专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版

专题01 集合与常用逻辑用语 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与表示 / 考点二 集合间的基本关系 / 考点三 集合的基本运算 / 考点四 充分条件、必要条件与量词命题 05 重难题型突破 题型一 利用集合元素的互异性求参数 / 题型二 判断元素与集合的关系 / 题型三 判断是否为同一集合 / 题型四 集合的子集（真子集）个数问题 / 题型五 由集合的包含关系求参数 / 题型六 由集合的相等关系求参数 / 题型七 集合的交、并、补运算 / 题型八 由集合的运算结果求参数 / 题型九 集合中的新定义 / 题型十 充分条件与必要条件的判断 / 题型十一 充分条件与必要条件的应用 / 题型十二 全称量词命题、存在量词命题的否定 / 题型十三 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 / 题型十四 全称量词命题、存在量词命题的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 01 期中考情透视 本专题为湘教版必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”，是高一上学期期中考试的必考内容。从—学年各地期中试卷看，本专题以“基础能力”并重，选择题、填空题、解答题均有涉及，分值占比约~分，通常设置~道基础小题与道综合大题。 从考点分布看：集合的概念与表示、集合间的基本关系（含子集真子集个数）、集合的基本运算（交并补）是必考内容，出现频率最高；充分条件与必要条件、全称量词与存在量词命题的否定与真假判断次之，且常与“求参数范围”结合命题。 从难度上看，基础题（元素与集合关系、交集并集补集运算、命题否定）约占六成，中等题（集合运算求参数、充分必要条件判断）约占三成，压轴题多以“集合新定义”形式出现（如差集、对称差、数域、聚点等），考查学生的信息提取与转化能力。 主要失分点： ①求含参集合的参数后忘记检验元素的互异性； ②子集个数计算时忽略空集与集合本身的特殊情形； ③交并补运算含参时对端点“等号能否取到”处理不当； ④充分必要条件判断混淆“谁推谁”，或写量词命题否定时只改结论、漏改量词。 02 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 理解集合、元素的概念，掌握常用数集符号N、N*、Z、Q、R；记住子集、真子集、空集的定义；熟记交集、并集、补集的符号与含义；识别全称量词、存在量词命题的常见表述。 理解 理解集合中元素的确定性、互异性、无序性；理解集合间包含、相等的判断方法；理解充分条件、必要条件、充要条件的关系；理解全称量词命题与存在量词命题的否定规则。 应用 能利用元素互异性求参数；会求集合的子集与真子集个数；能进行集合的交并补运算并据此求参数；能判断并应用充分必要条件；能写出量词命题的否定并判断真假；能解决集合新定义问题。 03 知识体系构建 【集合】 . 集合的概念：确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系：、∉。 . 集合的表示：列举法、描述法；常用数集：、、、、。 . 集合间的基本关系：子集、真子集、集合相等、空集；子集个数：（真子集−）。 . 集合的基本运算：交集∩、并集∪、补集∁；性质与运算律（含德摩根定律）。 【常用逻辑用语】 . 充分条件与必要条件：为充分、为必要、为充要。 . 全称量词命题与存在量词命题：∀、∃；命题的否定规则（量词互换、结论取反）。 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与表示 ⚠️记忆口诀：元素三要素，确定互异无序；0与∅不同，数集符号记牢。 集合元素的三要素：______、______、______。 元素与集合的关系用______、______表示；集合的表示方法有______、______。 常用数集：自然数集（含）、正整数集、整数集、有理数集、实数集。 与∅不同：是______，∅是______（不含任何元素）；∉∅，但，且∅______。 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，其中______（同一个集合中不能出现重复元素）常用于求参数。 ⚠️避坑指南 ❌忽视互异性：含参集合（如、）中，不同位置表示的元素不能相等，求参后必须代入检验； ❌混淆数集符号：是自然数集，是正整数集，但∉； ❌把“空集”写成：表示含一个元素的集合，不是空集。 考点二 集合间的基本关系 ⚠️记忆口诀：子集看元素，一个不能少；空集放首位，自己是自身。子集个数2的n次幂，减一即为真子集。 子集：如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么称是的子集，记作______。 真子集：若⊆且______，则是的真子集，记作⫋。 空集是______集合的子集，是任何______集合的真子集；任何集合都是它本身的子集，即______。 集合相等：若⊆且⊆，则______。 子集个数公式：若集合有个元素，则的子集有______个，真子集有______个，非空真子集有______个。 ⚠️易混易错 ❶⊆（包含）与（属于）含义不同：前者是集合间的包含关系，后者是元素与集合的从属关系； ❷子集与真子集：⊆包含的情形，⫋则排除相等，判断真子集时务必注意“”。 考点三 集合的基本运算 ⚠️记忆口诀：交集取公共，并集两都要，补集在全集里除自己。求参数范围用数轴，端点验证莫忘掉。 交集∩：由既属于又属于的元素组成的集合；并集∪：由属于或属于的元素组成的集合；补集∁：在全集中______的元素组成的集合。 运算性质：∩∅______，∪∅______，∩______，∪______；∩____________∪。 ∁∁______；德摩根定律：∁∪______，∁∩______。 当集合由不等式解集给出时，借助______表示集合进行交并补运算更直观；含参运算要注意端点处“等号能否取到”。 ⚠️易混易错 ❶补集必须相对全集：求补集前先明确全集，在全集内“去掉”该集合即可，不可脱离全集谈补集； ❷交并补符号与含义易混淆，德摩根定律 ∁∪∁∩∁的“并变交、交变并”要记牢。 考点四 充分条件、必要条件与量词命题 ⚠️记忆口诀：充分必要看包含，小范围是充分，大范围是必要，互相包含是充要。全称否定变存在，存在否定变全称，量词换掉结论反，条件范围原样存。 若，则是的______条件，是的______条件；若，则是的______条件。 集合判断：对应集合，对应集合，则⊆是的______条件。 全称量词命题“∀，”的否定是“______”；存在量词命题“∃，”的否定是“______”。 写命题的否定：量词______，条件（范围）______，结论______。 ⚠️易混易错 ❶充分条件、必要条件判断易混淆“谁推谁”：是的充分条件指“推出”，是的必要条件指“推出”； ❷写否定时只取反结论而漏改量词，或把条件的取值范围也改掉，都是常见错误。 05 重难题型突破 题型一 利用集合元素的互异性求参数 典例1 （25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，若，则实数______。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，，若，则∪中所有元素之和为（　） ．．．． 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合−，−−，若∩，则实数______。 题型二 判断元素与集合的关系 典例2 （25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜，则（　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 设全集，集合｜，则（　） ．．．． 2．（25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，｜，则下列结论正确的是（　） ．∩．∉．∩． 题型三 判断是否为同一集合 典例3 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列各组集合中，表示同一集合的是（　） ．，．｜−，−．，．｜，｜ 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 下列集合中，与集合｜表示同一集合的是（　） ．｜．偶数．｜．整数 2．（25-26高一上·陕西·期中） 下列各组集合中，表示同一集合的是（　） ．与．与∅　　．与．｜与 题型四 集合的子集（真子集）个数问题 典例4 （25-26高一上·陕西·期中） 已知全集｜−.<<，集合−−，则的子集个数为（　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江浙东北·期中） 若集合｜−，则集合的真子集有______个。 2．（25-26高一上·湖南联考·期中） 已知关于的方程−（）的解集为，若恰有个子集，则实数的值为（　） ．．．． 题型五 由集合的包含关系求参数 典例5 （25-26高一上·陕西·期中） 已知集合｜−或，｜，若∩，求实数的取值范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜，｜，若⊆，则实数的取值范围为（　） ．．．． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______。 题型六 由集合的相等关系求参数 典例6 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜−，｜−−，若，求实数的值。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知集合｜−，｜−−，若，求实数的值。 2．（25-26高一上·浙江浙里特色联·期中） 设，集合，，若，则______。 题型七 集合的交、并、补运算 典例7 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知全集，，，则∁∪（　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知全集｜−.<<，−−，，则∁∪（　） ．−．−．．− 2．（25-26高一上·陕西·期中） 设全集，集合，｜−，则∁∩（　） ．．．． 题型八 由集合的运算结果求参数 典例8 （25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜−，｜−，全集。若，求∪∁。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜−−，｜，若∩∅，则实数的取值范围是______。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜<<，｜<<，若∩∅，求实数的取值范围。 题型九 集合中的新定义 典例9 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设有限集，，定义差集−｜且∉，对称差△−∪−。若，，则△______。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 设是一个非空数集，若对任意，都有、−、（除法要求时），则称为一个“数域”。下列集合中是数域的是（　） ．整数集．．有理数集．自然数集 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设有限集，，定义对称差△−∪−，则△中元素的个数为（　） ．．．． 题型十 充分条件与必要条件的判断 典例10 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设，则“>”是“>”的（　） ．充要条件　　．既不充分也不必要条件　　．必要不充分条件　　．充分不必要条件 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 设，则“>”是“>”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 设，则“”是“”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 题型十一 充分条件与必要条件的应用 典例11 （25-26高一上·陕西·期中） 设，若“>”是“>”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知：−，：。若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 命题“∀，−”为真命题的一个充分不必要条件是（　） ．．．． 题型十二 全称量词命题、存在量词命题的否定 典例12 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 命题“∀，−”的否定是（　） ．∃，−<．∀，−．∃，−．∀，−< 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 命题“∀>，>”的否定是（　） ．∀>，．∃>，．∃>，>．∀， 2．（25-26高一上·陕西·期中） 命题“∀>，−”的否定是（　） ．∃>，−<．∀，−<．∃，−．∀>，−< 题型十三 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 典例13 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列命题中，是真命题的是（　） ．∀，．∃，−．∀，．∃， 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 下列命题中，是假命题的是（　） ．∀，+1>．∃，−．∀，>．∃， 2．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 设命题：∀，−，则下列判断正确的是（　） ．是真命题　　．是假命题　　．¬是“∃，−<”　　．¬是“∀，−<” 题型十四 全称量词命题、存在量词命题的应用 典例14 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∃，−”为真命题，则实数的取值范围为（　） ．．<．．> 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∀，−>”为真命题，则实数的取值范围为______。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∃，”为假命题，则实数的取值范围为______。 06 限时分层演练 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛；又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（　） ．人　　．人　　．人　　．人 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合｜−<<，则集合的所有真子集的个数是（　） ．．．． 3．（25-26高一上·江苏·期中摸底） 命题“∃，>”的否定是（　） ．∀，>．∃，．∃，．∀， 4．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） “”是“”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·江苏·期中摸底） 下列说法正确的是（　） ．∅⊆．．⊆．∅ 6．（25-26高一上·浙江宁波六校·期中） 已知集合−，−，则实数的值为（　） ．−．−或．．− 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏南京·期中） 命题“>”是命题“−−>对一切实数恒成立”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充分必要条件　　．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知命题：∃，−−>；命题：∀，−−。若命题、均为假命题，则实数的取值范围为（　） ．−．−．．−− 3．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合｜<<，集合｜<<−。 （）设命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围； （）若∩∅，求实数的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与表示 / 考点二 集合间的基本关系 / 考点三 集合的基本运算 / 考点四 充分条件、必要条件与量词命题 05 重难题型突破 题型一 利用集合元素的互异性求参数 / 题型二 判断元素与集合的关系 / 题型三 判断是否为同一集合 / 题型四 集合的子集（真子集）个数问题 / 题型五 由集合的包含关系求参数 / 题型六 由集合的相等关系求参数 / 题型七 集合的交、并、补运算 / 题型八 由集合的运算结果求参数 / 题型九 集合中的新定义 / 题型十 充分条件与必要条件的判断 / 题型十一 充分条件与必要条件的应用 / 题型十二 全称量词命题、存在量词命题的否定 / 题型十三 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 / 题型十四 全称量词命题、存在量词命题的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 01 期中考情透视 本专题为湘教版必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”，是高一上学期期中考试的必考内容。从—学年各地期中试卷看，本专题以“基础能力”并重，选择题、填空题、解答题均有涉及，分值占比约~分，通常设置~道基础小题与道综合大题。 从考点分布看：集合的概念与表示、集合间的基本关系（含子集真子集个数）、集合的基本运算（交并补）是必考内容，出现频率最高；充分条件与必要条件、全称量词与存在量词命题的否定与真假判断次之，且常与“求参数范围”结合命题。 从难度上看，基础题（元素与集合关系、交集并集补集运算、命题否定）约占六成，中等题（集合运算求参数、充分必要条件判断）约占三成，压轴题多以“集合新定义”形式出现（如差集、对称差、数域、聚点等），考查学生的信息提取与转化能力。 主要失分点： ①求含参集合的参数后忘记检验元素的互异性； ②子集个数计算时忽略空集与集合本身的特殊情形； ③交并补运算含参时对端点“等号能否取到”处理不当； ④充分必要条件判断混淆“谁推谁”，或写量词命题否定时只改结论、漏改量词。 02 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 理解集合、元素的概念，掌握常用数集符号N、N*、Z、Q、R；记住子集、真子集、空集的定义；熟记交集、并集、补集的符号与含义；识别全称量词、存在量词命题的常见表述。 理解 理解集合中元素的确定性、互异性、无序性；理解集合间包含、相等的判断方法；理解充分条件、必要条件、充要条件的关系；理解全称量词命题与存在量词命题的否定规则。 应用 能利用元素互异性求参数；会求集合的子集与真子集个数；能进行集合的交并补运算并据此求参数；能判断并应用充分必要条件；能写出量词命题的否定并判断真假；能解决集合新定义问题。 03 知识体系构建 【集合】 . 集合的概念：确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系：、∉。 . 集合的表示：列举法、描述法；常用数集：、、、、。 . 集合间的基本关系：子集、真子集、集合相等、空集；子集个数：（真子集−）。 . 集合的基本运算：交集∩、并集∪、补集∁；性质与运算律（含德摩根定律）。 【常用逻辑用语】 . 充分条件与必要条件：为充分、为必要、为充要。 . 全称量词命题与存在量词命题：∀、∃；命题的否定规则（量词互换、结论取反）。 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与表示 ⚠️记忆口诀：元素三要素，确定互异无序；0与∅不同，数集符号记牢。 集合元素的三要素：确定性、互异性、无序性。 元素与集合的关系用 、∉ 表示；集合的表示方法有列举法、描述法。 常用数集：自然数集（含）、正整数集、整数集、有理数集、实数集。 与∅不同：是数，∅是空集（不含任何元素）；∉∅，但，且∅⊆。 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，其中互异性（同一个集合中不能出现重复元素）常用于求参数。 ⚠️避坑指南 ❌忽视互异性：含参集合（如、）中，不同位置表示的元素不能相等，求参后必须代入检验； ❌混淆数集符号：是自然数集，是正整数集，但∉； ❌把“空集”写成：表示含一个元素的集合，不是空集。 考点二 集合间的基本关系 ⚠️记忆口诀：子集看元素，一个不能少；空集放首位，自己是自身。子集个数2的n次幂，减一即为真子集。 子集：如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么称是的子集，记作⊆。 真子集：若⊆且，则是的真子集，记作⫋。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合都是它本身的子集，即⊆。 集合相等：若⊆且⊆，则。 子集个数公式：若集合有个元素，则的子集有个，真子集有−个，非空真子集有−个。 ⚠️易混易错 ❶⊆（包含）与（属于）含义不同：前者是集合间的包含关系，后者是元素与集合的从属关系； ❷子集与真子集：⊆包含的情形，⫋则排除相等，判断真子集时务必注意“”。 考点三 集合的基本运算 ⚠️记忆口诀：交集取公共，并集两都要，补集在全集里除自己。求参数范围用数轴，端点验证莫忘掉。 交集∩：由既属于又属于的元素组成的集合；并集∪：由属于或属于的元素组成的集合；补集∁：在全集中不属于的元素组成的集合。 运算性质：∩∅∅，∪∅，∩，∪；∩⊆⊆∪。 ∁∁；德摩根定律：∁∪∁∩∁，∁∩∁∪∁。 当集合由不等式解集给出时，借助数轴表示集合进行交并补运算更直观；含参运算要注意端点处“等号能否取到”。 ⚠️易混易错 ❶补集必须相对全集：求补集前先明确全集，在全集内“去掉”该集合即可，不可脱离全集谈补集； ❷交并补符号与含义易混淆，德摩根定律 ∁∪∁∩∁的“并变交、交变并”要记牢。 考点四 充分条件、必要条件与量词命题 ⚠️记忆口诀：充分必要看包含，小范围是充分，大范围是必要，互相包含是充要。全称否定变存在，存在否定变全称，量词换掉结论反，条件范围原样存。 若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件。 集合判断：对应集合，对应集合，则⊆是的充分条件（小范围充分，大范围必要）。 全称量词命题“∀，”的否定是“∃，¬”；存在量词命题“∃，”的否定是“∀，¬”。 写命题的否定：量词互换，条件（范围）不变，结论取反。 ⚠️易混易错 ❶充分条件、必要条件判断易混淆“谁推谁”：是的充分条件指“推出”，是的必要条件指“推出”； ❷写否定时只取反结论而漏改量词，或把条件的取值范围也改掉，都是常见错误。 05 重难题型突破 题型一 利用集合元素的互异性求参数 典例1 （25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，若，则实数______。 【答案】− 【分析】由列出关于的方程，结合集合元素的互异性检验取舍。 【详解】由，得或。①若，则，此时，违背互异性，舍去；②若，即−，解得或−，其中已舍，−时−，，−满足互异性。故−。 💡破题要诀 由元素属于集合（如）列出关于参数的方程，求出参数后必须代入检验：一验集合中元素不重复（互异性），二验元素满足集合的描述条件。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，，若，则∪中所有元素之和为（　） ．．．． 【答案】 【分析】由互异性确定，再求并集元素之和。 【详解】因为，所以或。若，则违背互异性，舍去；故且，即−，此时−。于是∪−，元素之和为−。故选。 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合−，−−，若∩，则实数______。 【答案】− 【分析】由交集为知且，分情况讨论并结合互异性检验。 【详解】由∩，知且。①若−，则，此时，−，∩，舍去；②若，则。当时，，−−，中元素不满足互异性，舍去；当−时，−，−，∩，符合题意。故−。 题型二 判断元素与集合的关系 典例2 （25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜，则（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求的具体元素，再判断元素与集合的关系。 【详解】｜。，要使为整数，为的正因数，故，即，又舍去，得。逐项判断，成立。故选。 💡破题要诀 判断元素与集合的关系，关键是先明确集合的类型（数集、点集、描述法集合），再逐一验证元素是否满足集合的条件；描述法集合应先“翻译”成具体元素再判断。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 设全集，集合｜，则∁（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求，再求补集。 【详解】由典例知，故∁−。故选。 2．（25-26高一上·陕西·期中） 已知集合，｜，则下列结论正确的是（　） ．∩．∉．∩． 【答案】 【分析】先求∩，再判断各选项。 【详解】，∩，故∉∩（错），（错），∩（对），（对）。故选。 题型三 判断是否为同一集合 典例3 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列各组集合中，表示同一集合的是（　） ．，．｜−，−．，．｜，｜ 【答案】 【分析】比较两集合元素是否完全相同（与书写顺序无关）。 【详解】中是数集，是含点的点集，不同；中｜−−，相同；中元素都是、（无序性），相同；中是点集，是数集，不同。故选。 💡破题要诀 判断两集合是否为同一集合，关键是比较元素是否完全相同（与表示形式、书写顺序无关）。注意区分数集与点集：｜是数集，｜是点集。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 下列集合中，与集合｜表示同一集合的是（　） ．｜．偶数．｜．整数 【答案】 【分析】表示所有偶数，逐一判断。 【详解】｜表示偶数集。中当取遍整数时也表示所有偶数，相同；中“偶数”即，相同；中只表示的倍数，是的真子集，不同；中整数范围比大，不同。故选。 2．（25-26高一上·陕西·期中） 下列各组集合中，表示同一集合的是（　） ．与．与∅　　．与．｜与 【答案】 【分析】比较元素是否完全相同。 【详解】中元素完全相同（无序性），相同；中含一个元素，∅不含元素，不同；中是点集，是数集，不同；中｜−，与不同。故选。 题型四 集合的子集（真子集）个数问题 典例4 （25-26高一上·陕西·期中） 已知全集｜−.<<，集合−−，则的子集个数为（　） ．．．． 【答案】 【分析】先确定的元素个数，再用子集个数公式。 【详解】−−含个元素，子集个数为。故选。 💡破题要诀 含个元素的集合，子集个数，真子集个数−，非空真子集个数−。先求集合元素个数（注意互异性去重）。 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江浙东北·期中） 若集合｜−，则集合的真子集有______个。 【答案】 【分析】解方程后求真子集个数。 【详解】−，得或，故，真子集个数−。填。 2．（25-26高一上·湖南联考·期中） 已知关于的方程−（）的解集为，若恰有个子集，则实数的值为（　） ．．．． 【答案】 【分析】恰有个子集即中恰有个元素，判别式为。 【详解】恰有个子集，说明中恰有个元素，方程有且只有一个根，−，即−，得−，，。故选。 题型五 由集合的包含关系求参数 典例5 （25-26高一上·陕西·期中） 已知集合｜−或，｜，若∩，求实数的取值范围。 【答案】−或 【分析】由∩知⊆，分∅与∅讨论。 【详解】由∩知⊆。①当∅时，>，>，⊆恒成立；②当∅时，即，需的两个端点落在内：若⊆｜−，则−即−；若⊆｜，则即，结合得。综合得−或。 💡破题要诀 含参集合的包含问题，先讨论子集是否为空集（∅需单独验证）。用数轴画出端点相对位置，转化为端点不等式组；求出后建议取边界值验证等号能否取到。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜，｜，若⊆，则实数的取值范围为（　） ．．．． 【答案】 【分析】由⊆列不等式组。 【详解】∅。由⊆，需且，即。故选。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______。 【答案】− 【分析】由⫋得⊆且。 【详解】由⊆得−且，即−。此时的长度为，的长度为，故自动满足。故−。 题型六 由集合的相等关系求参数 典例6 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜−，｜−−，若，求实数的值。 【答案】 【分析】求后由韦达定理建立方程求。 【详解】−得或，故。由，、是方程−−的两根，由韦达定理：且−，得且−，解得。检验时，符合。故。 💡破题要诀 由集合相等，转化为两集合元素对应相等。若集合由方程给出，利用韦达定理或直接令元素相等建立方程组；求出的参数必须代回检验（互异性与方程解）。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知集合｜−，｜−−，若，求实数的值。 【答案】 【分析】求后由韦达定理求。 【详解】。由，、是方程−−的两根，由韦达定理：且−，得且，解得。检验时，符合。故。 2．（25-26高一上·浙江浙里特色联·期中） 设，集合，，若，则______。 【答案】 【分析】由元素对应关系结合互异性求、。 【详解】因且，故，则、、中有一个为。又，由知，故或。若，则中重复违背互异性，舍；故，，。由且（若则−，−，−成立，符合），故，−。所以−。 题型七 集合的交、并、补运算 典例7 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知全集，，，则∁∪（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求的补集，再求并集。 【详解】∁−，∁∪∪。故选。 💡破题要诀 做交并补运算前先明确全集；求补集时在全集内“去掉”该集合即可。可先把各集合用列举法或数轴表示，再分别求交、并、补，注意并集去重、补集相对全集。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知全集｜−.<<，−−，，则∁∪（　） ．−．−．．− 【答案】 【分析】求补集后再并。 【详解】−−−，∁−−，∁∪−∪−。故选。 2．（25-26高一上·陕西·期中） 设全集，集合，｜−，则∁∩（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求∩，再求补集。 【详解】，∩∩，∁∩−。故选。 题型八 由集合的运算结果求参数 典例8 （25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜−，｜−，全集。若，求∪∁。 【答案】−−∪ 【分析】先确定、，再求并集。 【详解】当时，｜。｜−−｜−−，∁−−∪。∪∁∪−−∪−−∪。 💡破题要诀 由运算结果求参数，先固定一个集合（如已确定），利用补集、交集、并集的定义把运算结果“翻译”为集合的包含或相等关系，再转化为不等式组。注意数轴法与端点等号的处理。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 已知集合｜−−，｜，若∩∅，则实数的取值范围是______。 【答案】> 【分析】求后由交集为空列不等式。 【详解】｜−，｜。若∩∅，则区间−与无交集，需>。故填>。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设集合｜<<，｜<<，若∩∅，求实数的取值范围。 【答案】−或 【分析】两个开区间无交集则完全错开。 【详解】、均为开区间且恒非空（长度）。若∩∅，则位于左侧或右侧：即−，或。故−或。 题型九 集合中的新定义 典例9 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设有限集，，定义差集−｜且∉，对称差△−∪−。若，，则△______。 【答案】 【分析】按定义先求−、−，再求并。 【详解】−（去掉中属于的、），−（去掉中属于的、）。△−∪−∪。 💡破题要诀 新定义问题关键是准确理解新运算新集合的含义，转化为熟悉的集合运算。写差集时“去掉两集合共有的元素”，对称差则是“只属于其一、不同时属于二者”的元素组成的集合。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 设是一个非空数集，若对任意，都有、−、（除法要求时），则称为一个“数域”。下列集合中是数域的是（　） ．整数集．．有理数集．自然数集 【答案】 【分析】对“数域”的定义逐一检验封闭性。 【详解】．中（）不一定为整数（如∉），不是数域；．中∉，不满足加法封闭，不是数域；．中任意，、−、、均为有理数，是数域；．中−−∉，不满足减法封闭，不是数域。故选。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 设有限集，，定义对称差△−∪−，则△中元素的个数为（　） ．．．． 【答案】 【分析】按定义求对称差。 【详解】−，−，△，共个元素。故选。 题型十 充分条件与必要条件的判断 典例10 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 设，则“>”是“>”的（　） ．充要条件　　．既不充分也不必要条件　　．必要不充分条件　　．充分不必要条件 【答案】 【分析】分别判断充分性与必要性。 【详解】①充分性：若>，因且不等式成立说明，故>，两边同除以得>，充分性成立；②必要性：若>，取，则，推不出>，必要性不成立。所以“>”是“>”的充分不必要条件。故选。 💡破题要诀 判断充分必要条件，看“⟹”与“⟹”谁成立。⟹且⇏为充分不必要；⟹且⇏为必要不充分；两者都成立为充要；都不成立为既不充分也不必要。举反例（如）可否定必要性。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 设，则“>”是“>”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】判断充分性与必要性。 【详解】>时>，充分性成立；>得>或<−，推不出>，必要性不成立。故充分不必要。故选。 2．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 设，则“”是“”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】判断充分性与必要性。 【详解】时，充分性成立；得或−，推不出，必要性不成立。故充分不必要。故选。 题型十一 充分条件与必要条件的应用 典例11 （25-26高一上·陕西·期中） 设，若“>”是“>”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______。 【答案】> 【分析】是的必要不充分条件，即的解集真包含于的解集。 【详解】设：>，：>。是的必要不充分条件，即⟹但⇏，也即⫋，故>。 💡破题要诀 利用集合包含关系判断充分必要条件：对应集合，对应集合。是的充分条件⟺⊆；是的必要条件⟺⊆；必要不充分即真包含于。解不等式对应集合后比较端点即可。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西·期中） 已知：−，：。若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。 【答案】− 【分析】对应−，对应，真包含于。 【详解】由⊆得−且，即−。又的长度为，的长度为，自动满足。故−。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 命题“∀，−”为真命题的一个充分不必要条件是（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求使命题为真的的范围，再找其真子集条件。 【详解】“∀，恒成立”，，故。于是“”是必要条件，“”真包含于“”，是充分不必要条件。故选。 题型十二 全称量词命题、存在量词命题的否定 典例12 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 命题“∀，−”的否定是（　） ．∃，−<．∀，−．∃，−．∀，−< 【答案】 【分析】全称命题的否定是存在命题，结论取反。 【详解】“∀，”的否定是“∃，¬”。为−，¬为−<。故否定为“∃，−<”。故选。 💡破题要诀 写量词命题的否定：①把全称量词改为存在量词（或反之）；②结论整体取反（不等号反号、等于变不等于等）；③条件（如）保持不变。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南联考·期中） 命题“∀>，>”的否定是（　） ．∀>，．∃>，．∃>，>．∀， 【答案】 【分析】全称命题的否定是存在命题，条件不变。 【详解】“∀>，”的否定为“∃>，¬”。结论>取反为，条件>不变。故否定为“∃>，”。故选。 2．（25-26高一上·陕西·期中） 命题“∀>，−”的否定是（　） ．∃>，−<．∀，−<．∃，−．∀>，−< 【答案】 【分析】全称命题的否定是存在命题，结论取反。 【详解】“∀>，”的否定为“∃>，¬”。结论−取反为−<，条件>不变。故否定为“∃>，−<”。故选。 题型十三 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 典例13 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 下列命题中，是真命题的是（　） ．∀，．∃，−．∀，．∃， 【答案】 【分析】逐一判断真假。 【详解】中∀，恒成立，真；中方程−的−<无实根，假；中取，不成立，假；中的解为，均不是有理数，假。故选。 💡破题要诀 判断全称命题真假：举反例（存在一个元素使命题不成立）即为假，所有元素都成立才是真。判断存在命题真假：找到一个满足条件的元素即为真，均不满足则为假。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 下列命题中，是假命题的是（　） ．∀，>．∃，−．∀，>．∃， 【答案】 【分析】逐一判断真假。 【详解】中∀，>恒成立，真；中存在使−，真；中取，不满足>，假；中存在使，真。故假命题为。 2．（25-26高一上·湖南长沙雅礼·期中） 设命题：∀，−，则下列判断正确的是（　） ．是真命题　　．是假命题　　．¬是“∃，−<”　　．¬是“∀，−<” 【答案】 【分析】判断真假并写否定。 【详解】−−对任意实数恒成立，是真命题（对、错）。全称命题的否定是存在命题，¬为“∃，−<”（对、错）。故选。 题型十四 全称量词命题、存在量词命题的应用 典例14 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∃，−”为真命题，则实数的取值范围为（　） ．．<．．> 【答案】 【分析】“∃，−”为真即不等式有解，判别式。 【详解】−在上有解，二次函数−的判别式−，得。故选。 💡破题要诀 “∃，有解”二次函数的最小值（）；“∀，>恒成立”>且<。转化为判别式或最值即可求参数范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∀，−>”为真命题，则实数的取值范围为______。 【答案】−<< 【分析】恒成立则判别式小于。 【详解】“∀，−>”恒成立，需−<，解得−<<。故填−<<。 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中） 已知命题“∃，”为假命题，则实数的取值范围为______。 【答案】< 【分析】原命题为假，其否定“∀，>”为真。 【详解】其否定“∀，>”为真。①时，>恒成立；②时，需>且−<，得<<。综合得<。 06 限时分层演练 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛；又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（　） ．人　　．人　　．人　　．人 【答案】 【分析】利用容斥原理∪−∩。 【详解】设参加田径运动会的同学构成集合（），参加球类运动会的同学构成集合（），两次都参赛的为∩（∩）。则总共参赛人数∪−。故选。 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合｜−<<，则集合的所有真子集的个数是（　） ．．．． 【答案】 【分析】先求的元素个数，再用真子集个数公式。 【详解】｜−<<，含个元素，真子集个数为−。故选。 3．（25-26高一上·江苏·期中摸底） 命题“∃，>”的否定是（　） ．∀，>．∃，．∃，．∀， 【答案】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，结论取反。 【详解】“∃，”的否定是“∀，¬”。结论>取反为，条件不变。故否定为“∀，”。故选。 4．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） “”是“”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充要条件　　．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】判断充分性与必要性。 【详解】①充分性：取，则，推不出，不充分；②必要性：则且，故，必要。所以“”是“”的必要不充分条件。故选。 5．（25-26高一上·江苏·期中摸底） 下列说法正确的是（　） ．∅⊆．．⊆．∅ 【答案】 【分析】根据集合间关系与元素与集合关系判断。 【详解】∅是任何集合的子集，∅⊆正确（对）；是有理数，正确（对）；是有理数集，是整数集，⊄，错；中元素是，∅∉，错。故选。 6．（25-26高一上·浙江宁波六校·期中） 已知集合−，−，则实数的值为（　） ．−．−或．．− 【答案】 【分析】由−列方程并结合互异性求解。 【详解】由−，得−（无实数解）或−−，即−。当−时，，−−，−，满足互异性。故−，选。 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·江苏南京·期中） 命题“>”是命题“−−>对一切实数恒成立”的（　） ．充分不必要条件　　．必要不充分条件　　．充分必要条件　　．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】先求“恒成立”等价的条件，再判断充分必要性。 【详解】“−−>对一切实数恒成立”：二次项系数>，需判别式−−<，即−−>，解得>或<−。①“>”能推出>或<−，充分性成立；②恒成立（>或<−）推不出>（可能<−），必要性不成立。所以“>”是恒成立的充分不必要条件。故选。 2．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知命题：∃，−−>；命题：∀，−−。若命题、均为假命题，则实数的取值范围为（　） ．−．−．．−− 【答案】 【分析】分别求出、为真命题时的范围，再取、均假的范围。 【详解】真：∃，>−−−。当时，−−，存在使大于它，即>最小值，故真>。真：∀，−−，即方程无实根，−−−<，得<−。故、均为假命题：且−，即−。故选。 3．（25-26高一上·江苏扬州新华中学·期中） 已知集合｜<<，集合｜<<−。 （）设命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围； （）若∩∅，求实数的取值范围。 【答案】（）−；（）− 【分析】（）是的充分条件即⊆；（）分∅与∅讨论交空。 （）【详解】是的充分条件，即可推出，故⊆。于是且−，解得且−，故−。 （）【详解】若∅，则−，得，此时∩∅成立；若∅，则<−即<，需在左侧或右侧：（即，与<矛盾，无解）或−（即−），故−<。综合得或−<，即−。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $