第27讲 三角函数的图象与性质讲义（3考点+10题型）-2027届高三数学一轮复习

第27讲 三角函数的图象与性质 目录 Part 1 考点突破 【考点1：五点法作正、余弦函数的简图】 【考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质】 【考点3：y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质】 Part2 题型探究 【题型一 五点作图法】 【题型二 函数的奇偶性】 【题型三 函数的周期性】 【题型四 函数的单调性】 【题型五 函数的对称性（对称轴、对称中心）】 【题型六 函数的定义域、值域（最值）】 【题型七 三角函数性质的综合应用】 【题型八 根据条件确定解析式】 【题型九 三角函数图像变换】 【题型十 三角函数实际应用问题】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：五点法作正、余弦函数的简图】 知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 五点法是画正、余弦函数简图的基本功：在一个周期内取使函数取得最值或零值的五个关键点（对应 x=0、π/2、π、3π/2、2π），用光滑曲线连接即可。动手前先确定周期 T，再把 [0,T] 五等分定位取点，能避开绝大多数描点错误；注意五点法是"简图"，不必逐点描，关键点的纵坐标（0、±1）一定要取准。 知识点2：利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 【考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质】 知识点3：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 正弦、余弦、正切的图象与性质要对照着记：正弦、余弦都是周期为 2π 的周期函数，正切周期是 π；奇偶性上 sin、tan 是奇函数、cos 是偶函数；对称轴、对称中心、单调区间都要直接从图象位置读，不要死背公式。看到"最小正周期""对称轴""单调区间"这类问法，第一反应回图象，比套公式更稳。 【例2】（24-25高一下·福建宁德·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点3：y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质】 知识点4：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． y＝Asin(ωx＋φ) 的三个参数各有几何意义：A 管振幅（决定最值），ω 管周期（T=2π/|ω|），φ 管左右平移。给图求解析式时先读 A 和 T 定出 ω，再代特殊点求 φ；做图象变换要分清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"两种次序，平移量是 φ/ω 而非 φ——次序不同，平移量也不同。 【例3】若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． Part 2 题型探究 【题型一 五点作图法】 【例1】要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 【变式1】已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)请说明由到的变换过程. 【题型二 函数的奇偶性】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选题）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 【变式2】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的一个周期 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．是图象的一条对称轴 【题型三 函数的周期性】 【例3】（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【题型四 函数的单调性】 【例4】（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 【变式4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C．若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D．方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 【题型五 函数的对称性（对称轴、对称中心）】 【例5】（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【变式5】（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 【题型六 函数的定义域、值域（最值）】 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【变式6】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在区间上单调递增 B．是的一个周期 C．当时，的值域为 D．的图象关于轴对称 【题型七 三角函数性质的综合应用】 【例7】（24-25高一下·河南南阳·月考）如图是的部分图象，则正确的是（    ） A． B．函数在上无最小值 C． D．在上，有3个不同的根 【变式7】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【题型八 根据条件确定解析式】 【例8】（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和. 【变式8】在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________. (1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间. 【题型九 三角函数图像变换】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【变式9】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【题型十 三角函数实际应用问题】 【例10】如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10】如图是半径为2m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）作圆周运动，已知点P的初始位置为，且的纵坐标为1，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)用五点作图法作出函数，的简图； (3)当水车上点P的纵坐标大于等于1时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 6．已知函数. (1)求； (2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； (3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式. ①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 7．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)解不等式； (3)函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标． 8．已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【提升通关练】 9．（24-25高一下·四川德阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象作如下变换（   ） A．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 B．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 C．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 D．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 10．下列关于函数说法正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数为奇函数 C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为 11．（多选题）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D．在内使的所有的和为 12．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 13．如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．    (1)求函数的解析式； (2)若时，函数的最小值为，求实数a的值． 14．已知函数. (1)已知，求的值域及单调区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集. 15．已知函数，，恒成立，在上单调，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 C． D．若函数在上有5个零点，则 16．已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【培优通关练】 17．（多选题）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 18．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 19．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（    ） A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移； C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的. 20．已知函数. (1)由的图象经过怎样的变换得到的图象； (2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标． 21．已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（   ） A．为偶函数 B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则 22．已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数，，，且，则= 24．设函数，，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 三角函数的图象与性质 目录 Part 1 考点突破 【考点1：五点法作正、余弦函数的简图】 【考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质】 【考点3：y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质】 Part2 题型探究 【题型一 五点作图法】 【题型二 函数的奇偶性】 【题型三 函数的周期性】 【题型四 函数的单调性】 【题型五 函数的对称性（对称轴、对称中心）】 【题型六 函数的定义域、值域（最值）】 【题型七 三角函数性质的综合应用】 【题型八 根据条件确定解析式】 【题型九 三角函数图像变换】 【题型十 三角函数实际应用问题】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：五点法作正、余弦函数的简图】 知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 五点法是画正、余弦函数简图的基本功：在一个周期内取使函数取得最值或零值的五个关键点（对应 x=0、π/2、π、3π/2、2π），用光滑曲线连接即可。动手前先确定周期 T，再把 [0,T] 五等分定位取点，能避开绝大多数描点错误；注意五点法是"简图"，不必逐点描，关键点的纵坐标（0、±1）一定要取准。 知识点2：利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 【考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质】 知识点3：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 正弦、余弦、正切的图象与性质要对照着记：正弦、余弦都是周期为 2π 的周期函数，正切周期是 π；奇偶性上 sin、tan 是奇函数、cos 是偶函数；对称轴、对称中心、单调区间都要直接从图象位置读，不要死背公式。看到"最小正周期""对称轴""单调区间"这类问法，第一反应回图象，比套公式更稳。 【例2】（24-25高一下·福建宁德·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质或根据图象变换作出图象，逐一判断即可. 【详解】对于A，将函数图象上的每一个点，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的函数图象，如图： 由图可知在区间上单调递增，但其最小正周期为，故A错误； 对于B，因在区间上单调递减，且其最小正周期为，故B错误； 对于C，因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确； 对于D，将正弦函数图象位于轴以下的部分翻折至轴以上，可得出的函数图象， 如图： 由图可知，在区间上单调递减，且其最小正周期为，故D错误. 故选：C. 【考点3：y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质】 知识点4：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． y＝Asin(ωx＋φ) 的三个参数各有几何意义：A 管振幅（决定最值），ω 管周期（T=2π/|ω|），φ 管左右平移。给图求解析式时先读 A 和 T 定出 ω，再代特殊点求 φ；做图象变换要分清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"两种次序，平移量是 φ/ω 而非 φ——次序不同，平移量也不同。 【例3】若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得到，，最小正周期为4，故，并计算出，利用函数周期得到答案. 【详解】由图象知，，最小正周期为4，故，解得， 故，所以，，，，， ，又， 所以 ． 故选：B． Part 2 题型探究 【题型一 五点作图法】 【例1】要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 【答案】(1)答案见解析(2)作图见解析 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. （2）利用“五点法”画出图象. 【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （2）列表： 【变式1】已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)请说明由到的变换过程. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出对应值表，再在坐标系内描点连线即得. （2）根据三角函数变换，叙述出变换过程即可. 【详解】（1）函数在上的取值，列表为： 0 0 1 0 0 描点连线，即得函数的图象，如图： （2）先将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，即的图象. 【题型二 函数的奇偶性】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选题）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 【答案】AD 【分析】对于A，根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B，利用整体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误；对于C，根据奇函数的必要条件，利用举反例，可得其正误；对于D，根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得其正误. 【详解】由可得是的一个周期，A正确； 令，则， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 所以函数的单调递减区间为，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调，B错误； ，所以不是奇函数，C错误； 由于，则的图象关于中心对称，D正确． 故选：AD. 【变式2】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的一个周期 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．是图象的一条对称轴 【答案】ABC 【分析】根据平方关系和二倍角公式将函数降幂化简，然后结合三角函数的性质分析每个选项. 【详解】 ． 对选项A，，故A正确； 对选项B，函数定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，故B正确； 对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确； 对选项D，或，故D错误. 故选：ABC 【题型三 函数的周期性】 【例3】（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象和性质，利用整体代换计算即可. 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰有两个最大值点， 所以，解得， 故选：D 【变式3】已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【详解】（1）易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 （2）的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 【题型四 函数的单调性】 【例4】（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的化简计算可得，结合整体代换法计算即可求解； （2）由不等式的性质可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得：， 的单调增区间为； （2）， ， 即其值域为． 【变式4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C．若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D．方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】利用条件得到对称轴和对称中心，结合余弦函数性质得到解析式，再利用正弦函数的性质判断A选项，结合余弦函数的图象判断BC选项，方程的根，判断D选项. 【详解】因为，所以是一个对称中心，因为，所以是一条对称轴， 又因为在上是单调函数，和一定相邻，所以，所以，即，所以， 又因为在时取得最大值，所以，所以，因为，所以， 从而， A选项，， ，所以是奇函数，故A正确； B选项，，，结合余弦函数图象，得，故B错误； C选项，，，结合余弦函数图象得，解得，故C正确； D选项，时，此时区间为，， 令得，得或， 由可得所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】思路点睛：三角函数中的整体代换思想，在余弦型函数中，将看成一个整体，利用余弦函数的性质研究余弦型函数的性质. 【题型五 函数的对称性（对称轴、对称中心）】 【例5】（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合正弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 可得,结合，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，,则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 【变式5】（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确. 【详解】由函数的图象，可得，可得，则， 又由，所以， 又由，即， 因为，所以，可得，所以， 所以A正确；B不正确； 对于C中，由为函数的最大值， 所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确； 对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 【题型六 函数的定义域、值域（最值）】 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式6】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在区间上单调递增 B．是的一个周期 C．当时，的值域为 D．的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】易知 A．化简得，换元，则，进而得到单调性 B．化简，得到，进而判断答案 C．化简得，设，则，进而得到的值域 D．求出，得到，进而判断出D选项 【详解】因为是上的偶函数，所以. A错误，当时，. 设，则，则在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减. B错误，，所以不是的一个周期. C正确，当时，. 设，则，则. 因为，所以. D正确。的定义域为，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称. 故选：CD 【题型七 三角函数性质的综合应用】 【例7】（24-25高一下·河南南阳·月考）如图是的部分图象，则正确的是（    ） A． B．函数在上无最小值 C． D．在上，有3个不同的根 【答案】D 【分析】对于A，将下降趋势中的点代入即可求解；对于B，由图可知在的一条称轴为，因为，所以在上有最小值；对于C，根据对称即可判断与是否相等；对于D，由经过上升趋势中的点及可求出，进而知道的解析式，利用整体的思想以及结合三角函数的图象即可求解在上的根. 【详解】对于A，由图可知经过下降趋势中的点， ，故A错误； 对于B，由图可知在的一条称轴为， 所以在上有最小值，当时取得最小值-1，故B错误； 对于C，和都在区间内，， 故，故C错误； 对于D，由A知，又因为经过上升趋势中的点， ， 整理得，由图可知，即，解得， 又因为，所以当时，满足，， 令，当时，时，， 此时，所以在上，有3个不同的根，D正确. 故选：D. 【变式7】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)， (2) (3)5， 【分析】 （1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，，，， 即，，，， 解得：，，，， 所以． 【题型八 根据条件确定解析式】 【例8】（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦对化简，然后由图象平移的性质得到，再整体代入求解单调区间可得； （2）由正弦函数的单调性可得； （3）先由诱导公式和三角恒等变化对化简，再由正弦函数的取值可得. 【详解】（1）因为， 又因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 所以， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得. 由正弦函数性质可知，， 故在的值域为. （3） ， 由，得，得或， 即或， 因为，所以或或或， 故在上的零点之和为. 【变式8】在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________. (1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出，进而求出函数在的最值，再结合恒成立的不等式求解即得. （2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质求出递增区间. 【详解】（1）选条件①在区间上单调递增， 又，得， 所以满足条件，得， 又，所以取，所以； 选条件②，得， 又，所以，得，所以 选条件③，知是的一条对称轴， 所以，则 又，所以， 所以， 当时，，所以， 由恒成立，得， 当时，的最大值为，的最小值为， 则 所以实数的取值范围 （2）由（1）知， 将函数的图象向右平移个单位后，得， 再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得， 由，得， 的单调增区间是 【题型九 三角函数图像变换】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 题型四、三角函数的图像变换结合性质考查（重点） 【变式9】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 【题型十 三角函数实际应用问题】 【例10】如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式. 【详解】根据题意可设， 因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点， 所以， 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数， 由，得， 又因为， 所以，，， 所以该函数的单调递增区间是，，，. 故选：B 【变式10】如图是半径为2m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）作圆周运动，已知点P的初始位置为，且的纵坐标为1，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)用五点作图法作出函数，的简图； (3)当水车上点P的纵坐标大于等于1时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得的解析式； （2）根据题意，列表、描点、连线，作出函数在上的简图； （3）根据的解析式，得出不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点的纵坐标为1，可得，所以， 因为P沿逆时针方向以角速度作圆周运动， 所以以为终边的角可以为， 所以. （2）由函数， 因为，可得， 列表可得： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在上的简图，如图所示，    （3）由，令，可得，即， 可得，解得， 可得水车旋转一周灌溉的时间为，即水车旋转一圈内有可以灌溉植物 Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移的规则进行求解即可. 【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，函数解析式变为； 将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍， 可得函数的图象. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换得到答案. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断. 【详解】方法一：，又． 方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，．    故选：C. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的奇偶性的性质可得，或者利用偶函数的性质，求解，即可利用整体法求解， （2）利用整体法结合条件即可求解， （3）作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）方法一  因为函数为偶函数， 所以，，， 又，所以．故， 令，解得， 即图象的对称轴方程为， 方法二  函数为偶函数， 则，即，所以， 又，所以，经检验，符合题意． （2）当时，，所以， 所以，所以的值域为． （3）画出函数在上的图象与直线 当时，函数的图象与直线有2个交点，作图如下： 由图可知，故m的取值范围为． 6．已知函数. (1)求； (2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； (3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式. ①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 【答案】(1) (2) (3)选择①，或 选择②， 【分析】（1）根据题意，可得，从而得解； （2）根据题意，，可得，再由则，且，可确定实数的取值范围； （3）选择①，根据题意可得，又，，分和两种情况求解； 选择②，分析可知在上的最大值与最小值差为，由三角函数图象变换可知在上先增后减，最大值为1，故，可解. 【详解】（1）根据题意，， 即，则，又，所以； （2）根据题意，在区间上有且仅有3个解， 即，在区间上有且仅有3个解， 所以，即，又，所以， 由于， 则，且， 根据正弦函数的图象性质，    可知， 所以； （3）因为， 选择①，当时，， 根据题意，，所以， 所以，， 因为函数在上的值域为，即， 根据正弦函数的图象性质，可知， 当时，，此时，符合题意， 所以， 当时，，此时，符合题意， 所以， 综上，或； 选择②，由函数在上的最大值与最小值差为3， 即在上的最大值与最小值差为， 又因为，可由向左平移后再伸缩得到， 所以在上先增后减，最大值为1， 故，所以， 故. 7．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)解不等式； (3)函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)． 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）结合（1）可得，又，结合诱导公式及正弦函数的性质计算可得； （3）首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 令，， 解得，， 函数的单调递增区间为，． （2）不等式， 即， 又 ， 则， 所以，， 解得，， 所以不等式的解集为，． （3）将向左平移个单位长度得到， 再将的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到， 最后将关于轴对称得到， 令，，解得，， 所以的对称中心坐标为，， 当为，当为，当为， 在轴右侧第二个对称中心的坐标为． 8．已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到；BC选项，画出，，且与的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】A选项，设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接， 由三角函数定义可知，， 设扇形的面积为，则，即，故， 当时，有不等式，A正确； B选项，画出，，且与的函数图象，如下： 可以看出，，故，B不正确； C选项，的最小正周期为，由图象可知，故，C正确； D选项，由， ， 因为，，故， 而， 但，且在为增函数， 故，故，D正确． 故选：ACD． 【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数值为0，直接进行求解； （2）转化为两函数图象的交点问题来解决； （3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解. 【提升通关练】 9．（24-25高一下·四川德阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象作如下变换（   ） A．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 B．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 C．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 D．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 【答案】B 【分析】先将函数的解析式化简，再根据平移变换和周期变换的原则即可得解. 【详解】 ， 由函数的图象得到函数的图象， 只需先将先将的图象向左平移单位，得， 再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍即可，故A错，B对； 或者先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍， 得， 再将所得的图象向左平移个单位即可，故CD错误. 故选：B. 10．下列关于函数说法正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数为奇函数 C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误; 对于选项B，函数的定义域为关于原点对称， 又，则函数为偶函数，故选项B错误; 对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质， 根据图象变换作出函数草图如下： 由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误; 对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确. 故选：D. 11．（多选题）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 D．在内使的所有的和为 【答案】ACD 【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A选项，根据对称中心的定义即可；对于B选项，和一个为函数的最大值，一个为最小值即可求解；对于C选项，求出，根据偶函数的定义即可；对于D选项，令，求出在的根即可. 【详解】． A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确； B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误； C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确； 令，∵，∴， 在的根分别为：，，，， 则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确． 故选：ACD． 12．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 13．如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．    (1)求函数的解析式； (2)若时，函数的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察函数图象，求出对应点坐标，分别求出的值即得函数解析式； （2）写出的解析式后，取，将其转化为在上的最小值问题，结合二次函数图象分类讨论即得. 【详解】（1）由题意得，，因，故， 函数的周期， 由可得， 把点代入中，得， 由，可解得. 故函数的解析式为. （2）由， 不妨设，由可得， 则，，函数图象的对称轴为直线. ① 当，即时，，解得，符合题意； ② 当，即时，，解得，不合题意； ③ 当，即时，解得，不合题意. 综上所述，实数a的值是. 14．已知函数. (1)已知，求的值域及单调区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简函数，然后由正弦函数的值域及单调区间求解即可； （2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可. 【详解】（1） ， 由，则，所以， 所以，即的值域为， 令，解得，即的单调递增区间为， 令，解得，即的单调递减区间为， 所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为， 值域为； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到，再将其图象向上平移个单位得到， 则， 故不等式即， 化为，化为， 即， 解得或（舍去），所以， 所以， 所以等式的解集为. 15．已知函数，，恒成立，在上单调，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 C． D．若函数在上有5个零点，则 【答案】AB 【分析】由题意求出，可判断A；由三角函数的平移变化可判断B；求出可判断C；令，即与的图象有5个交点，画出与的图象即可判断D. 【详解】因为，所以是函数的一个零点，所以①， 又因为对恒成立，所以时取得最小值， 即②，则①减②可得：， 又因为在上单调，所以， 则，结合，所以， 所以，， 则，，又因为， 所以，故A正确； 所以， 将的图象向左平移个单位长度后得到，故B正确； ，故C错误； 函数在上有5个零点，令， 即与的图象有5个交点，画出与的图象如下，    ，， 由图可知，当时，与的图象有5个交点， 即函数在上有5个零点,故D错误. 故选：AB 16．已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意写出平移后的解析式后，根据三角函数的奇偶性可得. 【详解】的图像向右平移个单位长度后，变为 ， 因的图象关于轴对称， 所以为偶函数， 所以，, 即，, 因，所以， 故当时，实数取得最小值为， 故选：B 【培优通关练】 17．（多选题）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【详解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若函数有两个不同的零点， 即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得， 设，则， 作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确. 故选：ACD. 18．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 19．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（    ） A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移； C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的. 【答案】AB 【分析】直接由三角函数的平移变换、伸缩变换法则对每个选项逐一验证即可. 【详解】将的图像向左平移，可得函数， 再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确； 或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，可得的图像，故B正确； 对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误； 对于D，向左平移可得， 再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误. 故选：AB. 20．已知函数. (1)由的图象经过怎样的变换得到的图象； (2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)对称轴方程为；对称中心坐标为， 【分析】（1）根据三角函数图象的变换规则写出变换过程； （2）根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）首先将的图象向左平移个单位得到， 再将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到， 最后将的图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得到. （2）对于函数， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为， 令，解得， 所以函数的对称中心坐标为，. 21．已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（   ） A．为偶函数 B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则 【答案】BD 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由解析式判断的奇偶性得A选项结果；由函数图像变换得函数解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD. 【详解】， ，为奇函数，A选项错误； 函数的图像横坐标缩短为原来的倍，得函数的图像， 再向左平移单位，得到函数的图像， 若，即， 则有，解得，B选项正确； 时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； 时，有，函数在的零点为， 则有，，， 所以，D选项正确. 故选：BD 22．已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，根据三角函数图象的平移变换可得的表达式，结合其性质，求得的表达式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故，由于的图象关于y轴对称， 则为偶函数，故,即， 故的最小值为， 故选：B 23．已知函数，，，且，则= 【答案】/0.5 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，分析可知函数的最小正周期为，利用正弦型函数的周期公式即可求得的最小值. 【详解】因为 ，另外，，且， 所以，函数的最小正周期满足，则， 所以，，故当时，取最小值. 故答案为： 24．设函数，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用三角恒等变换将函数表达式化简为正弦型函数，再求函数最小值即可. 【详解】 . 因为，所以，所以， 所以，即函数的最小值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $