第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2019必修第一册

命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第1章：集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第ㄧ卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第川卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.(25-26高一上广西柳州·开学考试)下列说法正确的是(） A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3 D.数1,0,5，日，}，？店组成的集合中有6个元素 【答案】A【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A:安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确： 对于B:“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误： 对于C:不大于3的自然数包括0,1,2,3，C错误： 对F于D:}不同的感1®5共5个，D份：最选A 2.(25-26高一上全国·课后作业)下列四个命题是真命题的是() A.x∈R,x+2>0B.3x∈Z,5x+1=0C.x∈R,x2-1≠0D.3x∈Z,1<4x<3 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假 【详解】选项A,因为x∈R,x4≥0，可得x4+2>0,即A是真命题，所以A正确： 选项8，易知当5x+1-0时：x=号不是整数，即不存在xe乙5x+1-0,所以B为假命慰，所以B债误： 选项C,易知当x=士1时，x2-1=0,因此C为假命题，所以C错误： 第1页共11页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选项D,解1<4<3可得}x<显然不存在x∈Z,使得1<4x<3,可得0为假命题，所以D错误. 故选：A. 3.(2025高一全国.专题练习)集合A=1,2},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A∈CB的集合C的个数为) A.4 B.7 C.8 D.15 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题意写出集合B=0,1,2,3,4,再由子集和真子集的定义即可解得 【详解】方法一：A二CB的含义是A有的C都有，C有的B都有，但C不能等于B. 因为集合A=1,2},B={x|-1<x<5,x∈N={0,1,2,3,4}, 所以集合C可为1,2，{1,2,3，{0,1,2，{1,2,4，{0,1,2,3}，{0,1,2,4}，1,2,3,4，共7个. 方法二：集合A中有2个元素，B中有5个元素， 则集合C可以是集合{0,3,4的任意一个真子集与集合A并集组成， 所以满足A≤CB的集合C有25-2-1=7（个）.故选：B. 4.(24-25高一，上海假期作业)集合A={x1<x<2},B={x1<x<,若B二A,则实数的取值范围是(） A.(2,+D) B.1,2] C.(-0,2] D.[2,+0) 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合的包含关系，对集合B是否是空集分类讨论即可求解。 m>1 【详解】当B=☑时，1≤1，当B≠0时，则 m≤2'解得1<m≤2， 综上所述，实数m的取值范围是(-0,2].故选：C 5.(2025高一上全国.专题练习)如图所示的Ven图中，A,B是非空集合，定义集合A△B为阴影部分表示的 集合.已知全集U=x∈Nx≤10}，集合A=1,2,3,4,B={3,4,5,6,C={x∈Ux是偶数}，则下列结论正确 的是() A.A∩B={4} B.AUC=L,2,3,4,6,10}C.(A△B)∩C={6}D.(CuA)nBUC={5,6,8,10} 【答案】D【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算、并集的概念及运算 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可， 【详解】由题U={x∈Nx≤10}=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，C={x∈Ux是偶数}={2,4,6,8,10} 对于A,A∩B=3,4,故A错误： 对于B,AUC={1,2,3,4,6,8,10},故B错误： 对于C,A△B={1,2,5,6},(A△B)∩C={2,6},故C错误： 第2页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于D,CuA={5,67,8,9,10},BUC={2,3,4,5,6,8,10}, 则(CuA)∩BUC={5,6,8,10],故D正确.故选：D 6.(25-26高三上陕西阶段练习)有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练，参加篮球训练的有6人，参加乒乓球 训练的有9人，参加羽毛球训练的有10人，其中只参加2种球类训练的有6人，则3种球类训练都参加的人 数为) A.2 B.4 C.1 D.3 【答案】A【难度】0.65【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加2种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解。 【详解】设参加1种、2种、3种球类训练的人数分别为N、N,、N. 由题意得总人数N+N+N=15,且N2=6,则N+N,=15-6=9.参加各项目的人数总和为6+9+10=25， 该总和中，参加1种、2种、3种训练的人数分别被计算了1次、2次、3次，故N+2N2+3W=25, 将N2=6代入可得N+2×6+3N,=25,即N+3N=13 N+N=9 联立方程组 N+3=13'解得N=2,即3种球类训练都参加的人数为2人，故选：A 7.(24-25高一上湖北期中)已知集合U=x∈Nx≤6，若A≤U,且同时满足：①若x∈A,则3xEA;②若 x∈CuA,则3x∈CuA.则集合A的个数为( A.4 B.8 C.16 D.20 【答案】C【难度】0.4【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】分析可知，1、3不同在集合A或CuA中，2、6不同在集合A或CuA中，而4、5无限制，列举出 满足条件的集合A,即可得解 【详解】因为U=x∈Nx≤6=红2,3,4,5,6}，AU, 由题意可知，若1∈A,则3A,若1∈CuA,则3CuA, 若2∈A,则6￠A,若2∈CuA,则6CuA,4、5没有限制， 综上所述，满足条件的集合A可为：1,2}、1,2,4}、1,2,5}、1,2,4,5}、1,6}、1,6,4、1,6,5}、1,6,4,5}、 {2,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,3,4,5}、3,6、3,6,4}、3,6,5}、3,6,4,5},共16个，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解 8.(24-25高一上辽宁大连期末)记X一Y表示命题X成立且命题Y不成立，现给出三个命题A,B,C,则) A.“A是B的充分不必要条件”是“B是A的必要条件”的必要不充分条件 B.“C是AB的必要不充分条件”是“A是C的充分不必要条件"的既不充分也不必要条件 C.“AB是C的充要条件"是“AC是B的充分不必要条件"的充分不必要条件 D.BA是C的既不充分也不必要条件"是“AB是C的充要条件"的必要不充分条件 【答案】D【难度】0.15【知识点】判断命题的充分不必要条件、必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而 第3页共11页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可以逐一判断. 【详解】令三个命题A,B,C对应三个数集M,N,T,全集为R, 对于A,命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题P:MN, 命题“B是A的必要条件”，等价于命题q:MCN, 因此P→q,但q羚p,所以P是q的充分不必要条件，故A错误： 对于B,命题“C是A一B的必要不充分条件"等价于命题P:M∩(CN)T, 命题“A是C的充分不必要条件"等价于命题9：MT,因此9→P,但p书q, 所以P是9的必要不充分条件，故B错误： 对于C,命题“AB是C的充要条件"等价于命题M∩(CN)=T,即T=CRN, 也即Mn(CRT)=MnN:命题“A-C是B的充分不必要条件”等价于命题q:Mn(CRT)N, 因此p书q,但q羚p,所以P是9的既不充分不必要条件，故C错误： 对于D,命题“BA是C的既不充分也不必要条件”等价于命题P:(CM)∩N与T互不包含， 命题“A-B是C的充要条件"等价于命题q:Mn(CN)=T,即T二M, 因此9→卫，但p羚q,所以P是9的必要不充分条件，故D正确故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的 关系和运算问题，从而快速得解 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列说法正确的是() A.{xx是菱形}二{xx是正方形}B.若M={x|x=2n+1,n∈Z,N={x|x=2n-1,n∈Z☑，则M= C.集合{2,4,6}的真子集个数为7D.☑{x|x2+1=0,x∈R} 【答案】BC【难度】0.85【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合是否相等、空集的概念 以及判断、判断两个集合的包含关系【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集与元素个 数关系及空集关系定义逐项判断即可得， 【详解】对A:菱形不一定是正方形，A错误： 对B:因为集合M与集合N均表示奇数集，所以M=W,B正确： 对C:集合{2,4,6的真子集为{2,4，{2,6}，{4,6，{2，{4}，{6,0，共7个，C正确： 对D:{xx2+1=0,x∈R}=⑦，由于空集不是空集的真子集，D错误.故选：BC 10.(24-25高一上·吉林·期末)己知“2x>3-x"是“x>a"的充分不必要条件，则α的值可能为) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可 【详解】由2x>3-x得x>1, 第4页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为“2x>3-x"是“x>a"的充分不必要条件，即“x>1”是“x>a"的充分不必要条件， 所以{xx>1}是xx)@的真子集，所以a<I,选项A、B、C中数值符合.故选：ABC 11.(24-25高一上河北石家庄·阶段练习)群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的 研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论 知识证明群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“.”是G上的一个 代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a,b∈G,有ab∈G:②对任意的a,b,c∈G,有 (ab)c=a(b.c);③存在eeG,使得对任意的a∈G,有ea=ae=a,e称为单位元；④对任意的a∈G, 存在beG,使a.b=b·a=e,称a与b互为逆元.则称G关于."新构成一个群.则下列说法不正确的有() A.G={0,1,2}关于数的乘法构成群B.自然数集N关于数的加法构成群 C.实数集R关于数的乘法构成群 D.G=a+√bh,b∈Z关于数的加法构成群 【答案】ABC【难度】0.15【知识点】集合新定义 【分析】反例判断A,B,C是否满足④，对于D,对所有的a,b∈G,设a=x+√2y,b=5+Vi,(c,y,S,t∈Z), 求出a+b,依次看是否满足要求 【详解】A:由l∈G且a∈G,使1a=a1=a,但0eG,不存在b∈G,使0.b=b.0=1,故A错误： B:由0∈N且a∈N,都有0+a=a+0=a,但l∈N,不存在beN,使1+b=b+1=0,故B错误： C:由1∈R且a∈R,使1a=al=a,但0∈R,不存在b∈R,使0b=b.0=1,故C错误： D:对所有的a,b∈G,可设a=x+√2y,b=3+V2t,(c,y,5,t∈Z),则a+b=(x+s)+√2(y+t)EG, ①G满足加法结合律，即Ha,b,c∈G,有(a+b)+c=n+(亿+c): ②3e=0∈G,使得∀a∈G,有e+a=a+e=a; ③Va∈G,设a=x+√2y,x,y1Z,$b=-x-√2y1G,使a+b=b+a=e,正确故选：ABC 【点睛】关键点点睛：对于D,对所有的a,b∈G,a=x+√2y,b=s+i,c,y,s,t∈Z),求出a+b. 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(24-25高一上四川达州期中)某社团有122名社员，他们至少参加了A,B,C三项活动中的一项，得知 参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a= B a 28 b 26 【答案】9【难度】o.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据题意，利用韦恩图得到关于α，b,c的方程组，解出的α值即可. 第5页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 28+6+a+b=51 a+b=17 【详解】由题意得 35+6+a+c=60 ,则a+c=19 ,解得a=9.故答案为：9. a+b+c+6+28+35+26=122 a+b+c=27 13.(24-25高一上江苏南京阶段练习)已知p:-2≤x≤2，q:1-m≤x≤m-1,若p是q的充分不必要条件，则 实数m的取值范围为. 【答案】>3【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 -2≥1-L 【分析】依据充分不必要条件求得需满足 2≤m-1且等号不同时成立，可得m>3. -2≥1- 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足 2≤m-1,解得m≥3： 但且两端等号不同时成立，所以m≠3，即>3：因此实数的取值范围为>3.故答案为：>3 14.(23-24高一上江西期中)已知A=(x,x2,x3x4)满足：①x∈{0,1,2,3}(i=1,2,3,4):②1≤i<j≤4，均有 x≠x,:若B=(y,y2yy4),其中y=0,2=1,⅓=2，y4=3,且集合M={zz=x-y}有7个真子 集，则满足条件的A的个数为 【答案】6【难度】0.4【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先根据条件列出A的所有情况，根据题意分析求解即可. 【详解】A=(:,x2,,x4)，由条件①②知，A中元素各不相等且x∈0,1,2,3}，所以A有以下24种情况： A={0,1,2,3},A={0,1,3,2},A={0,2,1,3},A={0,2,3,1},A={0,3,1,2},A={0,3,2,1},A=1,0,2,3} A=1,0,3,2},A=1,2,0,3},A={1,2,3,0},A={1,3,0,2},A=1,3,2,03,A={2,0,1,3},A={2,0,3,1}, A={2,1,0,3},A={2,13,0},A={2,3,0,1},A={2,3,1,0},A={3,0,1,2,A={3,0,2,1,A={3,1,0,2}, A={3,1,2,0},A={3,2,0,1},A={3,2,1,0}, 因为集合M={z=-y}有7个真子集，所以集合M有三个元素，即x-有三种情况.又B=(0,1,2,3), 则满足题意的集合A有：A={0,2,3,1},A={0,3,1,2},A=1,2,0,3},A={2,0,1,3},A={2,3,1,05, A={3,2,0,1},共6种情况.故答案为：6. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)24-25高一上陕西西安阶段练习)已知全集U=R,集合A={d-3<x<5},B={Nx-m>0. (1)当m=-2时，求AU(CB):(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围. 【答案】(1){灯x<5}(2){mm≤-3}【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】(1)根据补集、并集的定义求解即可：(2)根据A∩B=A推出A二B,再求m的范围即可. 【详解】(1)因为集合B={xx-m>0}, 第6页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由x->0,解得x>m,所以集合B={xx>, …1分 可得当=-2时，集合B={xx>-2}, …2分 又因为全集U=R,所以CuB={xx≤-2}， …4分 又因为集合A={x-3<x<5},所以AU(CB)={XX<5.…6分 (2)因为A∩B=A,所以A二B, …9分 又因为集合B={xx>m叫，A={x-3<x<5}，所以m≤-3，…12分 即实数m的取值范围为{mm≤-3} …13分 16.(15分24-25高一上福建福州期中)设全集U=R,集合A={x|-2≤x≤4，B={x|x<-6或x≥2} (1)求图中阴影部分表示的集合：(2)已知集合C={x10-a<x<2a+1},若(CuB)nC=0,求a的取值范围. B 【答案】(1){x|-2≤x<2}(2){aa≤8}【难度】0.65【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合、根据 集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】(1)由Venn图阴影部分可用集合An(CuB)表示，再由集合的交集与补集运算可得： (2)先将条件(CuB)∩C=转化为CB,再按集合C是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】(1)图中阴影部分可用集合An(CB)表示. ……2分 因为A={x-2≤x≤4，B={xx<-6或x≥2}， 所以CuB={x-6≤x<2, …4分 An(CuB)={x-2≤x≤4n{-6≤x<2}={x-2≤x<2 则图中阴影部分表示An(CB)={x-2≤x<2} …7分 (2)因为C={x10-a<x<2a+1},B={xx<-6或x≥2}， 由(CB)nC=O,得C二B, …9分 所以当C=0时，10-a≥2a+1,解得a≤3，符合题意；…11分 [10-a<2a+1[10-a<2a+1 当C≠0时， 或 2a+1≤-6 10-a≥2 [10-a<2a+1 此时不等式组 无解， 2a+1≤-6 [10-a<2a+1 不等式组 的解集为3<a≤8， ……14分 10-a≥2 综上，a的取值范围为{aa≤8}. ……15分 17.(15分)25-26高一上.宁夏吴忠.阶段练习)(1)己知p:x>m+3或x<m,9:-4<x<1,且P是9的必要而不充 第7页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分条件，求m的取值范围： (2)求证：=1是一元二次方程x2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0). 【答案】(1)m≤-7或m≥1；(2)证明见解析.【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、根据必要不充分条件求参数 【分析】(1)根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解： (2)结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证， 【详解】(1)根据P是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题卫中变量取值集合的真子集，…3分 所以可得到m≥1或+3≤-4， …6分 即≤-7或≥1： …7分 (2)证明：充分性：，a+b+c=0,∴.c=-a-b, 代入方程a2+bx+c=0,可得ax2+bx-a-b=0, …9分 即(x-1)(ax+a+b)=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1. x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根 …11分 必要性：：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根， 将x=1代入方程ax2+b.x+c=0得a+b+c=0. …14分 综上可得，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0).…15分 18.(17分24-25高一上江苏南通阶段练习)已知集合A={=m2-n2,m∈Z,n∈Z. (1)判断8,9,10是否属于集合A:(2)已知集合B={xx=2k+1,k∈Z,证明：“x∈A”的充分非必要条件是 x∈B”:(3)写出所有满足集合A的偶数。 【答案】(1)8∈A,9∈A,10EA(2)证明见详解(3)4k(k∈Z)【难度】0.4 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】(1)根据集合A中元素的特征一一判断即可： (2)由2k+1=(k+1)-k2，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立 (3)讨论m和n同为奇数和偶数及m和n一奇一偶时，满足集合A的偶数即可得出答案. 【详解】(1)8=32-12,9=52-42， ..8A,9A, …2分 假设10=2-n2,m∈Z,n∈Z, 则m-n=10,即(+4)(-风）=10 且+m>-4>0,(m+4eZ,（m-eZ, 第8页共11页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 l+l=10e[lm+1=5 叫-=1m-川=2' 显然均无整数解， .10EA …4分 综上，8∈A,9∈A,10EA. ……5分 (2):2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z,.2k+1∈A, …7分 即所有奇数都属于集合A,则x∈B,必有x∈A, …8分 又8∈A,而8B,即x∈A,推不出x∈B, ……10分 所以x∈A的充分非必要条件是x∈B …11分 (3)由m2-n2=(m+n)(m-n),m∈Z,neZ, 当m和n同为奇数和偶数时，m+n,-n均为偶数， 所以(m+n)(-n)为4的倍数； …14分 当m和n一奇一偶时，m+m,m-n均为奇数， 所以(m+n)(-n)为奇数. ……16分 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z☑) …17分 19.(17分25-26高一上·上海开学考试)设集合A={a,4,4,a},B={b,b2,b,b,},C={2,3,4,6},新定义： 集合A中所有含n个元素的子集中n个元素之和的不同值组成的集合为“n元和集”，集合A中所有含n个元 素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“n元差集”，特别地，当=1时，认为“剩 余所有元素的和”的值为0。 (1)若A的“k元和集”为C,求：集合A: (2)在(1)的条件下，若B的“k元差集"”为C,求：对应前提下所有满足条件的A⌒B的真子集个数之和： (3)若集合A,B中的元素均为自然数，设b=G,b,=G,b,=4,b,=4；若A⌒B为2元集且元素之和为10 且A的“2元和集”中最大元素不超过14，求：所有满足条件的A的“3元差集” 【答案】(1)当k=1时，A={2,3,4,6,当k=3时，A={-1,1,2,3}:(2)28:(3)1,3,5}或0,4,5,6}或0,2,4,5} 【难度】0.15【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】(1)分k=1,k=2,k=3,k=4,k=0讨论，结合定义求A的“k元和集”由条件列方程求4,42,4,4， 由此可得结论：(2)由定义可得B的“1元差集”为b,b2,b,b,},由条件求B,再求A⌒B的真子集个数，由定 义可求B的“3元差集”，讨论结合条件列方程求B,再求A⌒B的真子集个数，相加可得结论： (3)由条件可证明1∈A,3∈A,9∈A,设A={1,3,9,x,可推出x的可能值，讨论结合定义求结论 【详解】(1)当=0时，集合A={4,a2,4,4}含有0个元素的子集为⑦，与条件矛盾，…1分 当k=1时，集合A={a,4,4,a}含有1个元素的子集有{a},{a2},{a},{a}, 所以集合A的"1元和集"为{a,a2,4,a},由已知有A={2,3,4,6}, …2分 第9页共11页 品学科网·上好课 wWw.Z×Xk,com 上好每一堂课 当k=2时，集合A={a,a2,a,a}含有2个元素的子集有{a,a2},{a,a},{a,a},{a2,a},{凸2，a},{a,a}, 不妨设a<4<4<4,则a+a2<a+a<4+a<a2+a4<a+a, 故集合A的“2元和集"至少含5个元素，与条件矛盾， …3分 当k=3时，集合A={a1,a2,a,4}含有3个元素的子集有{a,4,a},{a,a2,a4},{4,4,4},{a2,4,a}, 所以集合A={4,42,4,a}的“3元和集"为{4+42+4,4+42+44,41+a+a4,42+4+a}, 不妨设4<4<4<4，A的“k元和集"为C, 则4+42+a3=2,4+a2+a4=3,4+43+a4=4,42+43+4=6, 相加可得3(4+a2+4+a4)=15,故4+4+4+a4=5, 所以4=-1,42=1,4=2,44=3，故A={-1,1,2,3} …4分 当k=4时，集合A={a,4,4,a}含有4个元素的子集为a,a2,a,a}, 集合A={a,a2,43,4}的“4元和集"为{a+a2+a3+a}, 该集合只有1个元素，与条件矛盾， 综上，当k=0,2,4时，满足条件的A不存在， 当k=1时，A={2,3,4,6},当k=3时，A={1,1,2,3}；…5分 (2)当k=1时，A={2,3,4,6},集合B=,b2,b,b}的含有1个元素的子集有b},b2},b},b}, 不妨设b<b<b,<b,则集合B的“1元差集”为，b2,b,b}, 由已知b=2,b,=3,b=4b,=6,故B={2,3,4,6}, 此时AB={2,3,4,6},其真子集有15个， …7分 当k=3时，A={-1,1,2,3},集合B=b,b,b,b}含有3个元素的子集有 b,b2,b},{b,b2,b},{b,b,b},{b2,b,b} 所以集合B=b,b,b,b}的“3元差集"为b,-b-b2,b-b-b2,b-b-b,b4-b,-b}, b-b-b<b-b-b;<b-b-b2;b:-b-b<b-b-b: b-b-b,<b-b,-b<b-b-b<b-b-b; 则b-b-b2=2,b,-b2-b=3,b,-b-b=4,b-b-b2=6, 所以b=0,b2=1,b=3,b,=7,故B={0,1,3,7}, 此时A⌒B=1,3},其真子集有3个， …8分 b-b2-b3<b-b-b2<b-b-b3<b-b-b, 则b,-b2-b=2,b-b-b2=3,b-b-b=4,b,-b-b2=6, 所以b=-1,b2=1,b,=3,b,=6，故B={-1,1,3,6}, 第10页共11页学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第1章：集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第ㄧ卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第川卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的 1.(25-26高一上广西柳州开学考试)下列说法正确的是() A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3 0数1,0,5日}年居 组成的集合中有6个元素 2.(25-26高一上全国课后作业)下列四个命题是真命题的是() A.x∈R,x+2>0B.3x∈Z,5x+1=0C.x∈R,x2-1≠0 D.3x∈Z,1<4x<3 3.(2025高一·全国·专题练习)集合A=1,2,B={x|-1<x<5,x∈，则满足ACB的集合C的个数为) A.4 B.7 C.8 D.15 4.(24-25高一上海·假期作业)集合A={x1<x<2},B={x|1<x<m,若B二A,则实数m的取值范围是() A.(2,+0) B.1,2] C.(-0,2] D.[2,+0) 5.(2025高一上·全国.专题练习)如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合A△B为阴影部分表示的 集合已知全集U=x∈Nx≤10}，集合A=1,2,3,4},B={3,4,5,6,C={x∈U川x是偶数}，则下列结论正确 的是() A.A∩B={4 B.AUC={1,2,3,4,6,10} c.(A△B)∩C={6}D.(CuA)n(BUC)={5,6,8,10} 第1页共5页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高三上·陕西·阶段练习)有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练，参加篮球训练的有6人，参加乒乓球 训练的有9人，参加羽毛球训练的有10人，其中只参加2种球类训练的有6人，则3种球类训练都参加的人 数为) A.2 B.4 C.1 D.3 7.(24-25高一上湖北期中)已知集合U={x∈Nx≤6，若AU,且同时满足：①若x∈A,则3x年A;②若 x∈CuA,则3x∈CuA.则集合A的个数为( A.4 B.8 C.16 D.20 8.(24-25高一上辽宁大连·期末)记XY表示命题X成立且命题Y不成立，现给出三个命题A,B,C,则() A.“A是B的充分不必要条件”是“B是A的必要条件"的必要不充分条件 B.“C是A一B的必要不充分条件”是“A是C的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C."AB是C的充要条件"是“"A一C是B的充分不必要条件”的充分不必要条件 D.BA是C的既不充分也不必要条件"是“AB是C的充要条件"的必要不充分条件 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(25-26高一上全国课前预习)下列说法正确的是() A.{xx是菱形}二{xx是正方形}B.若M={x|x=2+1,n∈Z,N={x|x=2n-1,n∈Z},则M= C.集合{2,4,6}的真子集个数为7D.☑{xx2+1=0,x∈R} 10.(24-25高一上·吉林，期末)已知“2x>3-x"是“x>a”的充分不必要条件，则a的值可能为) A.-2 B.-1 C.0 D.1 11.(24-25高一上河北石家庄·阶段练习)群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的 研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论 知识证明群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“.”是G上的一个 代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a,b∈G,有ab∈G；②对任意的a,b,c∈G,有 (ab)c=a(b.c);③存在eeG,使得对任意的a∈G,有ea=ae=a,e称为单位元；④对任意的aeG, 存在b∈G,使ab=b·a=e,称a与b互为逆元.则称G关于“."新构成一个群.则下列说法不正确的有() A.G={0,1,2}关于数的乘法构成群B.自然数集N关于数的加法构成群 C.实数集R关于数的乘法构成群 D.G=a+√bh,b∈Z关于数的加法构成群 第2页共5页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(24-25高一上四川达州·期中)某社团有122名社员，他们至少参加了A,B,C三项话动中的一项，得知 参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中= B A 28 b 26 13.(24-25高一上江苏南京阶段练习)已知p:-2≤x≤2，q:1-m≤x≤m-1,若p是q的充分不必要条件，则 实数的取值范围为一 14.(23-24高一上江西·期中)已知A=(31,x2,x,x4)满足：①x∈{0,1,2,3}(i=1,2,3,4):②1≤i<j≤4，均有 x≠x:若B=(y,y2y,y4),其中y=0,为2=1，=2，y4=3,且集合M={zz=x-y}有7个真子 集，则满足条件的A的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)24-25高一上陕西西安阶段练习)己知全集U=R,集合A={d-3<x<5},B={Nx-m>0}. (1)当=-2时，求AU(CuB):(2)若A∩B=A,求实数的取值范围. 16.(15分)24-25高一上·福建福州期中)设全集U=R,集合A={x|-2≤x≤4，B={x|x<-6或x≥2} (1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合C={x10-a<x<2a+1},若(CuB)∩C=0,求a的取值范围， 第3页共5页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.(15分)25-26高一上.宁夏吴忠阶段练习)(1)已知p:x>m+3或x<,q:-4<x<1,且P是9的必要而不充 分条件，求m的取值范围； (2)求证：=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0). 18.(17分24-25高一上江苏南通阶段练习)已知集合A={=m2-2,m∈ZeZ (1)判断8,9,10是否属于集合A:(2)己知集合B={xx=2k+1,k∈Z,证明：“x∈A”的充分非必要条件是 x∈B”;(3)写出所有满足集合A的偶数. 第4页共5页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)25-26高一上.上海开学考试)设集合A={a,4,4,a},B=b,b,b,b},C={2,3,4,6},新定义： 集合A中所有含n个元素的子集中n个元素之和的不同值组成的集合为“n元和集”，集合A中所有含n个元 素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当n=l时，认为“剩 余所有元素的和"的值为0 (1)若A的“k元和集”为C,求：集合A; (2)在(1)的条件下，若B的“k元差集”为C,求：对应前提下所有满足条件的A⌒B的真子集个数之和； (3)若集合A,B中的元素均为自然数，设b=G,b,=G,b=4,b,=4;若A⌒B为2元集且元素之和为10 且A的“2元和集”中最大元素不超过14，求：所有满足条件的A的“3元差集”. 第5页共5页 第1章：集合与逻辑(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_____________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(25-26高一上·广西柳州·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误；故选：A. 2.(25-26高一上·全国·课后作业)下列四个命题是真命题的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断全称命题的真假、判断特称(存在性)命题的真假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假． 【详解】选项A，因为，可得，即A是真命题，所以A正确； 选项B，易知当时，不是整数，即不存在，所以B为假命题，所以B错误； 选项C，易知当时，，因此C为假命题，所以C错误； 选项D，解可得，显然不存在，使得，可得D为假命题，所以D错误． 故选：A． 3.(2025高一·全国·专题练习)集合，，则满足的集合的个数为(    ) A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素， 则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有(个)．故选：B． 4.(24-25高一·上海·假期作业)集合，，若，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，，当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是．故选：C 5.(2025高一上·全国·专题练习)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算、并集的概念及运算 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可. 【详解】由题，是偶数， 对于，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故错误； 对于D，，， 则，故D正确.故选：D 6.(25-26高三上·陕西·阶段练习)有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且，则.参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次，故， 将代入可得，即， 联立方程组，解得，即种球类训练都参加的人数为人，故选：A. 7.(24-25高一上·湖北·期中)已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、、、、 、、、、、、、，共个，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 8.(24-25高一上·辽宁大连·期末)记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则(    ) A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D【难度】0.15【知识点】判断命题的充分不必要条件、必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确.故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列说法正确的是(   ) A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 【答案】BC【难度】0.85【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集与元素个数关系及空集关系定义逐项判断即可得. 【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误．故选：BC. 10.(24-25高一上·吉林·期末)已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为(   ) A． B． C．0 D．1 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可. 【详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集，所以，选项A、B、C中数值符合.故选：ABC. 11.(24-25高一上·河北石家庄·阶段练习)群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有(    ) A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】ABC【难度】0.15【知识点】集合新定义 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误； B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误； C：由且，使，但，不存在，使，故C错误； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确.故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一上·四川达州·期中)某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    【答案】9【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据题意，利用韦恩图得到关于的方程组，解出的a值即可. 【详解】由题意得，则，解得.故答案为：9. 13.(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为.故答案为： 14.(23-24高一上·江西·期中)已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为 . 【答案】6【难度】0.4【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意分析求解即可. 【详解】，由条件①②知，中元素各不相等且，所以有以下种情况： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， ，，, 因为集合有7个真子集，所以集合有三个元素，即有三种情况.又， 则满足题意的集合有：，，，，， ，共种情况.故答案为：. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)(24-25高一上·陕西西安·阶段练习)已知全集，集合． (1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)【难度】0.85【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】(1)根据补集、并集的定义求解即可；(2)根据推出，再求的范围即可. 【详解】(1)因为集合 ， 由 ，解得 ，所以集合 ， ………………1分 可得当时，集合 ， ………………2分 又因为全集 ，所以 ， ………………4分 又因为集合 ，所以.………………6分 (2)因为 ，所以 ， ………………9分 又因为集合 ，所以 ，………………12分 即实数的取值范围为 ………………13分 16.(15分)(24-25高一上·福建福州·期中) 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】(1)由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； (2)先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】(1)图中阴影部分可用集合表示. ………………2分 因为，或， 所以， ………………4分 则图中阴影部分表示． ………………7分 (2)因为，或， 由，得， ………………9分 所以当时，，解得，符合题意；………………11分 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， ………………14分 综上，的取值范围为． ………………15分 17.(15分)(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)(1)已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； (2)求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】(1)或；(2)证明见解析．【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、根据必要不充分条件求参数 【分析】(1)根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； (2)结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】(1)根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集，………………3分 所以可得到或， ………………6分 即或； ………………7分 (2)证明：充分性：∵，∴， 代入方程，可得， ………………9分 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 ………………11分 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． ………………14分 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是．………………15分 18.(17分)(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A：(2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；(3)写出所有满足集合A的偶数． 【答案】(1)，，(2)证明见详解(3)【难度】0.4 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】(1)根据集合中元素的特征一一判断即可； (2)由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； (3)讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】(1)，， ，， ………………2分 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . ………………4分 综上，，，. ………………5分 (2)，，， ………………7分 即所有奇数都属于集合，则，必有， ………………8分 又，而，即，推不出， ………………10分 所以的充分非必要条件是. ………………11分 (3)由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； ………………14分 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. ………………16分 综上，所有满足集合的偶数为. ………………17分 19.(17分)(25-26高一上·上海·开学考试)设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． (1)若的“元和集”为，求：集合； (2)在(1)的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； (3)若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 【答案】(1)当时，，当时，；(2)；(3)或或. 【难度】0.15【知识点】求集合的子集(真子集)、集合新定义、判断集合的子集(真子集)的个数 【分析】(1)分，，，，讨论，结合定义求的“元和集”由条件列方程求，由此可得结论；(2)由定义可得的“元差集”为，由条件求，再求的真子集个数，由定义可求的“元差集”，讨论结合条件列方程求，再求的真子集个数，相加可得结论； (3)由条件可证明，设，可推出的可能值，讨论结合定义求结论. 【详解】(1)当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾，………………1分 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为，由已知有， ………………2分 当时，集合含有个元素的子集有， 不妨设，则， 故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾， ………………3分 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为， 不妨设，的“元和集”为， 则，，，， 相加可得，故， 所以，故， ………………4分 当时，集合含有个元素的子集为， 集合的“元和集”为， 该集合只有个元素，与条件矛盾， 综上，当时，满足条件的不存在， 当时，，当时，； ………………5分 (2)当时，，集合的含有个元素的子集有， 不妨设，则集合的“元差集”为， 由已知，，，故， 此时，其真子集有个， ………………7分 当时，，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 因为，， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， ………………8分 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， ………………9分 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， ………………10分 所以所有满足条件的的真子集个数之和， ………………11分 (3)由已知，，都为自然数， 不妨设，则， 因为为元集，且元素之和为，又，故， 设，则， 因为的“元和集”中最大元素不超过，故，所以或或或， 当时，，，与条件矛盾， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， ………………13分 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， ………………15分 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， ………………17分 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章：集合与逻辑(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_____________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(25-26高一上·广西柳州·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 2.(25-26高一上·全国·课后作业)下列四个命题是真命题的是(    ) A． B． C． D． 3.(2025高一·全国·专题练习)集合，，则满足的集合的个数为(    ) A．4 B．7 C．8 D．15 4.(24-25高一·上海·假期作业)集合，，若，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5.(2025高一上·全国·专题练习)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 6.(25-26高三上·陕西·阶段练习)有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为(    ) A． B． C． D． 7.(24-25高一上·湖北·期中)已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为(    ) A． B． C． D． 8.(24-25高一上·辽宁大连·期末)记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则(    ) A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列说法正确的是(   ) A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 10.(24-25高一上·吉林·期末)已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为(   ) A． B． C．0 D．1 11.(24-25高一上·河北石家庄·阶段练习)群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有(    ) A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一上·四川达州·期中)某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    13.(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 14.(23-24高一上·江西·期中)已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)(24-25高一上·陕西西安·阶段练习)已知全集，集合． (1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围． 16.(15分)(24-25高一上·福建福州·期中) 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合，若，求的取值范围. 17.(15分)(25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习)(1)已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； (2)求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 18.(17分)(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A：(2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；(3)写出所有满足集合A的偶数． 19.(17分)(25-26高一上·上海·开学考试)设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． (1)若的“元和集”为，求：集合； (2)在(1)的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； (3)若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $