专题02 等式与不等式 14大题型71题（期中专项训练）高一数学上学期人教B版

专题02 等式与不等式 基础·固本强基 题型1 不等式的性质与比较大小 题型2 一元二次不等式的解法（重点） 题型3 分式不等式的解法（重点） 题型4 绝对值不等式的解法 题型5 基本不等式求最值（直接配凑）（重点） 提升·进阶突破 题型1 由解集反求系数（韦达定理） 题型2 二次不等式恒成立求参数（重点） 题型3 含参数二次不等式的求解 题型4 基本不等式：条件最值与配凑（重点） 拔高·压轴破难 题型1 基本不等式链与实际应用（难点） 题型2 不等式与集合、充要条件的交汇 题型3 多元最值与综合压轴（重难点） 题型4 方程（不等式）解集的元素个数与参数（重点） 题型5 不等式与函数的交汇（重难点） 基础·固本强基 题型1 不等式的性质与比较大小（共6题） 【模型】性质判断型：给出若干不等式，判断在已知条件下哪个一定成立。 【步骤】① 看条件（是否要求同号、是否含 0）；② 对每个选项作差或取特值排除；③ 能证明的那个才是"一定成立"。 【易错】忽略乘数的符号（或时不等号方向会变或等号成立）；忽略正负就直接用。 1．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由得，，当时，A错；取，则，B错；取，则，C错；，故，D对．故选：D． 2．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)若非零实数，满足，则下列不等式成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】取，满足，但，A错；取，则，B错；，即，C对；取，则，D错．故选：C． 3．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)（多选）已知，则下列不等式成立的有（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】BCD 【详解】由知，故，A错；，由得，B对；则，，C对；，D对． 故选：BCD． 4．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)（多选）若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若，则　 　B．若，则　　 C．若，则　　 D．若，则 【答案】AC 【详解】对A，由得，故，A对；对B，取，则，B错；对C，，由知，故，C对；对D，取，则，D错．故选：AC． 5．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知，则的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】，，， 因为在上单调递增，则. 故选：A 6．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是____.（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【详解】（1）若，，则，因此，即（1）正确； （2）若，根据不等式性质，可得；即（2）正确； （3）若，，满足，但不满足；（3）错误； （4）若，则，因此，即；故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4） 题型2 一元二次不等式的解法（共5题） 【模型】三个二次型：先看二次项系数化为正，再因式分解（或求根），最后按"大于取两边、小于取中间"写解集。 【步骤】① 化为标准形（二次项系数为正）；② 求对应方程的根；③ 结合图象（抛物线开口向上）写解集；④ 注意端点是否取到。 【易错】二次项系数为负时没先变号，导致"大于取两边"用反；端点该取不取（取等号，不取）。 7．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)不等式的解集为________ 【答案】 【详解】由，抛物线开口向上，"大于零取两边"，故或，解集为． 8．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)不等式的解集为________ 【答案】 【详解】原不等式等价于，即，解得，故解集为（或写成）． 9．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省多校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 【详解】由可得：或，又因为，所以不等式组的解集为. 10．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】甘肃金昌市第一中学2025-2026学年下学期学业水平质量检测（三）高三数学试题 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 11．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【来源】山西长治市襄垣县第一中学校2024-2025学年高二第二学期6月月考数学试题 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 题型3 分式不等式的解法（共6题） 【模型】化为与比较：先移项使右边为，再等价转化为整式不等式组（分母不为零）。 【步骤】① 移项通分，化为（或）；② 等价为且；③ 解整式不等式；④ 剔除使分母为零的根。 【易错】直接去分母（没保证分母正负，不等号方向无法确定）；忘记分母不为零，把使分母为的点写进解集。 12．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)不等式的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】等价于，即，解得或（使分母为零，必须舍去）．故选：D． 13．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】因为 所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为： 15．(25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中)不等式的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】先移项：，通分得，等价于，解得． 故选：A． 16．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)不等式的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】移项得，即，等价于，即，解得． 故选：A． 17．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)不等式的解集是________ 【答案】 【详解】等价于，解得，故解集为． 题型4 绝对值不等式的解法（共4题） 【模型】去绝对值型：用、或（）直接化归。 【步骤】① 把绝对值内的式子看作整体；② 用基本型去掉绝对值符号；③ 解得到的一次不等式（组）；④ 有参数时先由解集端点反求参数。 【易错】忘记必须为正（时解集为空）；把写成（方向搞反）；区间端点取等号与否搞错。 18．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ，所以 . 19．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，知且.当，即且时，因为，所以不等式恒成立；当，即时，，，即，，所以或（与矛盾，舍去）.综上所述，不等式的解集为. 20．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 21．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山西长治市襄垣县第一中学校2024-2025学年高二第二学期6月月考数学试题 【详解】由，令，则，解得，即， 所以． 题型5 基本不等式求最值（直接配凑）（共4题） 【模型】配凑定型：把式子凑成"（和为常数）"或"（积为常数）"，再用求最值。 【步骤】① 确认各量为正（"一正"）；② 配凑使和或积为常数（"二定"）；③ 检验等号能否取到（"三相等"）；④ 写出最值及取到时自变量的值。 【易错】忽略"正数"前提（如时直接用）；等号取不到就下结论；只求最值不验证等号成立条件。 22．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)若，则函数的最小值___. 【答案】5 【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 23．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)已知，则的最大值为________ 【答案】 【详解】由知且，则，当且仅当即时取等号，故最大值为． 24．已知，则的最小值为________ 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 25．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是___． 【答案】（答案不唯一，） 【详解】由题意有：，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 又由恒成立，所以， 所以，即，解得， 故答案为：（答案不唯一，） 提升·进阶突破 题型1 由解集反求系数（韦达定理）（共6题） 【模型】知解集求参数：解集的端点就是对应方程的两根，再用韦达定理列方程组。 【步骤】① 由解集形式判断开口方向（"大于零解集在两边"⇒，"大于零解集在中间"⇒）；② 端点即方程两根；③ 韦达定理列、；④ 回代判断其余结论。 【易错】忽略的符号，导致符号推错；把不等式端点当成方程根时忘了也对应方程根。 26．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)已知方程4的两根为，则_________ 【答案】0 【详解】由题设，且，即， 由. 故答案为：0 27．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】ABC 【详解】解集为"大于零取中间"，故，且方程的两根为与．由韦达定理，得，，于是．故A、B、C正确，D错误．故选：ABC． 28．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知一元二次不等式的解集是，若，则_____. 【答案】 【详解】由题意，方程的两根为，则，于是 ，解得. 故答案为：. 29．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知，是方程的两根，则___． 【答案】22 【详解】因为，是方程的两根， 所以， 所以． 故答案为：22 30．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】BD 【详解】由解集知，且是方程的两根，则，，得，，故A、C错误；，，故B、D正确．故选：BD． 31．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（　　） A．　　 B．不等式的解集是 C．　　 D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】由解集在两边知，且方程两根为，则，得．A错误；即，得，B错误；，C错误；即，除以得，即，解得或，D正确．故选：D． 题型2 二次不等式恒成立求参数（共4题） 【模型】恒成立型：恒成立（且）或退化情形；若含两个字母，可交换"主元"把谁看作变量。 【步骤】① 先看二次项系数能否为（退化成一次或常数，单独讨论）；② 非零时列且（对应恒成立）；③ 双字母恒成立时，把给定范围的那个字母当作主元，转化成一次函数端点控制；④ 端点是否取等要回代检验。 【易错】漏掉二次项系数为的退化情形；的等号没讨论（恒成立时）；主元选错导致讨论复杂。 32．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)若不等式对恒成立，则实数的取值范围为________ 【答案】 【详解】把当作主元，令，．因，关于单调递增，要使恒成立，只需最大值，即，即，解得，故． 33．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)若关于的不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围为________ 【答案】 【详解】当时，不等式化为，恒成立；当时，需，即，解得．综上，的取值范围为． 34．(24-25高一上·江苏南京·阶段检测)已知当时，不等式恒成立，则实数a=________ 【答案】 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故， 故答案为： 35．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)若方程（，）在上有实根，则的最大值为___. 【答案】 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 题型3 含参数二次不等式的求解（共4题） 【模型】分类讨论型：两根含参数时，按两根大小关系分类写解集。 【步骤】① 因式分解（或求根公式）求出两根（含参数）；② 比较两根大小，按参数范围分类；③ 每类下按"大于取两边、小于取中间"写解集；④ 检查两根相等时的特殊情形。 【易错】不比较两根大小就直接写"取两边/取中间"；漏掉两根相等（解集为空或只剩一点）的情形；分类后没写综上。 36．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知函数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，讨论不等式的解集； (3)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【详解】（1）由可得， 故是方程的两个实数根， 故，解得，故， （2）若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得，不等式的解集为； 当时，不等式可变为， 由于，故， 此时不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；. （3）对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，， 所以， 则的取值范围为 37．(25-26高一上·辽宁协作体·期中) （1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 【详解】（1）法一：因为是方程的两个根，则， 所以； 法二：因为是方程的两个根，则， 则； （2）当时，，解得； 当时，， 若 ，即，解得， 当 时，不存在使得； 当时，对任意； 若，即，解得， 当时，，即，即，无解； 当时，，即，； 若，即，解得，且，即 此时方程的两个根为， 当时，， 则不等式的解为； 当时，， 则不等式的解为； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 38．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 【详解】（1）当时， 当时，易知的解集是； 当时，不等式（*）为， 于是， 由知，则（*）的解集是． 综上所述：当时，的解集是； 由，（*）的解集是． （2）当时，， 即． 当时，， 则不等式（*）的解集是 注意到， 故解集中三个整数为0，1，2，则，即 所以实数的取值范围是． （3）不等式（*）整理为 令，注意到为的零点． 当时，在不恒成立； 当时，由及二次函数图像知， 是的不变号零点且二次函数图象开口向下 则，则 则， 当时，取最大值为1． 此时，，则满足题意． 所以的最大值为1． 39．(25-26高一上·辽宁沈阳市·期中)已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)为何值时，的解集为． (3)解不等式． 【详解】（1）由题意知，和是方程的两根， 则，得， 所以方程为， 由韦达定理可得， 解得； （2）由题意可知，关于的不等式的解集为， 所以，， 解得； （3）不等式， 所以，即， ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式无解； 综上知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型4 基本不等式：条件最值与配凑（共4题） 【模型】条件最值型：在约束条件（等式）下求式子的最值——常把条件代入消元，或用"乘法"配凑。 【步骤】① 由条件确定各量为正；② 消元化为单变量后用基本不等式，或把所求式乘以"条件式"再展开配凑；③ 检验等号成立条件是否与约束相容；④ 恒成立类问题先求左边最值，再解参数不等式。 【易错】两次使用基本不等式却没检查两次等号能否同时成立（这是最常见的错因）；求出的最值取不到；恒成立方向搞反（恒成立应取的最大值）。 40．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知正实数满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由得，又，故，即，解得，即（等号在时成立）．要使恒成立，需，故的最小值为．故选：D． 41．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)已知，，且满足，若恒成立，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】用"乘法"：，等号在即，结合得时成立．故，由恒成立得，即，解得． 42．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为___. 【答案】/ 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 43．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知，若，则的最小值为____． 【答案】 【详解】因为，所以， 则，由得：， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型1 基本不等式链与实际应用（共5题） 【模型】最值应用题三步——设变量、列目标函数、凑定值求最值；一元二次型可配方，二次可分拆为""结构，三元连乘可拆成三份凑立方。 【步骤】① 设出变量并写出自变量范围；② 列出目标函数（面积、长度等）；③ 配方或凑定值用基本不等式；④ 检验等号条件落在定义域内，作答带单位。 【易错】等号条件不落在定义域内时最值取不到，必须换方法（如配方）；应用题最后要写"答"并检查是否符合实际意义。 44．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意，知，， 当时，， ，解得， ，． ，， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，最小值为． 故选：D. 45．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为_____． 【答案】 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以，则， 又由，且，所以， 所以， 设，则， 在直角中，， 由勾股定理，可得，即， 整理得，所以， 则的面积为， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的面积得最大值为. 故答案为：. 46．(23-24高一上·云南昆明·阶段检测)已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 47．(25-26高一上·辽宁铁岭市调兵山市第二高级中学·期中)已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由，且，可得，， ，即，A对， ，B错， 取，，C错， ，D错， 故选：A 48．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 【答案】 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型2 不等式与集合、充要条件的交汇（共4题） 【模型】交汇题本质仍是集合包含——把不等式解集求出来，把"充分/必要"翻译成 ，剩下就是数轴端点运算。 【步骤】① 解出各不等式对应的集合；② 翻译条件（""即真子集，""、""等）；③ 数轴上对端点列方程或不等式；④ 检验端点与空集情形。 【易错】含参集合端点能否相等要看条件是否要求"真子集"； 时 常常也是解，勿漏。 49．(25-26高一上·辽宁·期中)已知，，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】设， 所以解得，所以. 因为， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 50．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) 【详解】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合， 可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于， 故， 故， 即. ， 51．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知正数满足，则最小值为____． 【答案】 【详解】由条件得，则， 于是 ，当且仅当，且，即时取等号． 故答案为： 52．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) 【详解】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以 对任意恒成立， 因为， 所以 所以， 对任意恒成立， 而， 当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 题型3 多元最值与综合压轴（共5题） 【模型】多元最值三板斧——消元化一元、""的代换凑定值、齐次式换元；带参数的最值结果是关于参数的式子，最后还要验证等号条件可实现。 【步骤】① 观察条件与目标的次数与结构，选消元或代换；② " 的代换"展开后按""或""凑基本不等式；③ 含参数结果需写出取等时各变量的值（用参数表示）；④ 检验取等条件满足所有约束。 【易错】代换后展开的各项必须为正；含参数取等条件要回代原约束检验，取不到等的"最小值"是错的。 53．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)若，，且，则（　　） A．有最小值144　B．有最大值288 C．有最小值　 D．有最小值 【答案】C 【详解】对于A选项，，，，， 当且仅当时等号成立，的最大值为.故A错误； 对于B选项，，，，， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为.故B错误； 对于C选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， 当且仅当时等号成立，的最小值为.故C正确； 对于D选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， ，的最大值为， 当且仅当时等号成立.故D错误. 故选：C. 54．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】因为，，， 所以 ， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 55．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下： ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题： 已知，，且，则的最小值是多少? 【详解】（1）已知a，b，c为正实数，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证. （2）已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. （3）已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 56．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中) （1）已知，求的最小值； （2）已知，，求的最小值． 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. （2）由，，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 57．(25-26高一上·浙江·期中)已知，，且，则的最小值为________ 【答案】 【详解】由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 题型4 方程（不等式）解集的元素个数与参数（共4题） 【模型】元素个数型：先化成整式方程（不等式），再讨论"恰有一个解"的两种成因——判别式为（重根），或两根中有一个是增根被舍去。 【步骤】① 先写出隐含条件（分母不为零），标出"增根"；② 化为整式方程；③ 分两类讨论：（重根且不是增根）与"一根为增根、另一根保留"；④ 检验答案是否满足"恰有一个解"。 【易错】忘记分母不为零的限制，把增根也算进去；只想到而漏掉"一根被舍去"的情形；求出参数后不回代检验。 58．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为________ 【答案】 【详解】由，原方程化为，即．① 若该方程有两个相等实根，则，得，此时根为，符合；② 若该方程有两个不等实根且其中一根为增根，代入得，即，此时方程为，根为与，舍去后只剩一个元素，符合．故的取值集合为． 59．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)关于的方程的解集中只含有一个元素，则________ 【答案】或或 【详解】由知且．原方程化为，即．令（），方程解的个数即直线与图象（去掉与两点）的交点个数．当时相切于顶点，一个解；当时（舍去）与，剩一个解；当时（舍去）与，剩一个解．故或或． 60．(25-26高一上·上海·阶段检测)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为________ 【答案】 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以方程的两根为，其中， 所以，即，所以， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 61．关于的不等式的解集为，则________ 【答案】 【详解】由题意和5为方程的根， 则，解得， 所以． 故答案为：. 题型5 不等式与函数的交汇（共10题） 【模型】函数载体型：把恒成立、有解问题挂在二次函数（或含参函数）上，转化成最值或判别式问题。 【步骤】① 把不等式整理成（或）的形式；② 分清是"恒成立"（对一切）还是"有解"（存在）——恒成立看最小值，有解看最大值；③ 含参时可用判别式或分离参数；④ 注意区间端点与退化情形。 【易错】把"有解"与"恒成立"搞混（有解是存在量词，只需最大值满足；恒成立是全称量词，需要最小值满足）；分离参数时不等号方向随分母正负变化。 62．(25-26高一上·辽宁铁岭市调兵山市第二高级中学·期中)已知函数，若不等式恒成立，求的取值范围 【答案】 【详解】由得，即对任意恒成立．二次项系数，故只需，即，解得． 63．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知函数满足，则的最大值为________ 【答案】 【详解】由得，即．由基本不等式（或）得，当且仅当时取等号，故的最大值为． 64．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知函数，若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】 【详解】由整理得对任意恒成立，即（）恒成立．由基本不等式，当且仅当时取等号，故，于是． 65．(25-26高一上·北京平谷·阶段检测)若对任意实数都有意义，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】若对任意实数都有意义， 则对任意实数恒成立， 当，恒成立，符合题意； 当时，要使对任意实数恒成立， 则有. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 66．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)若对，使得成立，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 故答案为：. 67．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为____． 【答案】 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 68．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知函数. (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. （2）由题意，即，即. 当时，解原不等式得， 当时，解原不等式得， 当时，解原不等式得. 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. （3）设这两个根分别为，则， 则，即，即， 则解得 所以实数的取值范围是. 69．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知关于的二次函数． (1)若的解集为，求实数、的值； (2)当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若实数满足，求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为的解集为， 所以与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：. （2）当时，在上恒成立 则必有：, 所以实数的取值范围为； （3）因为，则不等式化为：， 因式分解为：. 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为. 综上所述：当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 70．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知函数． (1)若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）①由题意，为方程的根，且， 则，解得； ② 存在实数，对任意时，有成立， 由①知，， 由， 则， 即 对任意成立， 则，解得， 则的取值范围为. （2）由，则， 即， 当时，不等式为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式为， 令，得， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 71．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)设函数. (1)若关于x的不等式在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式. 【详解】（1）由题意可得，关于x的不等式在实数集R上恒成立， 当时，，所以恒成立； 当，因为不等式在实数集R上恒成立， 所以, 解得， 综上所述，实数a的取值范围是. （2）因为， 当时， 由， 得， 所以， 若时，则不等式变为，可得； 若时，则不等式可变为， 当时，即，可得； 当时，即，显然不成立，解集为； 当时，即，可得， 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 基础·固本强基 题型1 不等式的性质与比较大小 题型2 一元二次不等式的解法（重点） 题型3 分式不等式的解法（重点） 题型4 绝对值不等式的解法 题型5 基本不等式求最值（直接配凑）（重点） 提升·进阶突破 题型1 由解集反求系数（韦达定理） 题型2 二次不等式恒成立求参数（重点） 题型3 含参数二次不等式的求解 题型4 基本不等式：条件最值与配凑（重点） 拔高·压轴破难 题型1 基本不等式链与实际应用（难点） 题型2 不等式与集合、充要条件的交汇 题型3 多元最值与综合压轴（重难点） 题型4 方程（不等式）解集的元素个数与参数（重点） 题型5 不等式与函数的交汇（重难点） 基础·固本强基 题型1 不等式的性质与比较大小（共6题） 【模型】性质判断型：给出若干不等式，判断在已知条件下哪个一定成立。 【步骤】① 看条件（是否要求同号、是否含 0）；② 对每个选项作差或取特值排除；③ 能证明的那个才是"一定成立"。 【易错】忽略乘数的符号（或时不等号方向会变或等号成立）；忽略正负就直接用。 1．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)若非零实数，满足，则下列不等式成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)（多选）已知，则下列不等式成立的有（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)（多选）若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若，则　 　B．若，则　　 C．若，则　　 D．若，则 5．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知，则的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是____.（填所有正确命题的序号） 题型2 一元二次不等式的解法（共5题） 【模型】三个二次型：先看二次项系数化为正，再因式分解（或求根），最后按"大于取两边、小于取中间"写解集。 【步骤】① 化为标准形（二次项系数为正）；② 求对应方程的根；③ 结合图象（抛物线开口向上）写解集；④ 注意端点是否取到。 【易错】二次项系数为负时没先变号，导致"大于取两边"用反；端点该取不取（取等号，不取）。 7．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)不等式的解集为________ 8．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)不等式的解集为________ 9．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 10．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 题型3 分式不等式的解法（共6题） 【模型】化为与比较：先移项使右边为，再等价转化为整式不等式组（分母不为零）。 【步骤】① 移项通分，化为（或）；② 等价为且；③ 解整式不等式；④ 剔除使分母为零的根。 【易错】直接去分母（没保证分母正负，不等号方向无法确定）；忘记分母不为零，把使分母为的点写进解集。 12．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)不等式的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 13．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)不等式的解集为_____. 14．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)不等式的解集是_____． 15．(25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中)不等式的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)不等式的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 17．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)不等式的解集是________ 题型4 绝对值不等式的解法（共4题） 【模型】去绝对值型：用、或（）直接化归。 【步骤】① 把绝对值内的式子看作整体；② 用基本型去掉绝对值符号；③ 解得到的一次不等式（组）；④ 有参数时先由解集端点反求参数。 【易错】忘记必须为正（时解集为空）；把写成（方向搞反）；区间端点取等号与否搞错。 18．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 19．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 21．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 基本不等式求最值（直接配凑）（共4题） 【模型】配凑定型：把式子凑成"（和为常数）"或"（积为常数）"，再用求最值。 【步骤】① 确认各量为正（"一正"）；② 配凑使和或积为常数（"二定"）；③ 检验等号能否取到（"三相等"）；④ 写出最值及取到时自变量的值。 【易错】忽略"正数"前提（如时直接用）；等号取不到就下结论；只求最值不验证等号成立条件。 22．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)若，则函数的最小值___. 23．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)已知，则的最大值为________ 24．已知，则的最小值为________ 25．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是___． 提升·进阶突破 题型1 由解集反求系数（韦达定理）（共6题） 【模型】知解集求参数：解集的端点就是对应方程的两根，再用韦达定理列方程组。 【步骤】① 由解集形式判断开口方向（"大于零解集在两边"⇒，"大于零解集在中间"⇒）；② 端点即方程两根；③ 韦达定理列、；④ 回代判断其余结论。 【易错】忽略的符号，导致符号推错；把不等式端点当成方程根时忘了也对应方程根。 26．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)已知方程4的两根为，则_________ 27．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知一元二次不等式的解集是，若，则_____. 29．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知，是方程的两根，则___． 30．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 31．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（　　） A．　　 B．不等式的解集是 C．　　 D．不等式的解集为 题型2 二次不等式恒成立求参数（共4题） 【模型】恒成立型：恒成立（且）或退化情形；若含两个字母，可交换"主元"把谁看作变量。 【步骤】① 先看二次项系数能否为（退化成一次或常数，单独讨论）；② 非零时列且（对应恒成立）；③ 双字母恒成立时，把给定范围的那个字母当作主元，转化成一次函数端点控制；④ 端点是否取等要回代检验。 【易错】漏掉二次项系数为的退化情形；的等号没讨论（恒成立时）；主元选错导致讨论复杂。 32．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)若不等式对恒成立，则实数的取值范围为________ 33．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)若关于的不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围为________ 34．(24-25高一上·江苏南京·阶段检测)已知当时，不等式恒成立，则实数a=________ 35．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)若方程（，）在上有实根，则的最大值为___. 题型3 含参数二次不等式的求解（共4题） 【模型】分类讨论型：两根含参数时，按两根大小关系分类写解集。 【步骤】① 因式分解（或求根公式）求出两根（含参数）；② 比较两根大小，按参数范围分类；③ 每类下按"大于取两边、小于取中间"写解集；④ 检查两根相等时的特殊情形。 【易错】不比较两根大小就直接写"取两边/取中间"；漏掉两根相等（解集为空或只剩一点）的情形；分类后没写综上。 36．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知函数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，讨论不等式的解集； (3)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 37．(25-26高一上·辽宁协作体·期中) （1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 38．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 39．(25-26高一上·辽宁沈阳市·期中)已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)为何值时，的解集为． (3)解不等式． 题型4 基本不等式：条件最值与配凑（共4题） 【模型】条件最值型：在约束条件（等式）下求式子的最值——常把条件代入消元，或用"乘法"配凑。 【步骤】① 由条件确定各量为正；② 消元化为单变量后用基本不等式，或把所求式乘以"条件式"再展开配凑；③ 检验等号成立条件是否与约束相容；④ 恒成立类问题先求左边最值，再解参数不等式。 【易错】两次使用基本不等式却没检查两次等号能否同时成立（这是最常见的错因）；求出的最值取不到；恒成立方向搞反（恒成立应取的最大值）。 40．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知正实数满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 41．(25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)已知，，且满足，若恒成立，则的取值范围为________ 42．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为___. 43．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知，若，则的最小值为____． 拔高·压轴破难 题型1 基本不等式链与实际应用（共5题） 【模型】最值应用题三步——设变量、列目标函数、凑定值求最值；一元二次型可配方，二次可分拆为""结构，三元连乘可拆成三份凑立方。 【步骤】① 设出变量并写出自变量范围；② 列出目标函数（面积、长度等）；③ 配方或凑定值用基本不等式；④ 检验等号条件落在定义域内，作答带单位。 【易错】等号条件不落在定义域内时最值取不到，必须换方法（如配方）；应用题最后要写"答"并检查是否符合实际意义。 44．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 45．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为_____． 46．(23-24高一上·云南昆明·阶段检测)已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 47．(25-26高一上·辽宁铁岭市调兵山市第二高级中学·期中)已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 48．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 题型2 不等式与集合、充要条件的交汇（共4题） 【模型】交汇题本质仍是集合包含——把不等式解集求出来，把"充分/必要"翻译成 ，剩下就是数轴端点运算。 【步骤】① 解出各不等式对应的集合；② 翻译条件（""即真子集，""、""等）；③ 数轴上对端点列方程或不等式；④ 检验端点与空集情形。 【易错】含参集合端点能否相等要看条件是否要求"真子集"； 时 常常也是解，勿漏。 49．(25-26高一上·辽宁·期中)已知，，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 50．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 51．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知正数满足，则最小值为____ 52．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 题型3 多元最值与综合压轴（共5题） 【模型】多元最值三板斧——消元化一元、""的代换凑定值、齐次式换元；带参数的最值结果是关于参数的式子，最后还要验证等号条件可实现。 【步骤】① 观察条件与目标的次数与结构，选消元或代换；② " 的代换"展开后按""或""凑基本不等式；③ 含参数结果需写出取等时各变量的值（用参数表示）；④ 检验取等条件满足所有约束。 【易错】代换后展开的各项必须为正；含参数取等条件要回代原约束检验，取不到等的"最小值"是错的。 53．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)若，，且，则（　　） A．有最小值144　B．有最大值288 C．有最小值　 D．有最小值 54．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 55．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下： ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题： 已知，，且，则的最小值是多少? 56．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中) （1）已知，求的最小值； （2）已知，，求的最小值． 57．(25-26高一上·浙江·期中)已知，，且，则的最小值为________ 题型4 方程（不等式）解集的元素个数与参数（共4题） 【模型】元素个数型：先化成整式方程（不等式），再讨论"恰有一个解"的两种成因——判别式为（重根），或两根中有一个是增根被舍去。 【步骤】① 先写出隐含条件（分母不为零），标出"增根"；② 化为整式方程；③ 分两类讨论：（重根且不是增根）与"一根为增根、另一根保留"；④ 检验答案是否满足"恰有一个解"。 【易错】忘记分母不为零的限制，把增根也算进去；只想到而漏掉"一根被舍去"的情形；求出参数后不回代检验。 58．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为________ 59．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)关于的方程的解集中只含有一个元素，则________ 60．(25-26高一上·上海·阶段检测)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为________ 61．关于的不等式的解集为，则________ 题型5 不等式与函数的交汇（共10题） 【模型】函数载体型：把恒成立、有解问题挂在二次函数（或含参函数）上，转化成最值或判别式问题。 【步骤】① 把不等式整理成（或）的形式；② 分清是"恒成立"（对一切）还是"有解"（存在）——恒成立看最小值，有解看最大值；③ 含参时可用判别式或分离参数；④ 注意区间端点与退化情形。 【易错】把"有解"与"恒成立"搞混（有解是存在量词，只需最大值满足；恒成立是全称量词，需要最小值满足）；分离参数时不等号方向随分母正负变化。 62．(25-26高一上·辽宁铁岭市调兵山市第二高级中学·期中)已知函数，若不等式恒成立，求的取值范围 63．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知函数满足，则的最大值为________ 64．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知函数，若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 65．(25-26高一上·北京平谷·阶段检测)若对任意实数都有意义，则实数的取值范围是________ 66．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)若对，使得成立，则实数的取值范围为___． 67．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为____． 68．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知函数. (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若方程有两实根，且两实根均大于1，求实数的取值范围. 69．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知关于的二次函数． (1)若的解集为，求实数、的值； (2)当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若实数满足，求关于的不等式的解集． 70．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知函数． (1)若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)求关于的不等式的解集． 71．(25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中)设函数. (1)若关于x的不等式在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $