专题03 函数的概念和性质（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版

专题03 函数的概念和性质 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数的概念与三要素 / 考点二 函数的单调性与最值 / 考点三 函数的奇偶性 05 重难题型突破 题型一 具体函数的定义域 / 题型二 抽象函数的定义域 / 题型三 函数的值域 / 题型四 相同函数的判断 / 题型五 函数解析式的求法 / 题型六 函数单调性的判断 / 题型七 已知单调性求参数 / 题型八 函数奇偶性的判断 / 题型九 函数奇偶性的应用 / 题型十 分段函数 / 题型十一 函数性质的综合应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 函数的概念和性质是高一上学期期中必考的核心板块，分值通常约占 到 分。 命题侧重：①函数概念与三要素（定义域、值域、对应关系）；②具体函数与抽象函数定义域；③函数单调性、奇偶性的判断与应用；④分段函数；⑤函数解析式的求法；⑥函数性质的综合应用。 基础题（约 题）：求定义域、判断同一函数、简单值域、奇偶性判断、函数图象。 中档题（约 题）：抽象函数定义域、换元与分离常数求值域、已知单调性求参数、由奇偶性解不等式。 压轴题（约 题）：抽象函数恒等式、分段函数与最值、函数性质综合（单调性＋奇偶性＋解不等式）。 复习建议：①求定义域抓住使式子有意义（分式、根式、次幂）；②抽象函数定义域看 的作用域不变；③单调性用定义法作差变形定号，已知单调求参常需分类讨论；④奇偶性先看定义域关于原点对称，再用 与 的关系。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 函数的概念与三要素（定义域、值域、对应关系），函数的表示方法，单调性、奇偶性的定义与图象特征。 理解 由解析式求定义域与值域，判断两个函数是否相同，判断并证明函数的单调性、奇偶性，求抽象函数定义域。 应用 已知单调性/奇偶性求参数或解不等式，求函数解析式（换元、待定系数、方程组法），分段函数求值、最值与参数，函数性质综合问题。 知识体系构建 ┌─ 函数的概念和性质 │ ┌─ 函数概念 │ │ ├─ 三要素：定义域、值域、对应关系 │ │ ├─ 定义域：使解析式有意义（分式、偶次根式、次幂） │ │ ├─ 同一函数：定义域与对应关系都相同 │ │ └─ 解析式求法：待定系数、换元、方程组、配凑 │ ┌─ 单调性 │ │ ├─ 定义：<且 <为增，作差变形定号 │ │ ├─ 判断：定义法、图象法、复合函数同增异减 │ │ ├─ 求参数：分段端点衔接、恒正恒负条件、分类讨论 │ │ └─ 最值：端点与极值点比较、换元配方法 │ ┌─ 奇偶性 │ │ ├─ 前提：定义域关于原点对称 │ │ ├─ 偶函数：，图象关于 轴对称 │ │ ├─ 奇函数：，图象关于原点对称 │ │ └─ 应用：求值、结合单调性解不等式 │ └─ 分段函数 │ ├─ 求值：分段代入、判断所在区间 │ ├─ 最值：各段分别求再比较 │ └─ 求参：单调衔接、值域合并、恒成立 └─ 思想方法：定义法、数形结合、分类讨论、转化与化归 核心考点精讲 考点一 函数的概念与三要素 ⚠️记忆口诀：函数三要素，定义域值域对应关系齐。 定义：设 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 : 为从集合 到集合 的一个函数。 三要素：定义域、值域、对应关系。求具体函数定义域需满足：分式分母不为 ，偶次根式被开方数非负，次幂底数不为 。 同一函数：只有当两个函数的定义域与对应关系都相同时，才表示同一个函数。 ⚠️易混易错： ①定义域是自变量的取值集合，值域是函数值的集合，两者不可混淆； ②判断同一函数须定义域与对应关系都相同，仅解析式形似不够； ③求定义域时多个条件需取交集，结果用区间或集合表示。 考点二 函数的单调性与最值 ⚠️记忆口诀：作差变形定符号，同增异减看区间。 增函数：对定义域内任意 <，有 <；用差法，即 <。 减函数：对定义域内任意 <，有 >。单调性是函数在定义域内某个区间上的性质。 已知单调性求参数：先由单调性建立关于参数的不等式，注意分段端点处函数值的大小衔接与分类讨论。 ⚠️易混易错： ①单调性是定义域内某区间上的性质，区间必须在定义域内； ②用定义法证明单调性，作差后要能判断符号，常用因式分解、通分、分子有理化； ③分段函数单调递增，除各段递增外，还要保证段与段衔接处左端函数值不超过右端函数值。 考点三 函数的奇偶性 ⚠️记忆口诀：奇偶先看定义域，对不对称是前提。 偶函数：对定义域内任意 ，都有 ，图象关于 轴对称。 奇函数：对定义域内任意 ，都有 ，图象关于原点对称。 前提条件：定义域必须关于原点对称，否则函数不具有奇偶性。奇函数若在 处有定义，则 。 ⚠️易混易错： ①判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称； ②奇函数在 处有定义时必有 ，可用来求参数； ③奇偶性常与单调性结合解不等式，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。 重难题型突破 题型一 具体函数的定义域 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为 . . . . ∪ 【答案】 【分析】分式分母不为 且偶次根式被开方数非负。 【详解】需 >且 ，即 >且 ，故定义域为 ，选 。 💡破题要诀 具体函数定义域，分母不为 、偶次根式被开方数、次幂底数，多个条件取交集。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为( ) . . . ∪. 【答案】 【分析】被开方数非负，解 。 【详解】由 得 或 ，定义域为 ∪，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 幂函数 的定义域为 . . . . 【答案】 【分析】，根式被开方数非负且分母不为 。 【详解】，需 >，定义域为 ，选 。 题型二 抽象函数的定义域 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 . ∪. ∪. ∪. 【答案】 【分析】抽象函数定义域看 的作用域不变：；同时分母 不为 。 【详解】由 得 ；又 ，即 。故定义域为 ∪，选 。 💡破题要诀 抽象函数求定义域，抓住 后面的括号整体范围不变（等于已知定义域），再叠加分母、根式等自身限制。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 . . . . 【答案】 【分析】先由 的定义域求 的作用域，再令 在该范围内。 【详解】定义域为 ，则 ，，即 的作用域为 。令 ，解得 ，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为 ，则 的定义域为 . . . . 【答案】 【分析】令 。 【详解】由 <<得 <<，即 <<，定义域为 ，选 。 题型三 函数的值域 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 函数 的值域为 . . . . 【答案】 【分析】含根式与一次式，用换元法令 ，化为二次函数求最值。 【详解】令 ，则 ，。当 时取最大值 ，故值域为 ，选 。 💡破题要诀 含根式的值域问题用换元法，令根式为 （注意 的范围），转化为二次函数配方法求最值。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 设 ，则函数 的最小值为( ) . . . . 【答案】 【分析】先求两函数交点，画出分段函数 的图象，观察最低点。 【详解】令 ，解得 或 。作出 图象可知，当 <或 >时取 ，当 时取 ，最低点处 ，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，，则函数 的值域为( ) . . . . 【答案】 【分析】二次函数配方法，结合对称轴与区间端点求最值。 【详解】，对称轴 。时，为最小值，为最大值，值域为 ，选 。 题型四 相同函数的判断 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列四组中的函数 、，表示同一个函数的是 . ，⁰　. ，. ，. ，⁹ 【答案】 【分析】同一函数要求定义域与对应关系都相同，逐组比较。 【详解】中 ⁰ 的定义域为 ∪，与 定义域 不同；中 定义域为 ；中 定义域为 ；中 ⁹，定义域为 ，与 相同，选 。 💡破题要诀 判断同一函数先比定义域，再比对应关系（解析式是否可化简为一致）；定义域不同必不是同一函数。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列各组函数表示同一个函数的是 . ，. ⁰，. ，. ， 【答案】 【分析】同一函数须定义域与对应关系都相同。 【详解】中 ，定义域为 ，与 定义域、对应关系均相同，是同一函数；、、各组定义域不同，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 下列函数中，与函数 表示同一个函数的是( ) . . . . 【答案】 【分析】比较定义域与对应关系。 【详解】定义域为 。定义域 ；定义域 ；为 ；中 ，定义域 ，选 。 题型五 函数解析式的求法 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知二次函数 满足 ，且 ，则 ____。 【答案】 【分析】设 ，代入恒等式比较系数，再用 定 。 【详解】设 。，故 ，，得 ，。又 ，。所以 。 💡破题要诀 已知函数类型求解析式用待定系数法，代入恒等式比较对应项系数；已知 与 关系可用换元或方程组法。 迁移应用 1．（25-26高一上·期中联考） 已知函数 满足 ，则 ____。 【答案】 【分析】将 换为 得另一个方程，与已知式联立解方程组。 【详解】由 ①，把 换成 得 ②。①② 得 ，即 ，。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 一次函数 满足 ，则 的解析式为____。 【答案】或 【分析】设 （），代入 比较系数，注意解有两组。 【详解】设 。，故 ，。时 ，；时 ，。所以 或 。 题型六 函数单调性的判断 典例1 （25-26高一上·期中联考） 判断函数 在 上的单调性，并利用定义证明。 【答案】在 上单调递增。 【分析】先化简 ，再任取 <，作差判断符号。 【详解】。分子分母同除以 得 。任取 <，则 <，所以 >，即 <。故 在 上单调递增。 💡破题要诀 证明单调性用定义法：任取 <，作差 ，通过变形（通分、因式分解、分子有理化）判断符号。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 下列函数中，在 上单调递减的是( ) . . . . 【答案】 【分析】结合一次、二次函数图象判断各段单调性。 【详解】为一次函数，斜率 <，在 （含 ）上单调递减，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知，则 的单调递减区间为____。 【答案】 【分析】二次函数配方法，看开口与对称轴。 【详解】，开口向上，对称轴 ，故单调递减区间为 。 题型七 已知单调性求参数 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 （）在 上单调，求实数 的取值范围。 【答案】或 【分析】对 分类：时一次函数；时由对称轴与区间位置及开口方向决定单调性。 【详解】若 ，在 上单调递减，符合。若 ，对称轴 。要使其在 上单调：开口向上（>）时需对称轴 ，即 且 >，得 ；开口向下（<）时在 上恒单调递减，符合。综上 或 。 💡破题要诀 已知单调性求参数，先按二次项系数是否为 分类，再结合对称轴与单调区间端点位置、开口方向列不等式求解。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知幂函数 在定义域上单调递减，若 >且 >，则实数 的取值范围为____。 【答案】 【分析】由单调递减及根式要求列出不等式组求解。 【详解】由 >，>，>得 <，>，<，取交集得 <<。 题型八 函数奇偶性的判断 典例1 （25-26高一上·期中联考） 若幂函数 为奇函数，则实数 ____。 . . . . 或 【答案】 【分析】幂函数系数为 求 ，再验证奇偶性。 【详解】由幂函数定义，，即 ，解得 或 。当 时 ⁴ 为偶函数；当 时 为奇函数。故 ，选 。 💡破题要诀 幂函数系数须为 先定参数，再代入验证奇偶性（与 的关系），注意排除不符的根。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 若偶函数 的定义域为 ，则实数 ____。 【答案】 【分析】偶函数定义域关于原点对称，两端点互为相反数。 【详解】定义域关于原点对称，故 ，即 ，。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的奇偶性是____。 【答案】奇函数 【分析】定义域 关于原点对称，计算 。 【详解】定义域为 ，，故 为奇函数。 题型九 函数奇偶性的应用 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 为定义在 上的奇函数，在 上单调递增，且 ，则不等式 >的解集为 . ∪. ∪. . 【答案】 【分析】利用奇函数 化简不等式，结合单调性转化为自变量范围。 【详解】为奇函数，，故原不等式化为 >，即 <。当 >时，需 <，由单调递增得 <，即 <<；当 <时，>，由单调性得 >，即 <<。综上解集为 ∪，选 。 💡破题要诀 由奇偶性转化 ，结合单调性把函数值大小比较转化为自变量大小比较，注意分母不为 与分段讨论。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知 是奇函数，且 ，则 ____。 【答案】 【分析】奇函数性质 。 【详解】。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 为 上的奇函数，且 存在，则 的值等于____。 【答案】 【分析】奇函数在 处有定义时 。 【详解】由 ，即 ，故 。 题型十 分段函数 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 ，且对于任意 、，有 >（），则实数 的取值范围是( ) . . . . 【答案】 【分析】条件说明 为增函数，两段分别增且端点衔接。 【详解】在 上单调递增。时，开口向下，对称轴 ，需 使其在 递增；>时，递增需 >。且分段衔接处 ⁺，即 ，得 。综上 <，选 。 💡破题要诀 分段函数单调递增，要求各段内递增且分段端点处左端函数值不超过右端函数值，联立求解参数范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围为 . . . . 【答案】 【分析】分别研究两段值域，再合并成 。 【详解】时 ，且 。<时 递增，值域为 。要合并为 ，需 ... 且 能取到 。由 需 且 得 ；再分 与 <讨论，最终 ，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，则 的值等于____。 【答案】 【分析】先判断自变量所在区间，逐层代入。 【详解】<，故 。又 <，。故 。 题型十一 函数性质的综合应用 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 的定义域为 ，对任意实数 、满足 。当 >时，<，则下列选项正确的是 . . 函数 为奇函数　. 为 上的减函数　. 对 ∀，恒有 > 【答案】 【分析】先由恒等式求 ，再由定义判断奇偶、单调，最后验证 是否成立。 【详解】令 ，得 ，正确。令 ，，故 ，即 满足 ，不满足奇函数，错误。任取 <，>，<，而 <，故 递减，正确。>，递减且值未定小于 ，故 <，错误。故选 。 💡破题要诀 抽象函数综合题，先取特殊值（令 、令 等）求出函数值，再用定义判断奇偶与单调，最后逐项验证。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知函数 对任意 、满足 ，且当 >时 <。则下列结论正确的是( ) . . . 在 上单调递减　. 不等式 >的解集为 【答案】 【分析】分别用特殊值、定义法证明单调性、结合单调性解不等式。 【详解】令 得 ，对。，故 错。任取 <，>，<，单调递减，对。由 >及单调递减得 <，即 <，解得 <<，对。选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增。若 ，则不等式 <的解集为 【答案】∪ 【分析】结合奇偶性与单调性判断 的符号分布。 【详解】奇函数在对称区间单调性相同，故在 上也递增，且 。当 <时 <，<<时 >；<<时 <，>时 >。<即 与 异号，得 ∪。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中联考） 设 ，，，则 、、的大小关系为 . >>. >>. >>. >> 【答案】 【分析】同底数幂用指数函数的单调性比较，同指数幂则比较底数的大小。 【详解】与 同底，底数 ，指数函数 在 上单调递减，又 <，故 >。与 同指数 ，幂函数 在 上单调递增，又 <，故 <。综上 >>，选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 ，则 ( ) . . . . 【答案】 【分析】分段函数复合求值：先由内层计算 ，再代入外层。 【详解】因为 ，所以 ；又 >，所以 ，选 。 3．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 的定义域为 ，且其图象关于直线 对称，当 <<时，>恒成立。设 ，，，则 、、的大小关系为 . <<. <<. <<. << 【答案】 【分析】由条件知 在 上单调递增，再由关于 对称化 。 【详解】当 <<时 >，故 在 上单调递增。又图象关于 对称，。由 <<及递增得 <<，即 <<，选 。 4．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知函数 ，若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为____。 【答案】 【分析】在 处取得最小值，需两段分别单调衔接且左段在 单调递减。 【详解】第一段 的对称轴为 ，要使它在 上单调递减（即左段最小值在 处取得），需 ；此时第二段 在 >时单调递增，其下确界为 。为使 成为整体最小值，需 ，即 ，整理得 ，解得 ；结合 ，得 。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） （多选）已知函数 ，下列说法正确的有( ) . 当 >时，在 上是减函数　. 当 >时，无最小值　. 当 时，的值域为 ∪. 当 时，存在 、<，使得 【答案】 【分析】对含参数的分段函数，分 的取值范围逐段研究单调性、最值与值域。 【详解】：>时 >，故 在 上不是减函数，错。：<段 >；当 >时 段 单调递减且无最小值，当 <<时该段最小值 >，仍与左段不衔接成整体最小值，故 >时 无最小值，对。：时，<段 ，段 ，故值域为 ∪，对。：时 段 ，则 ；而 <段值域为 ，可取 <使 ，对。故选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知 是定义在 上的偶函数，图象关于点 对称，且当 时，单调递减，则下列说法正确的有（多选） . . . 在区间 上单调递增　. < 【答案】 【分析】由偶函数与中心对称推出 及周期 ，再结合 单调性判断各区段单调性与函数值。 【详解】由图象关于 对称得 ，即 ，对；进而 ，周期为 。无法确定，错。由偶函数且 递减知 递增，又 使 与 单调性相同，故 递增，对。（由 得 ），且 在 递增，>，故 >，错。故选 。 3．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 ，若关于 的不等式 有解但没有整数解，则实数 的取值范围为( ) . . . . 【答案】 【分析】分离参数得 ，研究 的最小值与整数点取值，结合有解且无整数解确定 。 【详解】即 ，即 。令 ; <。的最小值为 （在 处取得），故有解需 。又整数点处 ，要使不等式没有整数解，需 <。综上 ，选 。 4．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 函数 的边际函数定义为 。工厂生产 台（）某装置的收入函数 ，成本函数 ，设利润函数为 ，则边际利润函数 的最大值为____。 【答案】 【分析】先求利润 ，再由定义 化简，利用单调性求最值。 【详解】。则 。因 ，单调递减，故最大值为 。 5．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 设函数 是定义在 上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数 、，都有 ；②当 <<时，>；③。求 和 的值；判断并证明函数 在 上的单调性；解不等式 <。 【答案】，；在 上单调递减；。 【分析】对抽象等式赋值取 得 ，再取特殊值求 ；用定义证明单调递减，关键是 与②；把 合并为 ，利用单调性转化解不等式。 【详解】取 ，则 ，得 。取 ，得 。取 ，，则 ，即 ，故 。设 <<，则 >。由 ，得 。又 <<，由②得 >，且 ，故 <，即 <，所以 在 上单调递减。，且 ，故原不等式即 <。由 递减得 >，即 <，解得 <<；又定义域要求 >且 >，即 <<，均满足，故 。 6．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 已知函数 ，满足 ，。若函数 有最小值，且此最小值为 ，求函数 的解析式；记 为函数 在区间 上的最大值，求 的表达式。 【答案】或 ；>；<；；<<。 【分析】由 、得 ，再据最小值求 ；对 的正负与对称轴位置分类讨论，用图象求区间 上的最大值。 【详解】由 ，，得 ，故 。有最小值需 >，对称轴 ，最小值 ，解得 或 。当 时 ，；当 时 ，。对称轴 。当 >时，<<，在 递增，。当 <时，>，开口向下。若 <，<，在 递减，；若 ，，；若 <<，>，在 递增，。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念和性质 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数的概念与三要素 / 考点二 函数的单调性与最值 / 考点三 函数的奇偶性 05 重难题型突破 题型一 具体函数的定义域 / 题型二 抽象函数的定义域 / 题型三 函数的值域 / 题型四 相同函数的判断 / 题型五 函数解析式的求法 / 题型六 函数单调性的判断 / 题型七 已知单调性求参数 / 题型八 函数奇偶性的判断 / 题型九 函数奇偶性的应用 / 题型十 分段函数 / 题型十一 函数性质的综合应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 函数的概念和性质是高一上学期期中必考的核心板块，分值通常约占 到 分。 命题侧重：①函数概念与三要素（定义域、值域、对应关系）；②具体函数与抽象函数定义域；③函数单调性、奇偶性的判断与应用；④分段函数；⑤函数解析式的求法；⑥函数性质的综合应用。 基础题（约 题）：求定义域、判断同一函数、简单值域、奇偶性判断、函数图象。 中档题（约 题）：抽象函数定义域、换元与分离常数求值域、已知单调性求参数、由奇偶性解不等式。 压轴题（约 题）：抽象函数恒等式、分段函数与最值、函数性质综合（单调性＋奇偶性＋解不等式）。 复习建议：①求定义域抓住使式子有意义（分式、根式、次幂）；②抽象函数定义域看 的作用域不变；③单调性用定义法作差变形定号，已知单调求参常需分类讨论；④奇偶性先看定义域关于原点对称，再用 与 的关系。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 函数的概念与三要素（定义域、值域、对应关系），函数的表示方法，单调性、奇偶性的定义与图象特征。 理解 由解析式求定义域与值域，判断两个函数是否相同，判断并证明函数的单调性、奇偶性，求抽象函数定义域。 应用 已知单调性/奇偶性求参数或解不等式，求函数解析式（换元、待定系数、方程组法），分段函数求值、最值与参数，函数性质综合问题。 知识体系构建 ┌─ 函数的概念和性质 │ ┌─ 函数概念 │ │ ├─ 三要素：定义域、值域、对应关系 │ │ ├─ 定义域：使解析式有意义（分式、偶次根式、次幂） │ │ ├─ 同一函数：定义域与对应关系都相同 │ │ └─ 解析式求法：待定系数、换元、方程组、配凑 │ ┌─ 单调性 │ │ ├─ 定义：<且 <为增，作差变形定号 │ │ ├─ 判断：定义法、图象法、复合函数同增异减 │ │ ├─ 求参数：分段端点衔接、恒正恒负条件、分类讨论 │ │ └─ 最值：端点与极值点比较、换元配方法 │ ┌─ 奇偶性 │ │ ├─ 前提：定义域关于原点对称 │ │ ├─ 偶函数：，图象关于 轴对称 │ │ ├─ 奇函数：，图象关于原点对称 │ │ └─ 应用：求值、结合单调性解不等式 │ └─ 分段函数 │ ├─ 求值：分段代入、判断所在区间 │ ├─ 最值：各段分别求再比较 │ └─ 求参：单调衔接、值域合并、恒成立 └─ 思想方法：定义法、数形结合、分类讨论、转化与化归 核心考点精讲 考点一 函数的概念与三要素 ⚠️记忆口诀：函数三要素，定义域值域对应关系齐。 定义：设 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的______一个数 ，在集合 中都有______确定的数 和它对应，那么就称 : 为从集合 到集合 的一个函数。 三要素：定义域、值域、对应关系。求具体函数定义域需满足：分式______不为 ，偶次根式被开方数______，次幂底数______。 同一函数：只有当两个函数的______与______都相同时，才表示同一个函数。 ⚠️易混易错： ①定义域是自变量的取值集合，值域是函数值的集合，两者不可混淆； ②判断同一函数须定义域与对应关系都相同，仅解析式形似不够； ③求定义域时多个条件需取交集，结果用区间或集合表示。 考点二 函数的单调性与最值 ⚠️记忆口诀：作差变形定符号，同增异减看区间。 增函数：对定义域内任意 <，有 ______；用差法，即 ______。 减函数：对定义域内任意 <，有 ______。单调性是函数在______上的性质。 已知单调性求参数：先由单调性建立关于参数的不等式，注意______的衔接与分类讨论。 ⚠️易混易错： ①单调性是定义域内某区间上的性质，区间必须在定义域内； ②用定义法证明单调性，作差后要能判断符号，常用因式分解、通分、分子有理化； ③分段函数单调递增，除各段递增外，还要保证段与段衔接处左端函数值不超过右端函数值。 考点三 函数的奇偶性 ⚠️记忆口诀：奇偶先看定义域，对不对称是前提。 偶函数：对定义域内任意 ，都有 ______，图象关于______对称。 奇函数：对定义域内任意 ，都有 ______，图象关于______对称。 前提条件：定义域必须关于______对称，否则函数不具有奇偶性。奇函数若在 处有定义，则 ______。 ⚠️易混易错： ①判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称； ②奇函数在 处有定义时必有 ，可用来求参数； ③奇偶性常与单调性结合解不等式，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。 重难题型突破 题型一 具体函数的定义域 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为 . . . . ∪ 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为( ) . . . ∪. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 幂函数 的定义域为( ) . . . . 题型二 抽象函数的定义域 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 . ∪. ∪. ∪. 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 . . . . 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的定义域为 ，则 的定义域为 . . . . 题型三 函数的值域 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 函数 的值域为 . . . . 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 设 ，则函数 的最小值为( ) . . . . 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，，则函数 的值域为( ) . . . . 题型四 相同函数的判断 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列四组中的函数 、，表示同一个函数的是( ) . ，⁰　. ，. ，. ，⁹ 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列各组函数表示同一个函数的是 . ，. ⁰，. ，. ， 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 下列函数中，与函数 表示同一个函数的是( ) . . . . 题型五 函数解析式的求法 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知二次函数 满足 ，且 ，则 ____。 迁移应用 1．（25-26高一上·期中联考） 已知函数 满足 ，则 ____。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 一次函数 满足 ，则 的解析式为____。 题型六 函数单调性的判断 典例1 （25-26高一上·期中联考） 判断函数 在 上的单调性，并利用定义证明。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 下列函数中，在 上单调递减的是( ) . . . . 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知，则 的单调递减区间为____。 题型七 已知单调性求参数 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 （）在 上单调，求实数 的取值范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知幂函数 在定义域上单调递减，若 >且 >，则实数 的取值范围为____。 题型八 函数奇偶性的判断 典例1 （25-26高一上·期中联考） 若幂函数 为奇函数，则实数 ____。 . . . . 或 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 若偶函数 的定义域为 ，则实数 ____。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 函数 的奇偶性是____。 题型九 函数奇偶性的应用 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 为定义在 上的奇函数，在 上单调递增，且 ，则不等式 >的解集为( ) . ∪. ∪. . 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知 是奇函数，且 ，则 ____。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 为 上的奇函数，且 存在，则 的值等于____。 题型十 分段函数 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 ，且对于任意 、，有 >（），则实数 的取值范围是( ) . . . . 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围为 . . . . 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 ，则 的值等于____。 题型十一 函数性质的综合应用 典例1 （25-26高一上·期中联考） 已知函数 的定义域为 ，对任意实数 、满足 。当 >时，<，则下列选项正确的是( ) . . 函数 为奇函数　. 为 上的减函数　 . 对 ∀，恒有 > 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知函数 对任意 、满足 ，且当 >时 <。则下列结论正确的是( ) . . . 在 上单调递减　. 不等式 >的解集为 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增。若 ，则不等式 <的解集为 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中联考） 设 ，，，则 、、的大小关系为( ) . >>. >>. >>. >> 2．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 ，则 ( ) . . . . 3．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 的定义域为 ，且其图象关于直线 对称，当 <<时，>恒成立。设 ，，，则 、、的大小关系为( ) . <<. <<. <<. << 4．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） 已知函数 ，若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为____。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中摸底调研） （多选）已知函数 ，下列说法正确的有( ) . 当 >时，在 上是减函数　. 当 >时，无最小值　. 当 时，的值域为 ∪. 当 时，存在 、<，使得 2．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） （多选）已知 是定义在 上的偶函数，图象关于点 对称，且当 时，单调递减，则下列说法正确的有( ) . . . 在区间 上单调递增　. < 3．（25-26高一上·湖南长沙·雅礼教育集团） 已知函数 ，若关于 的不等式 有解但没有整数解，则实数 的取值范围为( ) . . . . 4．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 函数 的边际函数定义为 。工厂生产 台（）某装置的收入函数 ，成本函数 ，设利润函数为 ，则边际利润函数 的最大值为____。 5．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 设函数 是定义在 上的函数，并且满足下列三个条件：①对任意正数 、，都有 ；②当 <<时，>；③。求 和 的值；判断并证明函数 在 上的单调性；解不等式 <。 6．（25-26高一上·湖南长沙·长郡中学） 已知函数 ，满足 ，。若函数 有最小值，且此最小值为 ，求函数 的解析式；记 为函数 在区间 上的最大值，求 的表达式。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $