精品解析：辽宁省锦州市实验学校2025-2026学年上学期八年级10月考数学试卷

八年级数学 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 要使二次根式有意义，则不可以取的值是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 2. 在这9个数中，无理数共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的平方根是 5. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　） A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米 6. 如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（ ） A. 8 B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，是上一动点，过点作于于，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 9. 已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，则的值为______． 10. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 11. 在中，，，，点在边上，且，则的最小值___________． 12. 如图，在四边形中，已知，点从出发，沿射线以的速度移动，当运动到___________时，是直角三角形． 三、解答题（共三题，14题20分，15题10分，16题12分，17题10分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 14. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1． （1）【感知】如图1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可在空白网格处拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是___________； （2）【探究】如图2，将网格中阴影部分图形采用适当的方式裁剪后可拼成一个新的大正方形，请在图中的空白网格处画出所拼成的这个新的大正方形，这个正方形的边长是___________； （3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：2．他能否裁出这样的纸片？请说明理由． 15. 如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°； （2）如果AF＝3，BF＝6，求AE的长． 16. 【问题情境】 综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，则用等式表示线段，，之间的数量关系； 【问题初探】 （1）以下是两位同学经过思考给出的两种思路： ①如图2，小明同学经过分析后，以A为直角顶点在边的右侧，作等腰直角三角形，连接和，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段之间的数量关系； ②如图3，小强同学经过分析后，将分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段之间的数量关系； 根据上面两种不同的方法可以得到线段，，之间的数量关系为___________； 【类比分析】 两名同学分别从不同的角度分析、解决问题，将前面问题进行变式，请你解答： （2）如图4，在中，，，点在边上，点在的延长线上，且，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，若，，则的长___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 要使二次根式有意义，则不可以取的值是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 2. 在这9个数中，无理数共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，涉及有理数、算术平方根、立方根，熟知无理数是无限不循环小数是解答的关键． 先计算，再判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：是整数，是有理数； ，是整数，是有理数； 是无理数； 3.14是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数； 中是无理数，除以5仍无理数； 是分数，是有理数； ，是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数， ∴无理数有、，共2个． 故选：C． 3. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 4. 下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可作出判断． 【详解】解：A、9的平方根是，说法错误，不符合题意； B、负数有立方根，说法错误不符合题意； C、的算术平方根是2，说法正确，符合题意； D、的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作；也考查了立方根的定义． 5. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　） A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 由题意可得：，，， ， ， ， ， 适合小华的绳长为2.6米， 故选：C． 6. 如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 7. 如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得，再由作图得，然后由点D在原点的左侧即可得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D， ∴， ∵点D在原点的左侧， ∴点D表示的数为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，是上一动点，过点作于于，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．连接．利用勾股定理求出，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 9. 已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根．设正数的一个平方根为，则另一个平方根为，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正数的一个平方根为，则另一个平方根为， 根据题意得， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算问题． 根据定义，有 和 ，通过计算得 ．代入．若该式为整数，则 为完全平方数，令 ，根据所满足的特征情况，确定 的所有可能取值，再计算 ，选取的最大值． 【详解】由定义，，， 故 ，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 若该式为整数，则 应为完全平方数， 令 ，则 为完全平方数， 由于 为 1 至 9 的数字， 为 1 至 8 的数字， ∴ 最小为 ，最大为 ， ∴ ，， 但被开方数不能是负数， ∴ ，又∵ ，且 4 为完全平方数， ∴ 需为完全平方数， ∴的值应为完全平方数与 3 的乘积， ∴的取值可能为0、3、12． 当 时，， ∴ 取最大值 4，则 ，，， 得； 当 时，， ∴ 取最大值 5，则 ，，， 得； 当 时，， ∴ 取最大值 9，则 ，，， 得； 故的可能取值为、、，的最大值为． 故答案为： 11. 在中，，，，点在边上，且，则的最小值___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，最短路径问题等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作，使得．作交的延长线于G．证明，则，，的最小值为的长，证明是等腰直角三角形，可得，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G． ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，当B、E、K共线时取等号， ∴的最小值为的长， ∵， ∴是等腰直角三角形，又，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故的最小值为． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，已知，点从出发，沿射线以的速度移动，当运动到___________时，是直角三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，平行线之间的距离相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，算出，再结合是直角三角形，进行分类讨论，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴（平行线之间的距离相等）， 同理得， 则， ∴； 设点的运动时间是秒， 依题意，当时，如图所示： ∵点从出发，沿射线以的速度移动， ∴， 则， 在中，； 在中，； 在中，； 即， 整理得， 解得； 依题意，当时，如图所示： 在中，； 在中，； 在中，； 即， 整理得， 解得； 依题意，当，如图所示： ∵点从出发，沿射线以的速度移动， ∴， 则， 在中，； 在中，； 在中，； 即， 解得； 综上：当运动到或或时，是直角三角形． 故答案为：或或． 三、解答题（共三题，14题20分，15题10分，16题12分，17题10分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3）40 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，零指数幂，掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行加减合并； （2）先算绝对值，把二次根式化为最简二次根式，然后进行加减合并； （3）先利用平方差公式进行化简，计算零指数幂，再进行加减合并； （4）先计算二次根式的乘除法和完全平方公式，再计算立方根，再进行加减合并． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 14. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1． （1）【感知】如图1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可在空白网格处拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是___________； （2）【探究】如图2，将网格中阴影部分图形采用适当的方式裁剪后可拼成一个新的大正方形，请在图中的空白网格处画出所拼成的这个新的大正方形，这个正方形的边长是___________； （3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：2．他能否裁出这样的纸片？请说明理由． 【答案】（1） （2） 由题知，阴影部分面积为5，拼成的这个新的大正方形边长为， ∵， 故所作新的大正方形如图所示： （3） 不能裁出这样的纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 则有， （舍负）， ∴长为，宽为， 原来正方形的面积为， ∴原来正方形的边长为， ， 不能裁出这样的纸片． 【解析】 【分析】本题考查网格中勾股定理的应用，画正方形，开平方运算，解题的关键在于熟练运用勾股定理解决问题． （1）利用勾股定理求解，即可解题； （2）根据题意得到网格中阴影部分面积，再利用正方形性质得到这个正方形的边长，并结合勾股定理画出图形即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积为，列出方程求解，得到长方形纸片长和宽，利用正方形的面积为，得到正方形边长，将长方形纸片长和宽与正方形边长，进行比较判断，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，这个大正方形的边长是， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 15. 如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°； （2）如果AF＝3，BF＝6，求AE的长． 【答案】 （1）由折叠性质，∠C=∠EFD，EF=CE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=∠EFD， ∵FD⊥BC， ∴∠B+∠BFD=90°， ∴∠EFD+∠BFD=90°， ∴∠AFE=180°﹣∠EFD﹣∠BFD=90°； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出∠B=∠C=∠EFD，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可； （2）根据折叠性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵AF＝3，BF＝6，AB=AC， ∴AC=AB=3+6=9， ∴EF=CE=AC﹣AE=9﹣AE， 在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2， ∴32+（9﹣AE）2=AE2， 解得：AE=5． 【点睛】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键． 16. 【问题情境】 综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，则用等式表示线段，，之间的数量关系； 【问题初探】 （1）以下是两位同学经过思考给出的两种思路： ①如图2，小明同学经过分析后，以A为直角顶点在边的右侧，作等腰直角三角形，连接和，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段之间的数量关系； ②如图3，小强同学经过分析后，将分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段之间的数量关系； 根据上面两种不同的方法可以得到线段，，之间的数量关系为___________； 【类比分析】 两名同学分别从不同的角度分析、解决问题，将前面问题进行变式，请你解答： （2）如图4，在中，，，点在边上，点在的延长线上，且，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，若，，则的长___________． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图4，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）的长为 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）①先证明，再证明即可； ②根据翻折的性质得，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图4，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图5中，在上取一点G，使得，证明，推出，证明，推出，设，则，在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：（1）选择①小明同学：以A为直角顶点在边的右侧，作等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择②小强同学：根据题意可知：， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． （2） 略 （3）如图5，在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $