精品解析：河南省周口市项城市第三高级中学2026-2027学年高一上学期第一次考试数学试题

项城三高2026-2027学年度上期第一次考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：张瑞 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，所有答案都写在答题卷上. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 所有的正方形 B. 方程的所有实数根 C. 我国较长的河流 D. 四大文明古国 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则有（ ） A. B. 大小不确定 C. D. 4. 下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知M､N为R的子集，若，，则满足题意的M的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，若，则 A. B. 1 C. D. 8. 已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在给出的四个选项中有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，使得”是假命题 C. 命题“”的否定是“” D. 的内角所对的边分别是，则“”是“是直角三角形”的充要条件 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则________ 13. 已知，，则的取值范围为__________． 14. 已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1），； （2），． 16. 已知集合或，． （1）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 18. 已知全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 19. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值，并求此时x的值； （2）已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值； （3）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 项城三高2026-2027学年度上期第一次考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：张瑞 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，所有答案都写在答题卷上. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 所有的正方形 B. 方程的所有实数根 C. 我国较长的河流 D. 四大文明古国 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合； 对于B选项，“方程的所有实数根”的对象是明确的，故能构成集合； 对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合； 对于D选项，“四大文明古国”的对象是明确的，故能构成集合. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定可直接得到结果. 【详解】命题，则的否定为：. 故选：B 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 3. 设，，则有（ ） A. B. 大小不确定 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 ， 则. 4. 下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断上述选项. 【详解】空集是指不含任何元素的集合，则A选项错误； 是指自然数集，不属于自然数，则B选项错误； 空集是任何集合的子集，则C选项正确； 中的元素为，中的元素为，不是的子集，则D选项错误. 5. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD. 【详解】A项，若，，则，故 A错误； B项，若，则， ，，故B正确； C项，若，则， ，，故C错误； D项，若，则，， ，，故D错误. 故选：B. 6. 已知M､N为R的子集，若，，则满足题意的M的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、补集的运算的意义，得出M，N关系，进一步根据子集求解. 【详解】因为，， 所以可得， 所以或或或， 故满足题意的M的个数为4. 故选：D 7. 已知，，若，则 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合互异性，分情况讨论：,,或者，,根据互异性解出满足条件的即可. 【详解】根据集合元素互异性： 假设,,即，或， 不满足条件； 假设，，即，不满足条件或者，满足； 所以. 故选C 【点睛】此题考查集合的互异性，集合内的元素互不相同，属于基础知识点，简单题目． 8. 已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在给出的四个选项中有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据、、、表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断. 【详解】由表示自然数集，知，故A正确； 由为无理数且表示有理数集，知，故B错； 由表示正整数集，知，故C错； 由表示整数集，知，故D正确. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，使得”是假命题 C. 命题“”的否定是“” D. 的内角所对的边分别是，则“”是“是直角三角形”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断选项A、D；结合二次函数的性质判断特称命题的真假判断选项B；根据全称命题的否定规则判断选项C. 【详解】选项A：自然数集是有理数集的真子集，若则必有，反之时不一定属于（如但不属于），故“”是“”的充分不必要条件，A正确. 选项B：对于二次函数，其图象开口向上，判别式，故对任意都有，因此“，使得”是假命题，B正确. 选项C：全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，否定结论，且保持原命题的条件不变，故原命题“”的否定应为“”，选项中更改了的取值范围，C错误. 选项D：若，则中为直角，是直角三角形；但若是直角三角形，直角不一定为，也可能满足或，无法推出，故“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，不是充要条件，D错误. 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】，当且仅当时取等号，，的最大值为1，故A正确. ， 当且仅当时，取等号，故B正确 ，对称轴，在时单调递减，时单调递增， 的取值范围为，故C错误 ，令，则， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得：，， 所以，则的取值范围为. 14. 已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】韦恩图中阴影部分表示的集合为， ∵，， ∴，所以阴影部分表示的集合的元数个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1），； （2），． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）利用补集和交集的定义即可求解． 【小问1详解】 由于，， 故，． 【小问2详解】 由于，，, 故，． 16. 已知集合或，． （1）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 若“”是“”成立的必要条件，则是的子集， 故，解得，所以的取值范围是． 【小问2详解】 若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，故，所以的取值范围是． 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】（1） （2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解析】 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 18. 已知全集，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， 或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补定义即可求解； （2）等价于，再由集合的包含关系和对集合是否非空分类讨论，即可列出不等式组求解. 【小问1详解】 已知. 所以； 又， 或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时， ，解得， 当时，，即， 所以实数的取值范围为. 19. 利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值，并求此时x的值； （2）已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）4，； （2） （3）． 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，当且仅当时取等， 故最小值为4，此时； 【小问2详解】 ，当且仅当时取等， 故最大值为. 【小问3详解】 ，当且仅当时取等， 故所求最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $