(B)；③ 脱 f 得不等式（组）；④ 与定义域取交集。 【易错】偶函数 f(A)>f(B) 等价于 |A|>|B|；脱 f 时必须带上定义域限制，这是丢分主因。 1．已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 4．已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是 . 题型5 利用函数单调性求最值或值域（共3小题） 【模型】值域问题 = 端点值比较 + 单调性。 【步骤】① 判断单调性；② 端点代入求最值；③ 含参时按对称轴与区间的位置分类。 【易错】分式函数先分离常数；对勾函数要按区间与极值点的位置分类讨论。 1．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 拔高·压轴破难 题型6 已知函数单调性求参数（共3小题） 【模型】把“在区间 D 上单调”翻译成“对称轴与 D 的位置关系”。 【步骤】① 二次函数看对称轴；② 分段函数看衔接点；③ 解不等式得参数范围。 【易错】分段函数要在衔接点处“左增右增且左端点值 ≤ 右端点值”，光看两段各自单调会漏条件。 1．若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 2．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 3．已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 题型7 根据函数的最值求参数（共3小题） 【模型】最值在哪个端点取 → 分类讨论 → 代回求参数。 【步骤】① 判断轴与区间的位置；② 分“轴在区间左/中/右”三种情况；③ 各求最值解参数；④ 检验。 【易错】分类后必须验根 —— 求出的参数若不满足该分类前提，要舍去。 1．已知函数 的最小值为，则 2．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型8 恒成立问题、能成立（有解）问题（共3小题） 【模型】任意 → 最值。f(x) ≥ a 恒成立 ⟺ f(x)最小值 ≥ a。 【步骤】① 识别“任意/恒成立”；② 转成最值不等式；③ 参变分离或直接求最值；④ 二次在 R 上恒成立用判别式。 【易错】参变分离时除以含参式要讨论正负；方向别搞反 —— 下确界留给参数。 【模型】存在 → 最值。f(x) ≥ a 有解 ⟺ f(x)最大值 ≥ a。（与题型十方向相反） 【步骤】① 识别“存在/有解/为真命题”；② 转成最值不等式；③ 求最值；④ 得参数范围。 【易错】最易与题型十混淆。双变量“任意-存在”题要分清：哪个变量取最值、哪个取值域包含。 1．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． $专题 函数的单调性与最值 基础·固本强基 题型1 判断函数的单调性、证明函数的单调性 题型2 求函数的单调区间（重点） 题型3 比较函数值的大小关系（重点） 提升·进阶突破 题型4 根据函数的单调性解不等式 题型5 利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型6 已知函数单调性求参数（难点） 拔高·压轴破难 题型7 根据函数的最值求参数 题型8 恒成立问题、能成立（有解）问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 判断函数的单调性、证明函数的单调性（共4小题） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】① 定定义域；② 拆成一次/二次/反比例/对勾/根式；③ 逐个套增减结论。 【易错】二次函数在 R 上不单调，须写对称轴分区间；反比例有两条分支，不能说“在定义域上”递减。 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C． 2．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和上分别单调递减． 3．已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由题意，得函数为增函数，由分段函数的单调性，得出关于a的不等式组，解出即可. 【详解】由题意，对任意，，，都有， 得在上单调递增，故，解得， 即a的取值范围是， 故选：C. 4．已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 题型2 求函数的单调区间（共4小题） 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 1．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 2．已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 3．函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 4．已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）函数，再作出图象即可得. （2）结合函数图象可得增区间. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 题型3 比较函数值的大小关系（共5小题） 【模型】把 f 值的大小比较，转化为自变量的大小比较 —— 先搬到同一单调区间。 【步骤】① 用奇偶性把自变量搬到同一侧；② 用单调性比大小；③ 无单调性就插中间量 0、1。 【易错】偶函数用 f(x)=f(|x|)；若 f 关于某直线对称，则比较“到对称轴的远近”，越远值越大（图像开口向上时）。 1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 2．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 3．已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可． 【详解】由， 又函数是区间上的减函数， 所以． 故答案为：． 4．已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性可得的对称轴，结合已知关系式可得单调性，由此依次判断各个选项即可. 【详解】是偶函数，，图象关于对称， 对于任意的，，都有成立， 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 5．已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 提升·进阶突破 题型4 根据函数的单调性解不等式（共4小题） 【模型】脱 f —— 增函数 f(A)>f(B) ⟺ A>B；减函数则方向相反。 【步骤】① 判单调性；② 用奇偶性把式子化成 f(A)>f(B)；③ 脱 f 得不等式（组）；④ 与定义域取交集。 【易错】偶函数 f(A)>f(B) 等价于 |A|>|B|；脱 f 时必须带上定义域限制，这是丢分主因。 1．已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析 (2)所求不等式的解集为 【分析】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】（1）（1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增．                                                                                         （2）因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 3．对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （      ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 4．已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为存在两个不相等且大于等于的实数根，换元，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根， 令，则， 令，则 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型5 利用函数单调性求最值或值域（共3小题） 【模型】值域问题 = 端点值比较 + 单调性。 【步骤】① 判断单调性；② 端点代入求最值；③ 含参时按对称轴与区间的位置分类。 【易错】分式函数先分离常数；对勾函数要按区间与极值点的位置分类讨论。 1．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 3．已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 拔高·压轴破难 题型6 已知函数单调性求参数（共3小题） 【模型】把“在区间 D 上单调”翻译成“对称轴与 D 的位置关系”。 【步骤】① 二次函数看对称轴；② 分段函数看衔接点；③ 解不等式得参数范围。 【易错】分段函数要在衔接点处“左增右增且左端点值 ≤ 右端点值”，光看两段各自单调会漏条件。 1．若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 2．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 3．已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 题型7 根据函数的最值求参数（共3小题） 【模型】最值在哪个端点取 → 分类讨论 → 代回求参数。 【步骤】① 判断轴与区间的位置；② 分“轴在区间左/中/右”三种情况；③ 各求最值解参数；④ 检验。 【易错】分类后必须验根 —— 求出的参数若不满足该分类前提，要舍去。 1．已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 2．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型8 恒成立问题、能成立（有解）问题（共3小题） 【模型】任意 → 最值。f(x) ≥ a 恒成立 ⟺ f(x)最小值 ≥ a。 【步骤】① 识别“任意/恒成立”；② 转成最值不等式；③ 参变分离或直接求最值；④ 二次在 R 上恒成立用判别式。 【易错】参变分离时除以含参式要讨论正负；方向别搞反 —— 下确界留给参数。 【模型】存在 → 最值。f(x) ≥ a 有解 ⟺ f(x)最大值 ≥ a。（与题型十方向相反） 【步骤】① 识别“存在/有解/为真命题”；② 转成最值不等式；③ 求最值；④ 得参数范围。 【易错】最易与题型十混淆。双变量“任意-存在”题要分清：哪个变量取最值、哪个取值域包含。 1．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 2．若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为不等式对恒成立，结合不等式在R上恒成立问题计算即可求解. 【详解】由，得原不等式可转化为， 即对恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 3．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. $