浙江宁波市象山中学2026-2027学年高二上学期10月国庆返校测试数学试卷(实验班)

象山中学2026学年度第一学期高二年级国庆返校测试（实验班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（ ） A．或 B． C． D． 5．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，，为上两点，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．若的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，…，，已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，…，，若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 11．在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”．如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面上截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小．现有底面半径为2的圆锥，设母线长为，记其顶点锥口的立体角为．另有四棱锥，其底面是边长为2的正方形，记其顶点锥口的立体角为，则下列说法中正确的有（ ） A．对任意， B．若，则 C．当平面时，若，则 D．当四棱锥是正四棱锥时，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，为虚数单位，若，则_________． 13．已知平面截球得截面圆，其面积为；过圆心且与平面所成角的大小为的平面截球得截面圆，其面积为，则球的表面积为_________． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值； （2）若，，求的值． 16．（15分） 已知直线，圆． （1）若直线恰好为圆的切线，求圆的半径； （2）设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，，且恰存在两个点满足，求的取值范围． 17．（15分） 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，斜率为的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点．若上存在点使得，求直线的斜率． （3）已知点是上的一点，若，当点到直线的距离最大时，求直线的方程． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极大值为非负实数，求实数的取值范围； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $