1.4.2用空间向量研究距离夹角问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

回凝弱口互薄 动弱 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题同步练 签讲诊 可 题断 一、单选题 1.（24-25高二上广东·期末)已知直线l1的一个方向向量为m=x,-2,0, 直 线1，的一个方向向量为元=0,1,1少若直线1，，所成的角等于60，则x=（) A.0 B.±2 c.±2 D.2 2.(26-27高二上·安徽期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥BC,BB,=2AB=V2BC,M,N分别是B,C1,A,B,的中点，则直线BM与直线CN所成角的余 弦值为() 4.203 V13 B. 13 13 c 5 D.25 15 3.(25-26高二下-江苏南京期中)若向量a=0,5,0是直线，的方向向量，向量i=22,1是平面。的 法向量，则直线！与平面所成角的正弦值为() 2V2 A. 3 B.3 C.3 n 4.(24-25高二上广东广州期末)在正四棱柱ABCD-A1BC1D1中，侧棱AA1=1,直线A1C1与平 2V5 面A,BCD,所成角的余弦值为S,则该正四棱柱的体积等于（） D D B A. 3 R c D.g 5.(25-26高二上·广东深圳期中)如图，二面角c-1-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在 这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=1,AC=2,BD=2,CD=V13,则平面Q与平面B的 夹角大小是() 试卷第1页（共3页） B A.30° B.45° C.60° D.90° 6.(26-27高二上河南期中)已知点P(1,-2,1,Q1,2,3,点P在平面C内，若平面a的法向量 n=10,1'则点Q到平面α的距离为() A.1 B.2 c.3 D.2 7.(26-27高二上山东期中)已知A0,0,2,B1,0,2,C0,2,0,则点A到直线BC的距离为() 2V2 A. B.1 3 c.V2 D.2V2 8.(25-26高二上河北石家庄阶段测试)如图，正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AA1=2AB=2,点 E和F分别是线段AC1与BD上的动点，则EF间最小距离为() D B B V2 3 A.2 B.1 c.3 二、多选题 9.(24-25高二上·江苏无锡·期末)在空间直角坐标系0-Xyz中，已知点A2,0,0,B1,1,-2,C2,3,1, 则() A.AB·BC=-3 V15 B.异面直线OB与AC所成角的余弦值为 30 C.AC)=10 V59 D.点C到直线AB的距离为 6 试卷第2页（共3页） 10.(25-26高二上·山东泰安，阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，P是棱AB上一动 点，则p到平面A,C,D的距离可能是(） D D ---C1 B A.1 B.9V3 c.5 D.V6 11.(24-25高二下.安徽毫州·期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=AA1=1,则 () A.cos∠DAC=10 1 B.平面ACD,与底面ABCD夹角的余弦值为号 C.直线AD与平面ACD,所成角的余弦值为 点A,到平面ACD,的师离 三、填空题 12.(25-26高二上·江苏无锡阶段检测)空间直角坐标系中A0,0,0,B1,1,1,C1,0,0,D-1,2,1, 其中A∈a,B∈a,C∈β，D∈B,已知平面a∥平面B,则平面a与平面β间的距离为 13.(25-26高二上·山东临沂·期中)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2),B(0,-1,1),且平面BCD 的一个法向量n=-1,2,-2,则直线AB与平面BCD所成角的余弦值为 14.(25-26高二上·北京延庆期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,M,N分别为 A1B1,AD,CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为 四、解答题 15.(26-27高二上·广东佛山·阶段检测)如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，AA1⊥平面ABC,D为 AC的中点.若AB=BC=V5,AC=2,AA1=3,求： 试卷第3页（共3页） B B (1)直线AB与平面BDC1所成角的正弦值： (2)点A1到平面BDC1的距离 16.(26-27高二上·江苏无锡·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱 PA=1,PD=3,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2. (I)求异面直线PB与CD所成角的余弦值： (2)求锐二面角C-PD-A的余弦值： (③)线段AP上是否存在Q使得它到平面PCD的距离为25？若存在，求出AQ的值：若不存在，说明 15 QP 理由 试卷第4页（共3页） 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题同步练 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（26-27高二上·安徽·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二面角的大小为，由题意得，从而得到，由此能求出结果. 【详解】设二面角的大小为，由二面角的定义可得的夹角为， 由题意得，， ， ， 解得， ∴， ∴平面与平面的夹角大小是， 故选：C 6．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 7．（26-27高二上·山东·期中）已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，，故， 所以， 点A到直线BC的距离为. 8．（25-26高二上·河北石家庄·阶段测试）如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则（   ） A． B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 C． D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题中条件，得到对应向量的坐标，由空间向量数量积的坐标运算，可得A错；由异面直线所成角的向量求法，可判断B正确；由向量模的坐标运算，得C正确；由空间中点到线的距离公式，可判断D错. 【详解】因为点， 所以，，则，故A错； 又，，则，故C正确； 所以， 因此异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故B正确； 又点到直线的距离为，故D错； 故选：BC 10．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 11．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在长方体中，，则（   ） A． B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线AD与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值判断A，利用向量法求解平面的夹角判断B，利用线面角的向量公式求解判断C，利用点面距离的向量公式求解判断D. 【详解】在长方体中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 对于A，，， 则，故A错误； 对于B，为平面的法向量，设平面与底面ABCD夹角为， 则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设直线与平面所成角为 则，所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线AD与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：BD 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 13．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】根据线面角的坐标公式直接计算求解即可. 【详解】由题意可得，又平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为， 故答案为： 14．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为____________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故答案为： 四、解答题 15．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面，D为的中点．若，，，求： (1)直线与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （2）利用点到平面距离的向量公式求解. 【详解】（1）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知， 所以点到平面的距离. 16．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得侧面，建立空间直角坐标系，利用求解； （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为， 利用求解； （3）设，求出，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. ，故锐二面角的余弦值为. （3）若存在，设，，则， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 解得，此时，即. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $