精品解析：辽宁省大连市大连王府高级中学2026-2027学年高一上学期第一学段考试数学试题

大连王府高级中学2026-2027学年上学期第一学段考试 高一数学试题 命题人：李洪岩 校对人：周洁超 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若实数，满足：，则的最小值为 B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 命题“”的否定是：“” D. 若，均为实数，则： 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断C；举例说明判断ABD. 【详解】对于A，取，满足，而，故A错误； 对于B，取，满足，因为， 所以“”不是“”的充分条件，故B错误； 对于C，命题“”的否定是：“”，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 3. 已知方程的两个实根为，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用根与系数间的关系得到，再结合，即可求解. 【详解】因为方程的两个实根为， 则，， 所以， 整理得到，解得或， 又由，得到，所以， 故选：B. 4. 方程至少有一个负实根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等可得出关于、的方程组，结合集合元素满足互异性可求得结果. 【详解】因为集合，，且，分以下两种情况讨论： （1），无解； （2），解得. 综上所述，实数的取值集合为. 6. 如图所示的Venn图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合， 则， 由韦恩图得或. 故选：D 7. 已知，，均为实数，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则的取值范围是 【答案】D 【解析】 【详解】由而知A错误； 由而知B错误； 由而知C错误； 因为若且，所以三个数中最大数，最小数， 所以，则，且知. 8. 如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定的范围． 【详解】解：方程有三根， ，有根，方程的△，得． 又原方程有三根，且为三角形的三边和长． 有，，而已成立； 当时，两边平方得：． 即：．解得． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 10. 用表示集合中元素的个数，对于集合，，定义，若，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析集合对应的一元二次方程，得到，结合新定义，得到或者，依次代入选项中的值，化简集合，得到，判断是否符合要求. 【详解】集合，判别式恒成立，所以. 由，得，解得或. 集合. 对于A，，， ，，满足条件，故A正确； 对于B，，， ，，满足条件，故B正确； 对于C，，， ，，不满足条件，故C错误； 对于D，，， ，，满足条件，故D正确. 11. 已知、为正实数，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】将题干等式变形为，利用基本不等式可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；推导出，由结合二次函数的基本性质可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为、为正实数，且，即，即， 等式两边同时除以可得. 对于A选项，由基本不等式可得，则，所以， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于C选项，因为， 由A选项可知，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，C错； 对于D选项，由可得，所以，同理可得， 所以，，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的定义及集合元素的互异性求出集合，再相加求解即可. 【详解】当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，； 所以. 故元素之和为：. 13. 若不等式的解集非空，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】按、、分类讨论：时解一次不等式验证解集非空；时由开口向上得判别式必须大于零；时开口向下，解集必非空；最后取三类的并集. 【详解】当时，不等式为，即，解集非空，符合题意； 当时，抛物线开口向上，要使解集非空，需， 即，此时； 当时，抛物线开口向下，当时函数值趋于负无穷，解集一定非空， 故此时都符合题意. 综上，实数的取值范围是. 14. 已知不等式与不等式的解集相同．若a，b，，且，则的最小值为_____ 【答案】3 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得到解集，由"解集相同"用根与系数的关系求出、，再代入条件得，最后用求的最小值并验证等号可取. 【详解】由得，即，所以该不等式的解集为. 因为不等式的解集与之相同， 所以、是方程的两个根， 由根与系数的关系得，. 于是. 而（当且仅当时取等号）， 所以，当时取等号，且，符合条件， 所以的最小值为. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 16. 为迎接校运动会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）．已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为米．（垂直于墙的边称为宽，不垂直于墙的边称为长，长与宽之间的大小关系不确定，墙的长度足够长） （1）当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ （2）若需要围成一个面积不小于平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围． 【答案】（1）当长为米，宽为米时，训练场地的面积最大，最大面积是平方米； （2）矩形宽的取值范围是（单位：米）． 【解析】 【分析】（1）方法一：设矩形的宽为米，表示出长为米，建立面积关于的二次函数，根据二次函数开口方向、对称轴及自变量的实际范围求面积最大值；方法二：借助基本不等式，由定值条件，将面积变形为，利用“和定积最大”求最值，最后检验等号成立条件符合实际意义； （2）根据面积要求列出一元二次不等式，求解后结合自变量的实际取值范围，得到宽的取值范围． 【小问1详解】 方法一：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 面积， 又因为，解得， 所以当时，平方米， 此时宽为20米，长为米． 方法二：设垂直于墙的一边（宽）的长为米，则平行于墙的一边长为米，且，，， 因为， 所以，当且仅当且，即，时，等号成立， 所以当长为米，宽为米时，训练场地的面积最大，最大面积是平方米； 【小问2详解】 由（1）方法一可知，，由题意得，， 即， 则，解得， 所以，解得， 所以矩形宽的取值范围是（单位：米）． 17. 已知全集，集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，，根据交集非空建立参数的不等关系求解； （2）由充分条件得出集合，再利用集合包含关系求的范围． 【小问1详解】 不等式，解得， 所以， 不等式，由恒成立， 所以， 故， 若，则有或，解得或， 因为，所以的取值范围是． 【小问2详解】 由是的充分条件，可得，所以， ，， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 18. 设函数． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）6 （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）对二次项系数分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立列不等式组求解即可. （2）根据基本不等式求解即可. （3）对二次项系数分情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 对一切实数x恒成立等价于对一切实数x恒成立， 当时，，不满足题意； 当时，则，解得， 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为6． 【小问3详解】 由，得， 令，解得或. 又，所以. 当，即时，可化为， 解集为； 当，即时，不等式即为， 解集为； 当，即时，不等式即为， 解集为． 故的解集为： 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 19. 设集合，其中，正整数．若对任意，，与至少有一个属于A，则称A是“好集”． （1）分别判断集合与是否为“好集”，并说明理由； （2）当时，若A是“好集”，且，求集合A； （3）若A是“好集”，求证：． 【答案】（1）集合是“好集”，集合不是“好集”，理由为： 在集合中，因为，，， ，，，所以集合是“好集”． 而集合中，因为，，所以集合不是“好集”； （2）； （3）因为是“好集”，所以，则，则． 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，． 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）利用给定定义证明即可. （2）利用给定条件结合集合的互异性求解即可. （3）利用给定定义得到，再结合题意求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，且是“好集”， 所以，则， 又因为，所以，则， 又，故，所以． 故； 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：本题考查集合新定义，解题关键是合理运用给定定义，然后对目标式进行变形求和，得到所要求的解析式即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2026-2027学年上学期第一学段考试 高一数学试题 命题人：李洪岩 校对人：周洁超 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若实数，满足：，则的最小值为 B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 命题“”的否定是：“” D. 若，均为实数，则： 3. 已知方程的两个实根为，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 1 4. 方程至少有一个负实根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的Venn图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或. 7. 已知，，均为实数，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则的取值范围是 8. 如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 用表示集合中元素的个数，对于集合，，定义，若，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知、为正实数，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为__________． 13. 若不等式的解集非空，则实数a的取值范围是_____． 14. 已知不等式与不等式的解集相同．若a，b，，且，则的最小值为_____ 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 为迎接校运动会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）．已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为米．（垂直于墙的边称为宽，不垂直于墙的边称为长，长与宽之间的大小关系不确定，墙的长度足够长） （1）当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ （2）若需要围成一个面积不小于平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围． 17. 已知全集，集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18. 设函数． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 19. 设集合，其中，正整数．若对任意，，与至少有一个属于A，则称A是“好集”． （1）分别判断集合与是否为“好集”，并说明理由； （2）当时，若A是“好集”，且，求集合A； （3）若A是“好集”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $