精品解析：江苏徐州市百川学校2026-2027学年上学期九年级数学阶段练习

九年级数学阶段练习 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 3. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 4. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M 6. 若反比例函数y＝的图象经过点（－1，4），则这个函数的图像一定经过点（ ） A. （－4，－1） B. （－，4） C. （4，－1） D. （，4） 7. 已知为反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象必经过点 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 8. 已知反比例函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y的取值范围是 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 该函数图象与x轴的交点为 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 9. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 10. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 11. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 12. 已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 13. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 14. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 15. 如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）． 16. 如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 三、计算题（本大题共4小题，共20分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题（本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 已知函数． （1）当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ （2）当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 20. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 21. 如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为．求的面积． 22. 对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整． （1）自变量的取值范围是________． （2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象． 0 1 3 4 5 －6 6 3 2 （3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性． 23. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 24. 在中，，，． （1）如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ （2）在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． （3）若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝1， 而m+1≠0，即m≠﹣1． 所以m＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念、一元二次方程的定义，注意的是：千万不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零． 4. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理推论，根据垂径定理的推论，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判断即可，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； 能够重合的弧是等弧，原说法不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确． 综上所述，正确的说法有1个． 故选：． 5. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 6. 若反比例函数y＝的图象经过点（－1，4），则这个函数的图像一定经过点（ ） A. （－4，－1） B. （－，4） C. （4，－1） D. （，4） 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像过点，确定k值，运用k=xy验证即可． 【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（－1，4）， ∴k＝－1×4＝－4； ∵－4×（－1）=4≠－4， ∴（－4，－1）不在反比例函数的图像上； ∵－×4=-2≠－4， ∴（－，4）不在反比例函数的图像上； ∵4×（－1）=－4， ∴（4，－1）在反比例函数的图像上； ∵×4=2≠－4， ∴（，4）不在反比例函数的图像上； ∴符合条件的是（4，－1） 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像与点，熟练掌握反比例函数的k=xy这个计算公式是解题的关键． 7. 已知为反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象必经过点 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，每个象限内，随增大而增大，说法错误，故选项符合题意； B、图象必经过点，说法正确，故选项不符合题意； C、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，故选项不符合题意； D、若，则，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 8. 已知反比例函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y的取值范围是 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 该函数图象与x轴的交点为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而增大，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变．解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 【详解】解：A．当时，的取值范围是，故本选项符合题意； B．该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项不符合题意； C．当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D．令，得，解得，则该函数图象与轴的交点为，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 9. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 10. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 11. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， ∴这枚古钱币的直径为， 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先代入已知点求出反比例系数，再根据反比例函数的增减性，结合的范围计算得到的取值范围． 【详解】解：把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式为， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ． 13. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，当反比例函数比例系数大于时，图象位于第一、三象限，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限， ， 解得． 14. 已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 15. 如图，在的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点（包括图中网格边界上的点）． 【答案】4 【解析】 【分析】通过作图展示满足条件的格点，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行验证． 【详解】解：如图， ⊙O共经过图中 4个格点 故答案为：4． 【点睛】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系． 16. 如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 三、计算题（本大题共4小题，共20分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：开方，得， 即或， ∴，； 【小问2详解】 解：因式分解，得， ∴或， ∴，． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用求根公式法解一元二次方程； （2）用分解因式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 提公因式得：， 整理可得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，． 四、解答题（本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 已知函数． （1）当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ （2）当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． 20. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；（2）2019年该贫困户能脱贫 【解析】 【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2018年家庭年人均纯收入=该贫困户2016年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该贫困户2019年家庭年人均纯收入=该贫困户2018年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2019年家庭年人均纯收入，再将其与4000比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得方程 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%． （2）∵3600×（1+20%）=4320（元）． ∵4320﹥4000 ． ∴2019年该贫困户能脱贫． 答：2019年该贫困户能脱贫． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可求解． （2）连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∵的半径为． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 22. 对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整． （1）自变量的取值范围是________． （2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象． 0 1 3 4 5 －6 6 3 2 （3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性． 【答案】（1）x≠2 （2） 该函数的图象如图所示： （3）该函数图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y=x-2和直线y=-x+2成轴对称，当x＞2和x＜2时，y随x的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）根据分式的分母不为零求解即可； （2）先根据表格数据找到对应的点，再用平滑的曲线画出函数图象即可； （3）结合反比例函数的性质，由图象直接写出对应的性质即可． 【小问1详解】 解：由x-2≠0得：x≠2， ∴自变量的取值范围是x≠2， 故答案为：x≠2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象知，该函数图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y=x-2和直线y=-x+2成轴对称，当x＞2和x＜2时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查画函数图象、函数图象上点的坐标特征，能类比反比例函数的图象与性质，从图象上获取相关信息是解答的关键． 23. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3）对病毒有作用的时间长为分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 24. 在中，，，． （1）如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ （2）在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． （3）若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【答案】（1）或时，的面积为； （2）线段不能将分成面积相等的两部分， 理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意得，， 整理得，， ， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； （3）经过秒或秒后，的面积为； 【解析】 【分析】（1）设经过秒后，的面积为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即可； （3）设经过秒后，的面积为，分两种情况，当点在线段上和点在射线上，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒后，的面积为，， 由题意可得：， 整理得，， 解得，， 或时，的面积为； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：设经过秒后，的面积为， 点在线段上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得，， 解得， 时，的面积为； 点在射线上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 综上所述，经过秒或秒后，的面积为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数解析式为； （2）点的坐标为或； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式； （2）过作轴交于点，设，则，则，然后分，，求出的值即可； （3）分当点在第四象限时， 当点在第二象限时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：， ∵， ∴； ，整理得：， 解得：， ∵， ∴， 综上可得：点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴； 当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同理可得直线解析式为， 联立得 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $