1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三级分层设计，系统训练距离与夹角问题，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到平面距离（单选1-3、8）|依托正方体、长方体等基本几何体，直接应用法向量公式| |提升层|线面角、二面角（单选4-7，多选9-10）|结合动态点（多选9）、翻折问题（填空13），融合线面垂直判定| |综合层|距离与夹角综合应用（解答15-17）|需证明面面垂直（15题）并计算距离，体现模型观念与推理能力|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（    ）      A． B． C． D． 2．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知多面体，底面是边长为2的正方形，平面平面，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱､中点，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．平面与平面的夹角为 D．点到面的距离为 三、填空题 11．如图，在四棱锥中，底面BCDE为正方形，，，，两两垂直且相等，点为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为________. 13．如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______．    14．在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______. 四、解答题 15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 16．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 17．如图，在正四棱柱中，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A A B C B ABC ABD 1．B 建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离. 因为平面，平面， 所以， 四边形为矩形，故两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    因为，，，Q为的中点， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 故点P到平面的距离为. 故选：B 2．B 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 故选：B. 3．D 利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 4．A 因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，建立空间直角坐标系，求得即可. 如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以点为坐标原点，以的方向分别为轴正方向， 建立空间直角坐标系， 由为正方体，设棱长为，，所以四边形为正方形， 所以，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面，所以平面， 即为平面的一个法向量， 同理为平面的一个法向量， 由，知， 设平面与平面的夹角为，， 则. 故选：A. 5．A 建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 由题意，得,设，则， 以为原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则有， 所以，， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A.    6．B 以A为原点建立空间直角坐标系，向量法求线面角的余弦值，可得角的大小. 以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，， 则，， 设平面的法向量为，则即 令，则，得， 则，故直线与平面所成的角为． 故选：B. 7．C 建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.    以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 则，， 所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为． 故选：C 8．B 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，所以， 则点到平面的距离为. 故选：B. 9．ABC A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值. 由题意， 在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点 作空间直角坐标系如下图所示， , ， A项，， 面的一个法向量为， ∵， ∴平面，A正确； B项，，B正确； ∵，平面的一个法向量为， 设线与平面所成角为， ， ∴C正确，D错误. 故选：ABC. 10．ABD A选项，证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解；B选项，证明⊥平面，故可取为平面的法向量，利用线面角的向量求解公式进行求解；C选项，求出两平面的法向量，利用相关公式求出两平面夹角；D选项，利用点到平面的距离公式求出答案. A选项，因为平面，平面， 所以，， 又四边形为正方形，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设直线与所成的角大小为，则， 故，A正确； B选项，因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，B正确；    C选项，设平面的法向量为， 则，令得， 故， 平面的法向量为， 故， 故平面与平面的夹角不为，C错误； D选项，由C选项知，平面的法向量为， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 11．/ 建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点到平面的距离. 以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则, 取，则，故， 所以点到平而的距离为. 故答案为： 12． 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 得，则， 当时，取得最小值，此时，为中点，， 取的中点，连接，则， 由，，得，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 而，， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为： 13．/ 取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 14．/ 构建空间直角坐标系，令且，故，应用向量法用表示出线面角的正弦值，即可求最值. 若正方体的棱长为1，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，令且，故， 由，故， 令面的法向量为，则，令，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，正弦值的最大值为. 故答案为： 15．(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； (2) （1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. （1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 16．(1) (2) （1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. （1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 17．(1) 因为为的中点，所以， 而，即， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，故平面平面． (2)． （1）利用勾股定理证明，由正棱柱的结构证明，可证平面，又平面，故平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值，可得角的大小. （1）略 （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由（1）可得平面，所以为平面的一个法向量， 正方形中，， 正四棱柱中，平面，平面，则， ，平面，平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 结合图形可得，二面角的大小为． 学科网（北京）股份有限公司 $