专题07 指数与指数函数（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版2019

专题07 指数与指数函数（期中复习讲义） 【考试要求】 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4.知道指数函数是一类重要的函数模型。 【命题规律】 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度。 1.根式 （1）如果 ，那么 叫做 的 次方根。 （2）式子 叫做 ，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。 （3） 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂， 。 正数的负分数指数幂， 。 0的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ; ; 。 注意：指数幂的运算性质中，底数大于0，否则不能用性质进行运算。 4.指数函数及其性质 （1）概念：函数 （ ,且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ， 是底数。 （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点 ，即 时， 当 时， ; 当 时， 当 时， ; 当 时， 在 上是 在 上是 类型一 指数幂的运算 1. 化简 的结果为( ) A. B. C. D. 2. 化简 的结果为( ) A. B. C. D. 3. 计算： 。 4. 已知 ，则 的值为 。 反思总结：指数幂运算的一般原则 1.指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算。 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数。 4.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 类型二 指数函数的图象 1.函数 的图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 2.已知 , ，则函数 的图象必定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.若函数 在（ 上单调递减，则 的取值范围为 。 4.函数 （ ，且 ）的图象可能是( ) A. B. C. D. 总结反思 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到。特别地，当底数 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论。 类型三 指数函数的性质及应用 1. 已知 , , ,则 , , 的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.已知实数 , 满足等式 ，下列关系式中一定不正确的是( ) A. B. C. D. 3.设函数 若 ，则实数 的取值范围是( C ) A. B. C. D. 4.已知函数 为常数 ，若 在区间 ）上单调递增，则 的取值范围是 。 总结反思 1.比较指数式的大小，其依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的范围是 还是 ，若不能化为同底，则可化为同指数或利用中间变量比较。 2.数形结合法也是常用的方法。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知 ， , ，则( ) A. B. C. D. 2. 若 ，则函数 的值域是( ) A. ） B. C. D. ） 3. 当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若函数 的大致图象如图所示，则( ) A. , B. , C. , D. , 2.已知 , , ，则 , , 的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.设 ，则( ) A. B. C. D. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 已知函数 。 （1） 求 的单调区间； （2） 若 的最大值等于 ，求实数 的值。 2. 已知函数 ，且 。 （1） 讨论 的奇偶性； （2） 求 的取值范围，使 在定义域上恒成立。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 指数与指数函数（期中复习讲义） 【考试要求】 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4.知道指数函数是一类重要的函数模型。 【命题规律】 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度。 1.根式 （1）如果 ，那么 叫做 的 次方根。 （2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。 （3） 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂， 。 正数的负分数指数幂， 。 0的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ; ; 。 注意：指数幂的运算性质中，底数大于0，否则不能用性质进行运算。 4.指数函数及其性质 （1）概念：函数 （ ,且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ， 是底数。 （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点 ，即 时， 当 时， ; 当 时， 当 时， ; 当 时， 在 上是增函数 在 上是减函数 类型一 指数幂的运算 1. 化简 的结果为( B ) A. B. C. D. [解析] 。故选B。 2. 化简 的结果为( C ) A. B. C. D. [解析] 。故选C。 3. 计算： 。 [解析] 。 4. 已知 ，则 的值为 。 [解析]由 ，得 ，即 ，又 , ，所以 , ，所以 ，所以 。 反思总结：指数幂运算的一般原则 1.指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算。 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数。 4.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 类型二 指数函数的图象 1.函数 的图象的大致形状是( D ) A. B. C. D. [解析]因为 且 ，所以根据指数函数的图象和性质可知当 时，函数为减函数，图象逐渐下降；当 时，函数是增函数，图象逐渐上升，故选D。 2.已知 , ，则函数 的图象必定不经过( A ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]函数 单调递减，且过定点 ，其大致图象如图。由图象可知， 的图象必定不经过第一象限。 3.若函数 在（ 上单调递减，则 的取值范围为（ 。 [解析]函数 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位后，再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方得到的，函数图象如图所示。由图象知，其在（ 上单调递减，所以 的取值范围为（ 。 4.函数 （ ，且 ）的图象可能是( D ) A. B. C. D. [解析]当 时， 为增函数，且在 轴上的截距为 ，此时四个选项均不对；当 时，函数 是减函数，且其图象可视为是由函数 的图象向下平移 个单位长度得到，选项D适合。 总结反思 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到。特别地，当底数 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论。 类型三 指数函数的性质及应用 1. 已知 , , ,则 , , 的大小关系为( C ) A. B. C. D. [解析]因为 , ，所以 ，故选C。 2.已知实数 , 满足等式 ，下列关系式中一定不正确的是( B ) A. B. C. D. [解析]函数 与 的大致图象如图所示。由 ，得 或 或 ，则 , , 正确，B错误。故选B。 3.设函数 若 ，则实数 的取值范围是( C ) A. B. C. D. [解析]当 时，不等式 可化为 ，即 ，即 ，因为 ，所以 ，此时 ；当 时，不等式 可化为 ，即 。故 的取值范围是 。故选C。 4.已知函数 为常数 ，若 在区间 ）上单调递增，则 的取值范围是（ 。 [解析]令 ，则 在区间 ）上单调递增，在区间 上单调递减，而 是增函数，所以要使函数 在 ）上单调递增，则有 ，即 ，所以 的取值范围是 。 总结反思 1.比较指数式的大小，其依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的范围是 还是 ，若不能化为同底，则可化为同指数或利用中间变量比较。 2.数形结合法也是常用的方法。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知 ， , ，则( D ) A. B. C. D. [解析]解法一：因为 ,所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。故选D。 解法二：因为 , ， , ，所以 ，所以 。故选D。 2. 若 ，则函数 的值域是( B ) A. ） B. C. D. ） [解析]因为 ,所以 ，即 ，解得 ，所以函数 的值域是 ，即 。故选B。 3. 当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( A ) A. B. C. D. [解析]由 ，即 ，等式两边同乘 得 ，因为函数 在（ 上是增函数，所以 ，当 时， 恒成立等价于 。故选A。 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若函数 的大致图象如图所示，则( B ) A. , B. , C. , D. , [解析]令 ，即 ，则 ,即 ，由图可知， ，故当 时， ，当 时， ，排除 、 ；当 时，易知 是减函数，且当 时， ，则 ，易知C明显不符合题意，排除C。故选B。 2.已知 , , ，则 , , 的大小关系是( B ) A. B. C. D. [解析]由 得 ，所以 , ，故 。故选B。 3.设 ，则( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，即 ，所以 ， , ，所以 。故选D。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 已知函数 。 （1） 求 的单调区间； （2） 若 的最大值等于 ，求实数 的值。 [答案]（1）解令 ，则 ，不论 取何值， 在 上单调递减，在 上单调递增，又 是单调递减的，因此 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 （2）由于 的最大值是 ，且 ，所以 应该有最小值 ， 即 ,从而 。 2. 已知函数 ，且 。 （1） 讨论 的奇偶性； （2） 求 的取值范围，使 在定义域上恒成立。 [答案]解（1）由于 ，则 ，得 ，所以函数 的定义域为 。 对于定义域内任意 ，有 ,所以函数 是偶函数。 （2）解由（1）知 为偶函数， 所以只需讨论 时的情况，当 时，要使 ， 则 ，即 ，即 ，则 。 又因为 ,所以 。所以当 时， 在定义域上恒成立。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $