1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积列式计算即得. 【详解】依题意，，而平面的法向量为， 因此，即. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 3．（25-26高二上·河南平顶山·期中）平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 4．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 5．（25-26高二下·湖南·期中）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 若与相交，说明既不平行于，也不在内，因此不垂直于，可得，充分性成立. 若，说明不垂直于，因此既不平行于，也不在内，故一定与相交，必要性成立. 因此“与相交”是“”的充要条件. 6．（25-26高二上·广东·期中）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用空间向量分析空间中的线、面位置关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，得，则，解得，故B错误； 对于C，若，得，所以，所以， 则或，故C错误； 对于D，若，得，则，解得，，故D错误. 故选：A 7．（25-26高二上·河南省叶县·期中）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平面法向量、直线方向向量与直线与平面、平面与平面的位置之间的关系判断各项的正误. 【详解】A：当，则，可得，错， B：当，则，可得，错， C：当，则，此时， 所以不垂直，显然不成立，错， D：当，则，此时，即，则，对. 故选：D 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 二、多选题 9．（26-27高二上·浙江·期中）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量研究面面关系一一判定选项即可. 【详解】对于A：由题意知，，则两个法向量平行，故A正确； 对于B：由题意知，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； 对于C：由题意知，，则两个法向量平行，故C正确； 对于D：由题意知，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 10．（26-27高二上·福建·阶段检测）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】AC 【分析】依据向量的坐标运算得出，利用向量的求模公式、向量平行的坐标关系、数量积的坐标运算逐一判断. 【详解】由题意得，， ， ， 则，故A正确； 因，故B错误； ，， 则，，故是平面的一个法向量，C正确； ，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 13．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 14．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知，若，则__________． 【答案】4 【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可得到方程组，解出即可. 【详解】因，且， 显然，则，解得， 则. 故答案为：4. 四、解答题 15．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】 如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】略 16．（26-27高二上·河南叶县高中·阶段测试）如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1) 如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    (2) 由（1）知， 所以，所以. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $回资▣互薄 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练 一、单选题 尚能应所 1.(24-25高二上·江苏南通·阶段检测)已知平面@经过点A0,1,2,且法向量为 -2,1,-1,Px,y,z是平面C内任意一点，则() A.x+y-z=0 B.X+y-z=-1 C.2X-y+Z=0 D.2x-y+Z=1 2.(24-25高二下·江苏扬州·期中)已知平面C的法向量为i=x,1,-2,平面β的法向量为 若aB则y=（） m=-1,y,2 A.-1 B.1 D号 3.(25-26高二上·河南平顶山·期中)平面α及其法向量i,直线a、b及其方向向量à、b,下面推理错误 的是() A.若a⊥a,bCa,则a⊥b B.若a⊥a,a|b,则b‖i C.若a上b,b⊥a,则a⊥n D.若a‖a,bca,则à‖i 4.(25-26高二上·广东清远期中)已知平面@的一个法向量是2,3，-1，平面β的一个法向量是 4,1,-2,若c11β，则入的值是（) A.0 B.6 3 C.-6 D. 5.(25-26高二下·湖南·期中)设m是直线l的方向向量，n是平面a的法向量，则“l与a相交”是“ m:n≠0 ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(25-26高二上·广东·期中)若平面Q的法向量为i=2,1,5,平面B的法向量为7=m,-3,k,直线l 的方向向量为t=n,-2,-10,则() A.若0⊥B,则2m-3+5k=0 B.若⊥Q,则n=4 C.若n=26,则l∥a D.若c∥β，则m=-6,k=15 7.(25-26高二上·河南省叶县·期中)若平面@的法向量为i=-1,2,4,平面β的法向量为 试卷第1页（共3页） =m,-1,-2直线，的方向向量为1=n,-2,-4则（） A.若a/β，则m=1 B.若l⊥c,则n=2 C.若n=20,则l/1a D.若m=-10,则a⊥B 8.(25-26高二上：山东济宁期中)阅读材料：空间直角坐标系0-2中，过点PX,y,Z,且一个法向 量为方=a,b,c的平面的方程为ax-x+by-y。+c2-zo=0:阅读上面材料，解决下面问题：直 线！是两平面x-y+2=0与2x+z+1=0的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是() A.3,1,2 B.1,1,-2 C.2,1,3 D.2,1,-4 二、多选题 9.(26-27高二上·浙江·期中)若平面，阝平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是() A.元=12,0，i=2,4,0 B.元=1,2,2，i2=-2,2,1 C.元=1,0,1，i2=-2,0,-2 D.元=01,0，i=0,-1,0 10.(26-27高二上·福建阶段检测)若n=2,3,-1为平面@的法向量，m=-4,a,2为平面B的法向量， 立=1,2，b为直线的方向向量，则() A.若a/∥β，则a=-6 B.若！⊥β，则b=-2 c.a=号则a1B D.若b=8,则lca或l∥a 1.（25-26高二上安微合肥期中)已知向量弦=2，-1，-4A花=4,2,0市=-1,2，-1则下 列说法正确的有() A.BP=33 B. BCIAC C.AP是平面ABC的一个法向量 D.B⊥CP 三、填空题 12.(25-26高二下·江苏南京·阶段检测)直线的一个方向向量为m=1,0,-3引，平面C的一个法向量为 n=-5,0,t,且la,则t= 13.(25-26高二上·河北唐山期末)已知i=(m,2,1)是平面c的一个法向量，直线l的一个方向向量为 试卷第2页（共3页） v=(4,-5,2),且11∥a,则m= 14.（25-26商二上安徽阜阳-期中)已知a=1,X,3,=-2,4,y小若ā116则x-y= 四、解答题 15.(24-25高二上广东中山期中)如图在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为 AB,A1C的中点，证明：EF⊥平面A1CD D B D A E B 16. (26-27高二上河南叶县高中阶段测试)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是 BB1,D1B1的中点. D C F B E D B (1)求证：A1D∥平面BCC1B1: (2)求证：EF⊥A1D 试卷第3页（共3页）