专题06 函数的奇偶性与周期性（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版2019

专题06 函数的奇偶性与周期性 【考试要求】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 【命题规律】 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度。 1.函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于 轴对称 奇函数 对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 关于原点对称 注意： 1.如果一个奇函数 在原点处有定义，即 有意义，那么一定有 ； 2.如果函数 是偶函数，那么 ； 3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。 2.周期性 （1）周期函数：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期。 （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。 类型一 判断函数的奇偶性 1. 下列函数为奇函数的是( D ) A. B. C. D. [解析]对于A，定义域不关于原点对称，故不是奇函数；对于B， ，故不是奇函数；对于C, ，故不是奇函数；对于D， ，是奇函数。 2. 函数 的图象( D ) A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 C. 关于 轴对称 D. 关于 轴对称 [解析] ，因为 ，所以 为偶函数，所以 的图象关于 轴对称。故选D。 3. 已知函数 ，则 ( A ) A. 是奇函数，且在 上是增函数 B. 是偶函数，且在 上是增函数 C. 是奇函数，且在 上是减函数 D. 是偶函数，且在 上是减函数 [解析]因为函数 的定义域为 ， ，所以函数 是奇函数。因为函数 在 上是减函数，所以函数 在 上是增函数。又因为 在 上是增函数，所以函数 在 上是增函数。 4. 若函数 是奇函数，函数 是偶函数，则( C ) A. 函数 是奇函数 B. 函数 是奇函数 C. 函数 是奇函数 D. 函数 是奇函数 [解析]令 ，因为函数 是奇函数，函数 是偶函数，所以 , ，所以 ，所以 是奇函数。 总结反思： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。 2.判断 与 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 （奇函数）或 （偶函数））是否成立。 类型二 函数奇偶性的应用 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝ ． 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0. 当x＞0时，－x＜0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1， 又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 答案：－ex＋2x＋1 2.已知函数f(x)＝(2x－a·2－x)sin x是偶函数，则a＝ ． 解析：函数f(x)＝(2x－a·2－x)sin x的定义域为R，依题意，∀x∈R，f(x)－f(－x)＝0，则∀x∈R，(2x－a·2－x)·sin x－(2－x－a·2x)sin (－x)＝0，即(2x－a·2－x)sin x＋(2－x－a·2x)sin x＝0，整理得(1－a)(2x＋2－x)sin x＝0，而sin x不恒为0，2x＋2－x＞0，因此1－a＝0，所以a＝1. 答案：1 3.若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)＞0的解集是(　　) A． B．(1，＋∞) C． D． 解析：C　函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin (－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cos x＋3x2＋1＞0，所以f(x)在R上是增函数， 由f(x＋1)＋f(2x)＞0，得f(x＋1)＞－f(2x)＝f(－2x)，所以x＋1＞－2x，解得x＞－， 所以不等式f(x＋1)＋f(2x)＞0的解集是. 4.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋，若f(3)＝－8，则a＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 解析：B　因为f(x)是奇函数，所以f(3)＝－f(－3)＝－8，故f(－3)＝8，故f(－3)＝(－3)2＋＝8，解得a＝3.故选B. 5.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(x)＞f(2x－1)，则实数x的取值范围为(　　) A． B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：A　由题意，作出f(x)的草图如图所示，数形结合可知f(x)＞f(2x－1)⇔＜x＜1. 反思总结 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间上求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到[0，＋∞)上求解 画函数图 象和判断 单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 易错提醒： (1)当能确定函数在0处有定义时，f(0)＝0只是f(x)为奇函数的必要非充分条件，用其求出参数值后，还要验证这个值是不是函数为奇函数的充分条件； (2)当不能确定函数在0处是否有定义时，f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件，这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值． 类型三 函数的周期性 1.函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2027)＝ ． 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝， ∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2027)＝f(3)＝. 答案： 2.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为 ． 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]， 则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 3.已知f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，2)上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(0)<f(－6.5) B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0) D．f(0)<f(－1)<f(－6.5) 解析：D　因为f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，所以f(－6.5)＝f(1.5)，f(－1)＝f(1)． 因为f(x)在区间[0，2)上单调递增，所以f(0)<f(1)<f(1.5)，即f(0)<f(－1)<f(－6.5)，故选D. 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　 　D．3 解析：C　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6， 又g(x)＝f(x)－2为奇函数，所以f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以f(x)＋f(－x)＝4，令x＝0， 得2f(0)＝4，所以f(0)＝2，所以f(198)＝f(0＋6×33)＝f(0)＝2，故选C. 5.已知定义在 上的函数满足 ，当 时， 。则 的值是( A ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ,所以函数 的周期 。 。 6.已知 是 上最小正周期为2的周期函数，且当 时， ，则函数 的图象在区间 上与 轴的交点的个数为( D ) A. B. C. D. [解析]当 时，令 ，所以 的图象与 轴交点的横坐标分别为 , 。当 时， ，又 的最小正周期为2，所以 ，所以 ，所以当 时， 的图象与 轴交点的横坐标分别为 , 。又 ，综上可知，共有5个交点。 反思总结 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列函数既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x 解析：C　对于A，f(x)＝－x2在(0，＋∞)上单调递减，A不符合； 对于B，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B不符合； 对于C，f(x)＝|x|的定义域为R，又f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故f(x)＝|x|为偶函数，当x＞0时，f(x)＝|x|＝x在(0，＋∞)上单调递增，满足要求，C符合题意； 对于D，f(x)＝2x的定义域为R，且f(－x)＝2－x≠2x，故f(－x)≠f(x)，f(x)＝2x不是偶函数，D不符合．故选C. 2．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 解析：D　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0，f＝f ＝－f＝＝－2，∴f＋f(2)＝－2. 3．已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增．若f(2t－1)＋f(t)＜0，则实数t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增，所以f(x)在[－2，2]上单调递增(提示：奇函数在对称区间上的单调性相同)，又f(2t－1)＋f(t)＜0，则f(2t－1)＜－f(t)，所以f(2t－1)＜f(－t)，所以解得－≤t＜， 故实数t的取值范围为. 4．若函数f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A．－ B．0 C． D．1 解析：A　法一：f(x)＝ln (ex＋1)＋ax的定义域为R，f(－x)＝ln (e－x＋1)－ax＝ln －ax＝ln (ex＋1)－x－ax，由于f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln (ex＋1)－(1＋a)x＝ln (ex＋1)＋ax对x∈R恒成立，则(1＋2a)x＝0对∀x∈R恒成立，故1＋2a＝0，解得a＝－. 法二：因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，即ln (e＋1)＋a＝ln －a，即2a＝ln －ln (e＋1)＝ln ＝－1，所以a＝－.故选A. 5．函数f(x)＝(x2－1)(ex－e－x)＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 解析：C　令g(x)＝(x2－1)(ex－e－x)＋x，则f(x)＝g(x)＋1.g(x)在[－2，2]上有意义，且g(－x)＝[(－x)2－1](e－x－ex)－x＝－(x2－1)(ex－e－x)－x＝－g(x)，所以在[－2，2]上g(x)为奇函数．设g(x)在[－2，2]上的最大值为S，则g(x)在[－2，2]上的最小值为－S，则M＋N＝S＋1＋(－S＋1)＝2.故选C. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知函数f(x)＝a sin x＋b＋cx＋1，若f(ln 2)＝4，则f的值为(　　) A．4 B．－1 C．－2 D．－3 解析：C　设g(x)＝a sin x＋b＋cx，则g(－x)＝a sin (－x)＋b＋c(－x)＝－a sin x－b－cx＝－＝－g(x)，故g(－x)＝－g(x)，即函数g(x)为奇函数． 又f(ln 2)＝g(ln 2)＋1＝4，所以g(ln 2)＝3.又ln ＝－ln 2， 故f＝f(－ln 2)＝g(－ln 2)＋1＝－g(ln 2)＋1＝－3＋1＝－2，即f＝－2，故选C. 2．若f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝6x2－2x，则当x＜0时，f(x)＝ ． 解析：设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝6(－x)2－2(－x)＝6x2＋2x，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，－f(x)＝6x2＋2x，f(x)＝－6x2－2x. 答案：－6x2－2x 3．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式xf(x)＞0的解集为 ． 解析：根据题意作出f(x)的图象如图所示．结合图象可知不等式xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2)． 答案：(－2，0)∪(0，2) 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，则f(2027)＝ ． 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m， 所以f(0)＝20－m＝0，解得m＝1，且f(1－x)＝－f(x－1)， 又f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，用x－2代替x得f(x－1)＝－f(x－3)， 故f(x＋1)＝f(x－3)，故f(x)是周期为4的函数， 所以f(2027)＝f(506×4＋3)＝f(3)，在f(x＋1)＝f(1－x)中，令x＝2得f(3)＝f(－1)， 其中f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，所以f(2027)＝f(3)＝－1. 答案：－1 5.已知函数f(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)． (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的解析式； (3)求不等式f(x)＜1的解集． 解：(1)∵当x＞0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)， ∴loga3＝－1，解得a＝. (2)设x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝，又f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝. 综上所述，f(x)＝ (3)∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，又1＝＝f， ∴f(x)＜1⇒f(x)＜f，∴， 解得x＜－或x＞. 故不等式的解集为{x或x＞}． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)已知f(x)，g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，则下列结论正确的有(　　) A．y＝f(x)·f(－x)为偶函数 B．y＝g(x)＋g(－x)为奇函数 C．若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则y＝f[g(x)]为奇函数 D．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)－g(x)为非奇非偶函数 解析：AD　对于A，设h(x)＝f(x)·f(－x)，因为f(x)是定义在R上的函数，所以h(x)的定义域为R，h(－x)＝f(－x)·f(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数，故A正确； 对于B，设t(x)＝g(x)＋g(－x)，因为g(x)是定义在R上的函数，所以t(x)的定义域为R，t(－x)＝g(－x)＋g(x)＝t(x)，所以t(x)为偶函数，故B错误； 对于C，设m(x)＝f[g(x)]，因为f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，所以m(x)的定义域为R，因为g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，所以m(－x)＝f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝f[g(x)]＝m(x)，所以m(x)为偶函数，故C错误； 对于D，设n(x)＝f(x)－g(x)，因为f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，所以n(x)的定义域为R，n(x)＋n(－x)＝f(x)－g(x)＋f(－x)－g(－x)＝f(x)－g(x)－f(x)－g(x)＝－2g(x)，因为g(x)是不恒为0的函数，所以n(x)＋n(－x)＝0不恒成立，所以n(x)不是奇函数；n(x)－n(－x)＝f(x)－g(x)－[f(－x)－g(－x)]＝f(x)－g(x)＋f(x)＋g(x)＝2f(x)，因为f(x)是不恒为0的函数，所以n(x)＝n(－x)不恒成立，所以n(x)不是偶函数．综上，n(x)是非奇非偶函数，故D正确．故选A、D. 2．已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析：D　当x＞0时，－x＜0，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)，即21+x－21-x＝m·2－x＋n·2x，得(2x)2(2－n)＝m＋2，得得m－n＝－4.当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)，即21-x－21+x＝，得(2－x)2(2－n)＝m＋2，得得m－n＝－4.综上所述，m－n＝－4，故选D. 3.已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 , , , ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]由 知 的图象关于点 对称，而 的图象也关于点 对称，因此两个函数的交点也关于点 对称，从而对于每一组对称点， , ，所以 。 4.设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 。 [解析]根据研究函数的一般思路，优先考虑函数是否具备奇偶性（对称性），事实上， ，而 是奇函数，则 是中心对称函数，对称中心为点 ，所以最大值与最小值关于点 成中心对称，也即有 。 5.已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ， ， , ,则 ( B ) A. B. C. D. [解析]根据 ，可知 的图象关于直线 对称，而 的图象也关于直线 对称，因而它们的交点也关于直线 对称，每一组对称点的横坐标有 ，则 。 6.已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且 ，则下列结论不正确的是( B ) A. 的图象关于 对称 B. 的图象关于 对称 C. 的最小正周期为4 D. 为偶函数 [解析]因为 ，则 的图象关于 对称，故A正确，B错误；因为函数 的图象关于 对称，则 ，又 ，所以 ，所以 ，故C正确；因为 且 为偶函数，故 为偶函数，故D正确。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的奇偶性与周期性 【考试要求】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 【命题规律】 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度。 1.函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于 对称 奇函数 对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 关于 对称 注意： 1.如果一个奇函数 在原点处有定义，即 有意义，那么一定有 ； 2.如果函数 是偶函数，那么 ； 3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。 2.周期性 （1）周期函数：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称为这个函数的周期。 （2）最小正周期：如果在周期函数 的 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。 类型一 判断函数的奇偶性 1. 下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 2. 函数 的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 C. 关于 轴对称 D. 关于 轴对称 3. 已知函数 ，则 ( ) A. 是奇函数，且在 上是增函数 B. 是偶函数，且在 上是增函数 C. 是奇函数，且在 上是减函数 D. 是偶函数，且在 上是减函数 4. 若函数 是奇函数，函数 是偶函数，则( ) A. 函数 是奇函数 B. 函数 是奇函数 C. 函数 是奇函数 D. 函数 是奇函数 总结反思： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。 2.判断 与 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 （奇函数）或 （偶函数））是否成立。 类型二 函数奇偶性的应用 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝ ． 2.已知函数f(x)＝(2x－a·2－x)sin x是偶函数，则a＝ ． 3.若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)＞0的解集是(　　) A． B．(1，＋∞) C． D． 4.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋，若f(3)＝－8，则a＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 5.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(x)＞f(2x－1)，则实数x的取值范围为(　　) A． B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 反思总结 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间上求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到[0，＋∞)上求解 画函数图 象和判断 单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 易错提醒： (1)当能确定函数在0处有定义时，f(0)＝0只是f(x)为奇函数的必要非充分条件，用其求出参数值后，还要验证这个值是不是函数为奇函数的充分条件； (2)当不能确定函数在0处是否有定义时，f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件，这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值． 类型三 函数的周期性 1.函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2027)＝ ． 2.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为 ． 3.已知f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，2)上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(0)<f(－6.5) B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0) D．f(0)<f(－1)<f(－6.5) 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　 　D．3 5.已知定义在 上的函数满足 ，当 时， 。则 的值是( ) A. B. C. D. 6.已知 是 上最小正周期为2的周期函数，且当 时， ，则函数 的图象在区间 上与 轴的交点的个数为( ) A. B. C. D. 反思总结 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列函数既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x 2．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 3．已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增．若f(2t－1)＋f(t)＜0，则实数t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 4．若函数f(x)＝ln (ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A．－ B．0 C． D．1 5．函数f(x)＝(x2－1)(ex－e－x)＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知函数f(x)＝a sin x＋b＋cx＋1，若f(ln 2)＝4，则f的值为(　　) A．4 B．－1 C．－2 D．－3 2．若f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝6x2－2x，则当x＜0时，f(x)＝ ． 3．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式xf(x)＞0的解集为 ． 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，则f(2027)＝ ． 5.已知函数f(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)． (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的解析式； (3)求不等式f(x)＜1的解集． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)已知f(x)，g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，则下列结论正确的有(　　) A．y＝f(x)·f(－x)为偶函数 B．y＝g(x)＋g(－x)为奇函数 C．若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则y＝f[g(x)]为奇函数 D．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)－g(x)为非奇非偶函数 2．已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 3.已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 , , , ，则 ( ) A. B. C. D. 4.设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 。 5.已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ， ， , ,则 ( ) A. B. C. D. 6.已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且 ，则下列结论不正确的是( ) A. 的图象关于 对称 B. 的图象关于 对称 C. 的最小正周期为4 D. 为偶函数 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $