精品解析：辽宁锦州市实验学校2026-2027学年上学期八年级10月阶段学情自测数学试卷

2026~2027学年度八年级（上）第一次月度学科摸底 数学试卷 本试卷共23小题 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在3.14，，3.14114111411114…（每两个4之间的1依次增加1个）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间的依次增加个）是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共有个. 2. 下列选项计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的计算，根据平方根，立方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列情形不能确定物体位置的是（ ） A. 某班教室排列 B. 高新路号 C. 东经，北纬 D. 北偏西 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位置确定的方法，需要判断每个选项是否能唯一确定一个点． 根据选项信息，、、均能确定具体位置，而选项只给出方向，缺乏距离和参考点，因此不能确定位置． 【详解】．选项排列是一个有序数对，能确定教室内的一个具体座位，故该选项不符合题意； ．选项高新路号是一个具体地址，能唯一确定一个建筑位置，故该选项不符合题意； ．选项东经，北纬是地理坐标，能唯一确定地球上的一个点，故该选项不符合题意； ．选项北偏西只给出了方向，未指定参考点和距离，因此不能确定具体位置，故该选项符合题意． 故选． 4. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理以及角的度数对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可得：∠C＝90 ，是直角三角形，错误； B、，，可得（AC）2＋（BC）2＝（AB）2，∴能构成直角三角形，错误； C、，，，可得（AC）2＋（BC）2＝（AB）2，∴能构成直角三角形，错误； D、，，，可得3＋4≠5，不是直角三角形，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 5. 若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点到坐标轴的距离，根据到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离则是点的横坐标的绝对值解题． 【详解】解：∵点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6， ∴，， 又∵点M在第三象限， ∴点M坐标是， 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 无理数都是开方开不尽的数 B. 无限小数都是无理数 C. 实数和数轴上的点一一对应 D. 平方根等于它本身的数是0和1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，不只是开方开不尽的数（如），且无限循环小数属于有理数， ∴A、B均错误，不符合题意； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴C正确，符合题意； ∵平方根等于它本身的数只有，的平方根是， ∴D错误，不符合题意． 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 9. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A. 2 B. +1 C. 2 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长. 【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE， ∵点A，B表示的数分别为0，2， ∴AB=2， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴， ∴E表示的数为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 5的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，求正数的正平方根即可得到结果． 【详解】解：∵ 若一个非负数的平方等于，即，则非负的叫做的算术平方根． ∵ ，且． ∴ 的算术平方根是． 12. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先求出3=，再比较即可． 【详解】∵32=9＜10， ∴＞3， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法． 13. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 【答案】 4 【解析】 【分析】首先证明，可得，，同理可得，进而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 14. 已知，，y－x＝______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定和的取值范围，再利用二次根式性质化简求出和的值，最后计算． 【详解】解：二次根式有意义， ，得， 根据二次根式性质，， ， ，且，代入原方程得：, 整理得， 解得， 二次根式有意义需满足：，即， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、，将沿翻折得，交x轴于点E，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据矩形和折叠的性质得到，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，进而得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、 ∴，，， ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点D的坐标是． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 如图，这是某校的平面示意图，如果以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，操场的坐标是． （1）坐标原点应为________的位置； （2）在图中画出此平面直角坐标系； （3）校门在第________象限，图书馆的坐标是________； （4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出宿舍楼的位置和坐标． 【答案】（1）高中楼 （2）解：由题意，建立直角坐标系如图： （3）四， （4）由题意，作图如上． 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是确定原点位置，正确的建立直角坐标系： （1）根据已有点的坐标确定原点的位置即可； （2）根据原点的位置，建立直角坐标系即可； （3）根据位置，确定坐标和象限即可； （4）根据点的坐标，确定位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：校门在第四象限，图书馆的位置为； 【小问4详解】 略 18. 已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P到两坐标轴距离相等； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】（1）点的坐标为 （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此建立方程求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点到两坐标轴距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴，或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点在过点，且与x轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 19. 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 【解析】 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，，， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 20. 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）的面积为______． （2）若的三边、、长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______． （3）在中，，、，以为边向外作（与在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______． 【答案】（1）； （2） 如图所示： ； （3）或或．． 【解析】 【分析】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解． （1）利用割补法求的面积即可； （2）利用割补法求的面积即可； （3）画出符合题意的三种图形，运用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图：将填补成梯形， 则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：同（1）中的方法，将填补成梯形， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，、， ∴，即是直角三角形， 根据与在异侧，可得第一种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴． 第二种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴． 第三种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或或． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：==；==以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）化简：①=___________，②=___________，③=___________； （2）已知n是正整数，化简=___________； （3）利用（2）的启示，请化简：+++…+； （4）联系与拓广：+++…+=13，则n=___________． 【答案】（1）；； （2） （3） （4）727 【解析】 【分析】（1）利用题干中的方法进行分母有理化即可； （2）利用题干中的方法进行分母有理化即可； （3）利用（2）中的结论，将各式分母有理化后再化简运算即可； （4）利用（3）中的方法化简，最后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：原式， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：由（2）（3）可知， ， ， ， ， ， ． 故答案为：727． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，平方差公式，分母有理化，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法解答是解题的关键． 22. “数”与“形”是数学研究的两大基本载体，数是对图形特征的抽象概括，形是对数量关系的直观呈现，二者相互依存、相互转化． 学完《二次根式》后，习题课上老师以下面习题为例，完美展示数形结合的美妙． 例题：求的最小值． 分析：本题的难点是两个二次根式的被开方数都是变量，无法直接求得两个二次根式和的最小值，根据二次根式的非负性，结合“将军饮马”模型，将两个二次根式看作两条线段，因此将“数”的问题转化为“形”的问题，解法如下： 构造过程：如图1，作，使，，，延长到点D，使，在下方作，使，，则，，． 计算过程：…… 问题解决 （1）的最小值为______； 基础应用 （2）借助图2，求的最小值，写出计算过程； 能力提升 （3）求的最小值，画出图形（不说明构造过程），写出计算过程； 思维拓展 （4）求的最大值，按照题中方法画出图形并说明构造过程和计算过程． 【答案】（1） （2） 解：， 设，，，， 可知， 如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （3）解： ， 如图，作，使，，，延长到点D，使，在下方作，使，， 过点A作，交的延长线于点F，连接， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （4）解： ， 如图，作，使，，，则， 延长到点D，使，在下方作，使，， 过点A作，交的延长线于点F，连接， ∴， ∴． ∴， ∴ 根据三角形三边关系可知，且当A、C、E共线时取等值， 即的最大值． 【解析】 【分析】（1）作，交的延长线于点F，连接，再求出，，然后根据勾股定理求出答案； （2）仿照题干解答即可； （3）仿照题干解答即可； （4）仿照题干先构造出和，再根据三角形三边关系作答即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 23. 已知，如图1，在中，，于点． （1）若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，连接，求证：； （3）如图3，过点作于点，是延长线上一点，连接，，若，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：如图，作交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式可得，容易判断是等腰直角三角形，则，，利用勾股定理求出即可； （2）作交于点，由等量代换可得，，进而证明，则，，由勾股定理可得，从而命题得证； （3）以为腰，向左作等腰直角，为直角顶点，连接交于点，利用“手拉手”模型容易证明，则，，结合等量代换可得，因此也是等腰直角三角形，使用勾股定理分别计算出与，求和即可得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以为腰，向左作等腰直角，为直角顶点，连接交于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度八年级（上）第一次月度学科摸底 数学试卷 本试卷共23小题 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在3.14，，3.14114111411114…（每两个4之间的1依次增加1个）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列选项计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列情形不能确定物体位置的是（ ） A. 某班教室排列 B. 高新路号 C. 东经，北纬 D. 北偏西 4. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ，， 5. 若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 无理数都是开方开不尽的数 B. 无限小数都是无理数 C. 实数和数轴上的点一一对应 D. 平方根等于它本身的数是0和1 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A. 2 B. +1 C. 2 D. ﹣1 10. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 5的算术平方根是______． 12. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 13. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 14. 已知，，y－x＝______ 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、，将沿翻折得，交x轴于点E，则点D的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，这是某校的平面示意图，如果以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，操场的坐标是． （1）坐标原点应为________的位置； （2）在图中画出此平面直角坐标系； （3）校门在第________象限，图书馆的坐标是________； （4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出宿舍楼的位置和坐标． 18. 已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P到两坐标轴距离相等； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 19. 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？ 20. 在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）的面积为______． （2）若的三边、、长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______． （3）在中，，、，以为边向外作（与在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：==；==以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）化简：①=___________，②=___________，③=___________； （2）已知n是正整数，化简=___________； （3）利用（2）的启示，请化简：+++…+； （4）联系与拓广：+++…+=13，则n=___________． 22. “数”与“形”是数学研究的两大基本载体，数是对图形特征的抽象概括，形是对数量关系的直观呈现，二者相互依存、相互转化． 学完《二次根式》后，习题课上老师以下面习题为例，完美展示数形结合的美妙． 例题：求的最小值． 分析：本题的难点是两个二次根式的被开方数都是变量，无法直接求得两个二次根式和的最小值，根据二次根式的非负性，结合“将军饮马”模型，将两个二次根式看作两条线段，因此将“数”的问题转化为“形”的问题，解法如下： 构造过程：如图1，作，使，，，延长到点D，使，在下方作，使，，则，，． 计算过程：…… 问题解决 （1）的最小值为______； 基础应用 （2）借助图2，求的最小值，写出计算过程； 能力提升 （3）求的最小值，画出图形（不说明构造过程），写出计算过程； 思维拓展 （4）求的最大值，按照题中方法画出图形并说明构造过程和计算过程． 23. 已知，如图1，在中，，于点． （1）若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，连接，求证：； （3）如图3，过点作于点，是延长线上一点，连接，，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $