精品解析：江苏省徐州市第三十五中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级上册数学 （满分140，时间90分钟） 一、选择题 1. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ） A. B. C. D. 3. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. ⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 5. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 6. 如图，已知和内接于，AB是的直径，，则的度数是（ ） A. 64° B. 32° C. 26° D. 36° 7. 如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题 9. 一元二次方程的一般形式是______． 10. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为______． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 13. 如图：是的内接三角形，连接，若，则______． 14. 在中，，则它的外接圆的半径为_______． 15. 已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______． 16. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 17. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是________． 18. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 三、解答题 19. 解方程： （1）． （2）； （3） （4） 20. 如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22. 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的半径． 23. 已知点A在上． （1）在图①中，点B在上，用尺规作图：在上找点C，使得为等腰三角形； （2）用无刻度的直尺在上画出B、C两点，分别满足下列要求： ①在图②中，使得为直角三角形； ②在图③中，使得为等腰三角形，且． 24. 某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6件，如果每天盈利1150元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 25. 如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． （1）若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级上册数学 （满分140，时间90分钟） 一、选择题 1. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解. 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则， 故选：D． 4. ⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内， ∴OP＜3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 5. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 6. 如图，已知和内接于，AB是的直径，，则的度数是（ ） A. 64° B. 32° C. 26° D. 36° 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，由是的直径，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键． 【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置． ， 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 二、填空题 9. 一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 去括号、移项即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，牢记圆的周长公式和扇形面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可求解． 【详解】解：∵底面半径是2， ∴底面周长， ∵母线长是3， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图：是的内接三角形，连接，若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由等边对等角得出，再利用三角形内角和为180度求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 故答案为：50． 14. 在中，，则它的外接圆的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理；由勾股定理求得斜边，由斜边上中线性质得三角形外接圆半径． 【详解】解：由勾股定理得：， 由于直角三角形外接圆圆心在斜边的中点，半径为斜边的一半， 所以外接圆的半径为， 故答案为：． 15. 已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，解直角三角形，根据等边三角形的性质，当剪下的圆与等边三角形的三边相切时，圆的半径最大，求出等边三角形的内切圆的半径即可． 【详解】解：如图，当剪下的圆与等边三角形的三边都相切时，圆的半径最大， 设等边三角形的内切圆的圆心为O，与相切于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵等边三角形的内切圆的圆心为O， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∵是等边三角形纸片，， ∴， ∴， ∴， ∴，即r的最大值是， 故答案为：． 16. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 解得， 所以侧面展开图的圆心角为． 故答案为：． 17. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，解题的关键是掌握圆中辅助线得作法；过O作，延长交于N，连接，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】过O作于M，延长交于N，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 18. 如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 三、解答题 19. 解方程： （1）． （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再利用配方法解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （4）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得． 【详解】略 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 22. 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的半径． 【答案】（1） 如图，连接、， 在和中， ，，， ， ， 是的切线； （2）1.5 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法． （1）连接，根据切线的判定方法，只要证明即可； （2）证出是的中位线，进而求出，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，由勾股定理得， ， 即：的半径为． 23. 已知点A在上． （1）在图①中，点B在上，用尺规作图：在上找点C，使得为等腰三角形； （2）用无刻度的直尺在上画出B、C两点，分别满足下列要求： ①在图②中，使得为直角三角形； ②在图③中，使得为等腰三角形，且． 【答案】（1） 如图①所示等腰三角形为所求： （2） ①解：如图②所示直角三角形为所求： ②如图③所示等腰三角形为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查根据圆的性质作图，垂直平分线的性质，三角形垂心的性质，直径所对圆周角为直角，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角． （1）分别以点为圆心，的长为半径画弧分别交于点，连接，即，则为等腰三角形；再作的垂直平分线，交于点，连接，即，则为等腰三角形； （2）①连接并延长，交于点，在上任取一点C（除两点），连接即可；②根据三角形垂心的性质和垂径定理即可作图，连接并延长，交于点，在直径同侧上任取两点，作射线交于点，连接交于点H，作射线交于点，可得是的垂直平分线，连接即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 24. 某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6件，如果每天盈利1150元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低15元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据2022年该类服装的出厂价是200元/件，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件，列出方程进行求解即可； （2）设应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设平均下降率为， 由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：平均下降率为； 【小问2详解】 解：设应降低元，由题意，得： ， 解得：， ∵要减少库存， ∴； 答：单价应降低15元． 25. 如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． （1）若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）的值为 （2）t的值为或1或 【解析】 【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值； （2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， 由题意知：， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得： 即当四边形为菱形时，的值为； 【小问2详解】 解：当点F与点A重合时，， 即； ①当时，过点E作于G，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或； ②当时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 显然，满足题意； 由于点F不与点B重合，则； 综上，满足题意的t值为或1或． 【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $