高中数学单元测试——第3章函数的概念与性质（较难版01）

**基本信息** 高中数学第3章函数的概念与性质单元复习卷（较难版），通过分层题型覆盖函数定义、性质及应用，适配核心素养中数学眼光、思维与语言的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、定义域、奇偶性等基础概念|注重数学眼光下的概念辨析| |多选题|3/18|函数定义、单调性判断、新定义问题|体现数学思维的逻辑推理| |填空题|3/15|单调性参数范围、存在性问题|强化数学语言的简洁表达| |解答题|5/77|奇函数解析式、利润函数应用、新定义最值|综合考查数学建模与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接求解即可. 【详解】解：因为，所以． 故选：D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 6．（本题5分）已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合函数的图象、值域的定义进行求解即可. 【详解】，函数图象如下： 由二次函数的性质，结合函数的图象可知： 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时有， 当时，函数单调递增，此时有， 而，， 因为该函数区间上的值域为， 所以要想有最大值，只需最小，最大，即时， 有最大值， 故选：C 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 8．（本题5分）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，对任意有， 则对任意有 所以在上递减，由于是偶函数，所以在上递增， 则，因为， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】BC 【分析】由偶函数的性质和图像逐一判断即可； 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据函数解析式代入得到方程，解得即可. 【详解】已知，所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可； （3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以； （2）当时，， 当时，，有， 又为奇函数，所以， 所以， 即当时，； （3）由（2）知，当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当当时，函数的最小值为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（本题5分）已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 13．（本题5分）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $