4.1平面直角坐标系（分层作业，11大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 4.1 平面直角坐标系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用有序数对表示位置 题型02 点所在的象限 题型03 写出平面直角坐标系中点的坐标 题型04 在平面直角坐标系中描点 B组 能力进阶 题型01 用有序数对表示路线 题型02 点到坐标轴的距离 题型03 由点在坐标轴上求字母 题型04 由点所在的象限求参数的范围 题型05 与坐标轴平行 C组 思维拔高 题型01 点的坐标与变化规律 题型02 点的坐标与新定义问题 用有序数对表示位置题型01 1．家长会前，四个孩子分别向家长描述自己在班里的座位，家长能准确找到自己孩子座位的是（　　） A．小明说他坐在第1排 B．小白说他坐在第3列 C．小清说她坐在第2排第5列 D．小楚说他的座位靠窗 【答案】C 【分析】直接利用坐标确定位置需要两个量，进而分析得出答案． 【详解】解：A．小明说他坐在第1排，无法确定座位位置，故此选项不合题意； B．小白说他坐在第3列，无法确定座位位置，故此选项不合题意； C．小清说她坐在第2排第5列，可以确定座位位置，故此选项符合题意； D．小楚说他的座位靠窗，无法确定座位位置，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，掌握具体位置确定需两个量是解题关键． 2．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案． 【详解】解：∵表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，， ∴可得平面直角坐标系如图所示：    ∴棋子“炮”的点的坐标为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 3．小刚、小美、小明的家住在同一栋楼同一单元中，小刚的家是9层2号，我们用表示． （1）小美的家是12层5号，用__________表示． （2）表示小明的家，那么小明的家是__________层__________号． 【答案】 16 7 【分析】（1）根据例子找出有序数对规则，第一个数代表层数第二个数代表号数，写出层号对应的数对； （2）按照确定好的规则，拆分，读出层数与号数． 【详解】解：∵表示层号，即有序数对中第一个数表示层数，第二个数表示号数， （1）∴层号表示为． （2）∴表示层号． 4．如图，用表示点A的位置，用表示点B的位置． (1)图中C，D，E三点位置分别如何表示？ (2)在图中标出，，的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 【答案】(1)，， (2) 字母F，G，H的位置如图所示． 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后由C，D，E三点位置写出坐标即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系求解即可． 【详解】（1）解：∵用表示点A的位置，用表示点B的位置， 如图，以点A为原点，小正方形的边长1为单位长度，建立平面直角坐标系： ∴，，； （2）略 5．如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示．    (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的坐标：跷跷板A______，碰碰车B______； (2)摩天轮C在大门以东，再往北处，请在图中画出四边形并计算它的面积． (3)如果把四边形各个顶点纵坐标保持不变，横坐标却减少1，所得四边形面积又是多少？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 解：四边形各顶点纵坐标不变，横坐标都减1，即是将四边形向左平移一个单位， ∴四边形的面积不会变化， ∴所将四边形的面积是 【分析】本题考查了用有序数对表示物体位置，根据网格求面积，平移的性质． （1）根据有序数对表示跳跳床的位置，即可得出跷跷板和碰碰车的位置； （2）根据题意，先找出点C的位置，再依次连接，即可画出图形，再用割补法求解即可； （3）根据平移的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵有序数对表示跳跳床的位置， ∴跷跷板，碰碰车， 故答案为：；． （2）解：画出四边形，             ， ， ， ， ， ∴． （3）略 点所在的象限题型02 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若点在第二象限，则点在第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号． 【详解】解：∵点在第二象限，则（横坐标为负），（纵坐标为正）； ∴点的横坐标为，因为，所以（正数）； ∴点的纵坐标为；由于，则（仍为正数）； ∴ 因此，点的横、纵坐标均为正，位于第一象限； 故选：A . 3．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据条件可得：a＜0，b＜0，进而即可判断点P所在的象限． 【详解】∵， ∴a，b同号， ∵， ∴a＜0，b＜0， 故P点在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键． 4．无论为何实数，点不可能在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征．根据各象限内点的坐标特征得到关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：当点在第一象限时，，解得：； 当点在第二象限时，，此不等式组无解； 当点在第三象限时，，解得：； 当点在第四象限时，，解得：； 点不可能在第二象限， 故选：B． 5．若点在第一象限，则关于的不等式的解集为______ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，平面直角坐标系点的特征，由点所在的象限，判断出，然后根据不等式的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 即， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 写出平面直角坐标系中点的坐标题型03 1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（-1，2） D．（1，-2） 【答案】A 【详解】过点E向x轴画垂线，垂足在x轴上对应的实数是1，因此点E的横坐标为1；同理，过点E向y轴画垂线，点E的纵坐标为2．所以点E的坐标为（1，2）， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“长方形的性质”“平行于坐标轴的点坐标特征”，通过图形特征，找到点之间的坐标关系是解题关键． 由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 故选： B． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在等腰中，，若点，点，则点C 的坐标为______________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的表示方法，解题的关键是根据题意证明．先根据点A、B的坐标求出、的长度，过点C作轴交x轴于点D，根据题意利用证明，求得，，再根据点C在第二象限写出点的坐标即可． 【详解】解：过点C作于点D， ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 ∴ ∴，， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足， (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求，之间的关系； ②若点的坐标是，连接、，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)，且 【分析】（1）根据平方、绝对值及算术平方根的非负性求出，即可解决； （2）①根据得出结论即可；②连接，由，得出方程组，解出即可得出结论； （3）根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ， ， ； （2）解：①如图所示，连接， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ； ②如图所示，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 联立方程组， 解得， ； （3）解：， ， ∴ 解得，      ，且. 在平面直角坐标系中描点题型04 1．在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来：   (1)(2，1)，(2，0)，(3，0)，(3，4)；   (2)(3，6)，(0，4)，(6，4)，(3，6). 你发现所得的图形是(    ) A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯 【答案】C 【详解】根据题意，依次描点画线，得到如下的图形，故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点：，，， ，并写出图中E，F，G，H各点的坐标． 【答案】如图所示， ，，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系； 根据平面直角坐标系进行描点，写出坐标即可． 【详解】解：由图可得：，，，． 3．已知：． 请在坐标系中描出各点，并找出点A和点D，点B和点F之间的位置关系． 【答案】 如图所示： 从平面直角坐标系中可以看出，点A和点D都在y轴上，并且到原点的距离相等，都是1， 点B和点F都在x轴上，且到原点的距离也相等，都是2． 【分析】本题主要考查在直角坐标系中描点，观察点的关系，掌握点的坐标是解题的关键． 根据点坐标在直角坐标系中描绘出，观察点之间的关系即可． 【详解】略 4．在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 【答案】 如图所示，即为所求： 所得到的图形像一只蝴蝶， 其面积为22 【分析】本题考查了坐标系中描点问题，割补法求面积． 找出各坐标表示的点的位置，依次连接成封闭的图形，可知所得到的图形像一只蝴蝶，根据割补法求面积即可． 【详解】解：面积为 ． 5．（24-25七年级下·河南·期末）【课本呈现】 （1）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ （2）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点力争是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ 【描点发现】 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____； ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____． 【应用结论】 如图，在平面直角坐标系内的三角形，已知， （1）如图1，在上找一点，使把三角形分成的两部分面积之比为，请直接写出符合条件的点的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，平分交于，点是轴负半轴上的点，若，求的度数． 【答案】[描点发现] ①垂直；②平行 [应用结论] （1）或；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，角平分线以及邻补角的定义． [描点发现]①根据纵坐标均为3，可知x取不同值之后所得的点均在一条平行于x轴的直线上，据此可解； ②根据横坐标均为3，可知y取不同值之后所得的点均在垂直于x轴的直线上，据此可解． [应用结论] （1）先求得，根据题意可得或，结合坐标系，即可求解； （2）根据题意可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而根据领补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图： [描点法写] 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴垂直； 故答案为：垂直． ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴平行． 故答案为：平行． [应用结论] （1）解：∵，， ∴轴，， ∵在上找一点，使把三角形分成的两部分面积之比为， ∴或， ∴或， ∵， ∴或； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 用有序数对表示路线题型01 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 3．郑州市市区的许多街道习惯用“经几纬几”来表示．如图，小颖所乘的汽车从“经七纬五”出发，经过“经六纬五”到达“经五纬一”． (1)在图上标出“经五纬一”的位置． (2)在图上标出小颖所乘汽车可能行驶的一条路线．还有其他可能吗？ (3)请说出图中“广播大厦”的位置． 【答案】(1)如图， (2)如图，有其他可能（答案不唯一）， (3)“广播大厦”位于“经五路”与“纬一路”的十字路口附近 【分析】（1）结合“市区图"确定“经五纬一"的位置即可； （2）结合“市区图"即可画出路线图； （3）根据“市区图”中“广播大厦”的位置确定其所在的“经"路与"纬"路，问题即可解答． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）略． 4．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2) 点P位置如图所示． 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）略 5．亮亮和晶晶从科技馆门口骑共享单车去图书馆学习．若在下图所示的网格图中，科技馆的位置表示为，图书馆的位置表示为，骑车路线有两条可以选择： 路线一：； 路线二：． (1)请比较两条路线的长短，并说明理由． (2)请仿照上述方法再写出一条路线，并画在图中． 【答案】(1)两条路线一样长，理由见解析 (2) 见解析 【分析】（1）分别求出两条线路的长判断即可； （2）根据要求画出图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：两条路线一样长 理由如下：路线一的长度为：， 路线二的长度为， 两条路线一样长． （2）解：示例： ，路线如图所示： 点到坐标轴的距离题型02 1．点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是（    ） A．-3，4 B．3，4 C．4，3 D．-4，3 【答案】C 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答． 【详解】解：点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是4，3， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若点的横坐标是，且到轴的距离为4，则点的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点的坐标表示方法是解题的关键． 点P的横坐标为，到x轴的距离为4，即纵坐标的绝对值为4，因此纵坐标为4或，据此解答即可． 【详解】解：点的横坐标是，且到轴的距离为4，设点， 则， 即或， 因此，点的坐标是或， 故选：A． 3．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用某个“美丽点”到轴的距离为，得出的值，进而求出的值求出答案． 【详解】解：某个“美丽点”到轴的距离为， ， ， ， 解得或， 则点的坐标为：或 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，点到坐标轴的距离，正确分类讨论是解题关键． 4．（25-26八年级上·江苏常州·月考）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，掌握好点的坐标与点到坐标轴的关系是关键． 根据第二象限内点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此求解． 【详解】解：点P到x轴的距离是3，因此纵坐标的绝对值为3，即； 点P到y轴的距离是4，因此横坐标的绝对值为4，即． 由于点P在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， 故，， 即点P的坐标为． 故答案为：． 5．若点到x轴的距离与到y轴的距离相等，则点B的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据题意，可得点B的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，解这个方程即可得解． 【详解】解：点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 点B的坐标为：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了点的坐标，正确理解题意找到等量关系，得到关于m的方程是解题的关键． 由点在坐标轴上求字母题型03 1．在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，则，解出，再代入中，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上 ∴ ∴ 则 点A的坐标为 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 3．设． （1）若，则点P在________轴上； （2）若，则点P在________轴上． 【答案】 y x 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特征．当横坐标为0时，点在y轴上，当纵坐标为0时，点在x轴上，由此可解． 【详解】解：（1）若，则点P在y轴上； （2）若，则点P在x轴上； 故答案为：y；x． 4．若在轴上，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，直接利用轴上点的坐标特点为横坐标为零，进而得出答案． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·吉林吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握点在坐标轴上的特点，点到坐标轴距离的计算是关键． （1）点M在x轴上，纵坐标为0，由此列式即可求解； （2）点M到y轴的距离为3，则横坐标的绝对值为3，由此列式即可求解； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：已知点， 由题意得，， 解得，， ∴ ； （2）解：由题意得，， 则或， 解得，或5， 或； （3）解：点M到坐标轴的距离相等 ， 或， 解得，或 ， 当时，， 当时，， 或． 由点所在的象限求参数的范围题型04 1．（24-25八年级上·广东普宁·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可能为（　　） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键． 直接根据第二象限的点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案． 【详解】解：点在第二象限， ， 的值可能为3， 故选：B． 2．已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点P在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得出答案。 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集以及点所在象限的坐标特征，解题的关键是根据点所在的象限得出关于a的一元一次不等式组． 3．若点在第二象限，则的取值范围是________. 【答案】-1＜m＜2 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（m-2，m+1）在第二象限， ∴， 解得-1＜m＜2． 故答案为-1＜m＜2． 【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4．x取不同的值时，点P(x－1，x＋1)的位置不同，讨论当点P在不同象限或不同坐标轴上时，x的取值范围；并说明点P不可能在哪一个象限． 【答案】(1)当x＝－1时，点P在x轴的负半轴上；(2)当x＝1时，点P在y轴的正半轴上；(3)当x＞1时，点P在第一象限；(4)当－1＜x＜1时，点P在第二象限；(5)当x＜－1时，点P在第三象限；(6)点P不可能在第四象限． 【分析】应以﹣1和1为界限，得到5种情况x的取值，判断相应象限即可． 【详解】（1）当x=﹣1时，点P在x轴的负半轴上； （2）当x=1时，点P在y轴的正半轴上； （3）当x＞1时，点P在第一象限； （4）当﹣1＜x＜1时，点P在第二象限； （5）当x＜﹣1时，点P在第三象限； （6）点P不可能在第四象限． 【点睛】解决本题的难点在于让点P的横纵坐标为0得到x相应的值，进而得到x的5种取值范围． 5．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及根据点所在象限求参数等知识，掌握定义“点P的k阶点”是解题的关键． （1）根据定义“点P的3阶点”为点，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据点的2阶点为点Q可得出点Q的坐标，再根据平移的性质得出点的坐标，再根据点在第一象限可得出关于t的一元一次不等组，解不等式组即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意， 解得： ∴点P的坐标为； （2）由题意点Q的坐标为，即， 将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点， 则点的坐标为， ∵点在第一象限， ∴ 解得：， ∴t的取值范围为． 与坐标轴平行题型05 1．已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，掌握与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征是解题的关键； 根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同解答． 【详解】直线轴， 点与点的横坐标相同， 点A的横坐标为， 结合选项可知，点A的坐标可能为． 故选：D． 2．（25-26八年级·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：解题的关键是熟知与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同．把点向上或向下平移个单位得到点． 【详解】解：轴， 点的横坐标与点的横坐标相同， ， 把点向上或向下平移个单位得到点， 而点的坐标为， 点坐标为或． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点与的连线与y轴平行， ∴它们的横坐标相等， 即，解得， 则点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为. 故答案为： 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质． （1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征及进行计算即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上，在x轴上的点其纵坐标为0， ， 解得， ， 点P的坐标为； （2）解：轴，Q的横坐标是3， ， 解得， ，即， ， ， 解得或， 点Q为或． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题考查了点的坐标、三角形的面积表示，与坐标轴平行的直线上点的特征，利用点的坐标表示相应线段的长是解题的关键． （1）根据点B在轴上，可设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解； （2）当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解；当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解，最后综合两种情况，得出所有满足条件的点B的坐标． 【详解】（1）解：如图1，若点在轴上，可设， ， ， ，， 点的坐标或． （2）解：如图2，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 如图3，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 综上可得，点B的坐标或或或． 点的坐标与变化规律题型01 1．一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标类规律探索，先根据图形找到点的变化规律，再求出周期，即可求解． 【详解】解：由图可得：从起点开始，坐标依次为，，，，，，，，，……， ∴纵坐标的循环周期为8， ， 纵坐标为0， 横坐标每个周期增加4， ∴横坐标为：， 即第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为， 故选：C． 2．将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有序数对，根据题意可得第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方，据此可确定数2025为第45行第一列数，则数2013在第45行，再由即可确定数2013的列数，故可得到答案． 【详解】解：观察可知，第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方， ∵， ∴数2025为第45行第一列数， ∴数2013在第45行， ∵， ∴数2013在第45行第13列，即数2013对应的有序数对为， 故选：D． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 【答案】 【分析】由图可知前n排的正整数总个数就是，求出前排的总个数，即可求出第32排第14个数． 【详解】解：观察排列规律可得：第排有个正整数， 前n排的正整数总个数就是 则前排的总个数：， 那么第32排第14个数就是． 4．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16 17  18  19  20  21  22  23  24  25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______． 【答案】 【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案． 【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数， ， 在第45行倒数第3个， 第45行有个数，倒数第三个数为87， 表示2023的有序数对是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数字的变化，找到变化规律是解题的关键． 5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3) 点P如图所示． 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， （2）解：，， 甲虫爬行的路程为； （3）略 点的坐标与新定义问题题型02 1．如图，在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向)．对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．若ON⊥Ox，且点N到极点O的距离为4个单位长度，则点N的极坐标可表示为______. 【答案】(4，90°) 【详解】解：点N的极坐标为（4，90°）．故答案为（4，90°）． 点睛：本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解极坐标的定义是解题的关键． 2．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 【答案】 （4，2） 【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可； （2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵a=4>3， ∴=b-1=3-1=2， ∴点（4，3）的纵变点是（4，2） 故答案为：（4，2）． （2）∵ ①当a≤3时，， ∴ 解得：； ②当时，， ∴， ∴无解 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点” (1)点的“长距”等于___________，点的“长距”等于___________． (2)若两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)3，7 (2)或 【分析】（1）根据定义分别求得点到轴的距离，B点到轴的距离，即可求解； （2）点到轴的距离为，到轴的距离为，点到轴的距离为，到轴的距离为6，根据定义可得出①；②，解绝对值方程得出合适的k值即可． 【详解】（1）∵点 ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为2 点的“长距”为3； ∵点 ∴点B到轴的距离为5，到轴的距离为7 点的“长距”为7； 故答案为：3，7． （2）∵ ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，点到轴的距离为，到轴的距离为6， ∵两点为“等距点”，分以下情形， ①根据定义可得 或 解得或（舍） ②根据定义可得 即或 解得或（舍） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键． 4．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）． （1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝　 　． （2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值； （3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b） 【答案】（1）（2，6）；（2）；（3） 【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可； （2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题； （3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题． 【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn）， ∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n）， ∴当m＝2，n＝2时， 2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6， f（2，2）＝（2，6）． 故答案为：（2，6）； （2）由题意得 ， 解得：； （3）由题意得 ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键． 5．（24-25八年级下·河北唐山·月考）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同距点．如下图中的，两点即为同距点．已知点的坐标为． (1)写出图中点，，三点的坐标，并判断它们是否是点的同距点； (2)若点是点的同距点，求的值； (3)已知点，． ①若点为点的同距点，且点在第二象限，直接写出此时，之间的关系式； ②若在线段上（不含端点）存在点的同距点，求出整数的值． 【答案】(1) ，，，点、是点的同距点，点不是点的同距点 (2)的值为或 (3)①    ②整数的值为，， 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识， （1）写出点的坐标，根据同距点的定义判断点B，C，D是否是点A的同距点即可； （2）根据同距点的定义列出关于的方程求解即可； （3）①根据同距点的定义求解即可 ②设线段上的点的坐标为，其中，即可得到，然后根据k的取值求出整数n的值即可． 【详解】（1）解： 根据题意， 得，，，， 点到两坐标轴的距离之和为， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点是点的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点不是点的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点是点的同距点， ∴点、是点的同距点，点不是点的同距点； （2）解：∵点是点的同距点， ∴， 即， 当， 即时， 有， 解得， 当， 即时， 有， 解得， ∴的值为或； （3）解：①点到两坐标轴距离之和为， ∵点在第二象限， ∴，， ∴点到两坐标轴距离之和为， 点是点的同距点， ∵， 即； ②解：设线段上的点的坐标为，其中， ∵线段上（不含端点）存在点的同距点， ∴， ∴， ∵n为整数， ∴k为整数数， 又∵， ∴， 当时，，解得或； ∴整数的值为，． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 平面直角坐标系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用有序数对表示位置 题型02 点所在的象限 题型03 写出平面直角坐标系中点的坐标 题型04 在平面直角坐标系中描点 B组 能力进阶 题型01 用有序数对表示路线 题型02 点到坐标轴的距离 题型03 由点在坐标轴上求字母 题型04 由点所在的象限求参数的范围 题型05 与坐标轴平行 C组 思维拔高 题型01 点的坐标与变化规律 题型02 点的坐标与新定义问题 用有序数对表示位置题型01 1．家长会前，四个孩子分别向家长描述自己在班里的座位，家长能准确找到自己孩子座位的是（　　） A．小明说他坐在第1排 B．小白说他坐在第3列 C．小清说她坐在第2排第5列 D．小楚说他的座位靠窗 2．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．小刚、小美、小明的家住在同一栋楼同一单元中，小刚的家是9层2号，我们用表示． （1）小美的家是12层5号，用__________表示． （2）表示小明的家，那么小明的家是__________层__________号． 4．如图，用表示点A的位置，用表示点B的位置． (1)图中C，D，E三点位置分别如何表示？ (2)在图中标出，，的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 5．如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示．    (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的坐标：跷跷板A______，碰碰车B______； (2)摩天轮C在大门以东，再往北处，请在图中画出四边形并计算它的面积． (3)如果把四边形各个顶点纵坐标保持不变，横坐标却减少1，所得四边形面积又是多少？请说明理由． 点所在的象限题型02 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若点在第二象限，则点在第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．无论为何实数，点不可能在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．若点在第一象限，则关于的不等式的解集为______ 写出平面直角坐标系中点的坐标题型03 1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（-1，2） D．（1，-2） 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在等腰中，，若点，点，则点C 的坐标为______________． 5．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足， (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求，之间的关系； ②若点的坐标是，连接、，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 在平面直角坐标系中描点题型04 1．在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来：   (1)(2，1)，(2，0)，(3，0)，(3，4)；   (2)(3，6)，(0，4)，(6，4)，(3，6). 你发现所得的图形是(    ) A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯 2．如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点：，，， ，并写出图中E，F，G，H各点的坐标． 3．已知：． 请在坐标系中描出各点，并找出点A和点D，点B和点F之间的位置关系． 4．在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 5．（24-25七年级下·河南·期末）【课本呈现】 （1）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ （2）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点力争是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ 【描点发现】 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____； ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____． 【应用结论】 如图，在平面直角坐标系内的三角形，已知， （1）如图1，在上找一点，使把三角形分成的两部分面积之比为，请直接写出符合条件的点的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，平分交于，点是轴负半轴上的点，若，求的度数． 用有序数对表示路线题型01 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 3．郑州市市区的许多街道习惯用“经几纬几”来表示．如图，小颖所乘的汽车从“经七纬五”出发，经过“经六纬五”到达“经五纬一”． (1)在图上标出“经五纬一”的位置． (2)在图上标出小颖所乘汽车可能行驶的一条路线．还有其他可能吗？ (3)请说出图中“广播大厦”的位置． 4．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 5．亮亮和晶晶从科技馆门口骑共享单车去图书馆学习．若在下图所示的网格图中，科技馆的位置表示为，图书馆的位置表示为，骑车路线有两条可以选择： 路线一：； 路线二：． (1)请比较两条路线的长短，并说明理由． (2)请仿照上述方法再写出一条路线，并画在图中． 点到坐标轴的距离题型02 1．点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是（    ） A．-3，4 B．3，4 C．4，3 D．-4，3 2．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若点的横坐标是，且到轴的距离为4，则点的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 3．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级上·江苏常州·月考）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为______． 5．若点到x轴的距离与到y轴的距离相等，则点B的坐标是__________． 由点在坐标轴上求字母题型03 1．在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设． （1）若，则点P在________轴上； （2）若，则点P在________轴上． 4．若在轴上，则的值为____________． 5．（24-25七年级下·吉林吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求m的值． 由点所在的象限求参数的范围题型04 1．（24-25八年级上·广东普宁·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可能为（　　） A． B．3 C．0 D． 2．已知点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在第二象限，则的取值范围是________. 4．x取不同的值时，点P(x－1，x＋1)的位置不同，讨论当点P在不同象限或不同坐标轴上时，x的取值范围；并说明点P不可能在哪一个象限． 5．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求t的取值范围． 与坐标轴平行题型05 1．已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 点的坐标与变化规律题型01 1．一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　）    A． B． C． D． 2．将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 4．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16 17  18  19  20  21  22  23  24  25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______． 5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 点的坐标与新定义问题题型02 1．如图，在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向)．对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．若ON⊥Ox，且点N到极点O的距离为4个单位长度，则点N的极坐标可表示为______. 2．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点” (1)点的“长距”等于___________，点的“长距”等于___________． (2)若两点为“等距点”，求k的值． 4．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）． （1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝　 　． （2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值； （3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b） 5．（24-25八年级下·河北唐山·月考）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同距点．如下图中的，两点即为同距点．已知点的坐标为． (1)写出图中点，，三点的坐标，并判断它们是否是点的同距点； (2)若点是点的同距点，求的值； (3)已知点，． ①若点为点的同距点，且点在第二象限，直接写出此时，之间的关系式； ②若在线段上（不含端点）存在点的同距点，求出整数的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $