第二十三章 数据分析与统计估计（复习讲义）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学“数据分析与统计”单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，系统整合算术平均数、中位数、箱线图、方差等六个核心知识点，每个知识点包含概念解析、公式推导及要点速测题，构建清晰的知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础的“求加权平均数”到综合的“箱线图绘制与分析”，结合数据意识与运算能力培养。每个题型配有解题要点和迁移练习，帮助学生掌握统计推断方法，支持教师实施精准分层教学，提升复习效率。

第二十三章 数据分析与统计 复习要点 1. 掌握算术平均数与加权平均数计算，理解权重意义，能根据不同权重数据准确求解平均值。 2. 熟练求解中位数与众数，中位数排序后取中间值，众数为出现次数最多的数据，可反映数据集中趋势。 3. 理解四分位数概念，掌握数据排序后分段取值方法，能依据四分位数绘制对应箱线图。 4. 读懂箱线图各部分含义，能通过箱体、最值、中位数对比多组数据的分布与集中情况。 5. 掌握离差平方和、方差计算公式，方差越小数据越稳定，可用于判断数据波动大小。 6. 掌握用样本估计总体的思想，利用样本的集中趋势、波动特征推断总体对应统计特征。 复习重难点 重点：熟练计算各类统计量，读懂箱线图，利用方差判断波动，能用样本合理推断总体。 难点：准确求解四分位数，区分各统计量适用场景，结合数据特征科学分析推断总体。 知识点 平均数与加权平均数 算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 要点速测 1．已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 知识点 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 要点速测 3．一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数如下：，，，．若这组数据的唯一众数和平均数相等，那么______． 知识点 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 要点速测 5．某工厂甲车间近十天生产零件的数量（单位：个）为：20，22，25，28，30，32，35，38，40，42，则这组数据的上四分位数是______． 6．学校选拔选手参加市级无人机障碍竞速赛，小明在最近的次选拔赛中，记录每轮完成赛道的用时（单位：秒），如下，，，，，，，，，，根据数据绘制如下箱线图，请根据箱线图写出这组数据的下四分位数：_______． 知识点 方差与标准差 方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 要点速测 7．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 8．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 知识点 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 要点速测 9．已知一组数据的方差为2，则其离差平方和是_____． 10．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 知识点 用样本推断总体 用样本推断总体是统计的核心思想，核心是通过抽取部分样本的数据，估计整体总体的特征，适用于总体数量大、无法全面调查的情况。常用调查方式为抽样调查，要求样本具备随机性、广泛性和代表性，避免人为偏差。 主要应用：利用样本的平均数、中位数、众数、方差，估计总体的集中趋势和波动程度。样本容量越大，样本数据越接近总体真实情况，估计结果越准确。 常见易错点：样本选取片面不随机、容量过小导致误差大；混淆样本、总体、个体、样本容量概念；误将样本结果当作总体绝对结果，忽略统计估计存在误差。 要点速测 11．某校七年级有400名学生，随机抽取40名学生进行视力调查，其中近视的有12人．估计该校七年级近视的学生人数约为（     ）． A．120人 B．100人 C．80人 D．60人 12．为了估计池塘中有多少条鱼．先从池塘中捕捞条鱼作记号，然后放回池塘里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共条，有条带记号，则估计整个池塘有鱼______条． 题型1 求一组数的平均数 ▌例1已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 解题要点 计算平均数先分清算术平均数与加权平均数，找准数据与对应权重。算术平均数所有数据求和除以数据总个数；加权平均数要按权重计算总和再除以权重和。审题看清权重形式，避免漏数据、错代权重，计算后可结合数据大致范围检验结果是否合理。 ▌迁移练1-1有一组数分别为、、、、、、，它们的平均数是________． ▌迁移练1-2校园举行“一二・九”朗诵比赛，选手的最后得分是五位评委打分的平均数．七年一班选派小轩、小宇两位同学参加比赛，五位评委给小轩的打分依次是：分，分，分，分，分；给小宇的五个打分中，有三个均比小轩的多分，有两个均比小轩的少分，小轩最后得分是___________分，小宇最后得分是___________分． ▌迁移练1-3每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 题型2 平均数的相关计算及决策 ▌例2如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． ▌迁移练2-1在1，6，4，，2中，平均数是3，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌迁移练2-2已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． ▌迁移练2-3已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 题型3 求加权平均数 ▌例3一位求职者参加某公司的招聘，笔试和面试的成绩分别是90和86，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，则此次招聘中面试的权重为________． 解题要点 解题要分清各数据及其对应权重，权重可以是频数、比例或百分比。用每个数据乘对应权重再求和，再除以权重总和。若权重为百分数，权重之和应为 100%，仔细核对数据不要遗漏，算出结果结合数据区间检验，避免混淆算术平均数与加权平均数。 ▌迁移练3-1为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ ▌迁移练3-2一个小组的同学在一次测试中的得分情况为：人得分、人得分，人得分，人得分．这个小组的平均成绩是___________分． ▌迁移练3-3锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 题型4 加权平均数的相关计算及决策 ▌例4校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） ▌迁移练4-1已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． ▌迁移练4-2某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） ▌迁移练4-3某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且依次按，，的占比计入最终成绩．已知决赛中甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，乙的上述三项成绩（百分制）依次是80分，90分，85分．最终成绩较高者获得冠军，则甲、乙两人谁会获得冠军？ 题型5 求中位数与众数 ▌例5在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/m 人数 1 4 5 2 2 1 分别求这些运动员成绩的平均数（结果保留小数点后两位）、中位数、众数． 解题要点 求中位数必须先将数据从小到大排序，数据奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均数。众数是出现次数最多的数据，一组数据众数可能不止一个。注意众数是原始数据，不是出现次数，审题仔细，排序不要出错，结合题意选择合适统计量分析。 ▌迁移练5-1某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． ▌迁移练5-2已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． ▌迁移练5-3某班50名学生身高测量结果如下表 身高 1.51 1.52 1.53 1.54 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.64 人数 1 1 3 4 4 4 6 8 10 9 该班学生身高的众数和中位数分别是（     ） A．1.59，1.58 B．1.60，1.59 C．1.60，1.58 D．1.60，1.60 题型6 中位数与众数的相关计算及决策 ▌例6一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌迁移练6-1从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 ▌迁移练6-2学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． ▌迁移练6-3有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 题型7 求四分位数 ▌例7按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 解题要点 计算四分位数首先把数据从小到大排序，确定数据总个数。先找出中位数即第二四分位数，再分别求下半部分、上半部分数据的中位数得到 Q1、Q3。注意不同算法取值略有差异，分清四分位数是数据值，不是序号，避免直接拿位置序号当作结果。 ▌迁移练7-1某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的中位数是70； ③这个月空气质量指数在40至80之间的占数据总数的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． ▌迁移练7-2八年级两个班男生的身高（单位：）分别如下： 甲班 164，171，163，158，167，175，169，181，168，176，175，162 166，165，172，169，171，168，174，170 乙班 172，170，163，161，179，160，176，174，170，178，183，166 168，167，180，171，168，172 请结合男生身高的四分位数和箱线图比较这两个班级男生的身高差异． ▌迁移练7-3在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．班和班均有学生的测量值超过了理论值 B．班的测量值比班的测量值波动更大 C．班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D．班的平均测量值比班的平均测量值更高 题型8 画箱线图 ▌例8甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次）如下： 甲组：182，194，143，185，156； 乙组：199，148，242，170，141． 计算每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点． 解题要点 绘制箱线图先求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值五个关键数值。在数轴上标出对应点位，画出箱体与 whisker（须）。箱体两端对应 Q1、Q3，内部标出中位数，线段连接最值。刻度要合理，绘图规范，注意异常值单独标记，核对五个统计量，防止数值抄写错误。 ▌迁移练8-1一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 12，10，3，9，10，12，2，6，14 (1)计算汽车销售数量的四分位数； (2)画箱线图并分析汽车销售数量的特点． ▌迁移练8-2一家公司员工的月收入如下表所示． 月收入／元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 (1)计算这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数； (2)计算这家公司员工月收入的四分位数，并画出箱线图． ▌迁移练8-3甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 题型9 求方差 ▌例9若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 解题要点 计算方差先求出这组数据的平均数，再求出每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和，再除以数据总个数。方差反映数据波动大小，方差越大波动越大。计算时注意符号处理，平方后均为正数，仔细运算，不要混淆方差与离差平方和的计算公式。 ▌迁移练9-1已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 ▌迁移练9-2某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． ▌迁移练9-3某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机捕捞了20条这种鱼，称得它们的质量 （单位：）如下：                                       估计水库中这种鱼质量的平均数和方差 （结果保留小数点后两位）． 题型10 方差相关的计算及决策 ▌例10已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 ▌迁移练10-1老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 ▌迁移练10-2【数据收集】 某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 (2)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． ▌迁移练10-3射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 题型11 离差平方和及其应用 ▌例11已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 解题要点 先计算数据组的平均数，再求每个数据与平均数差值的平方，全部相加得到离差平方和。它体现数据整体波动程度，是计算方差的基础。注意区分离差平方和与方差，前者不除以数据个数，计算避免符号出错，可结合实际情境对比多组数据离散情况。 ▌迁移练11-1在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． ▌迁移练11-2在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（     ） A．第1个间隔 B．第2个间隔 C．第3个间隔 D．第4个间隔 ▌迁移练11-3已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 题型12 用样本推断总体的数量 ▌例12某区积极开展“阳光体育大课间”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据学校实际情况，决定主要开设羽毛球、跳绳、踢毽子三种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了n名学生进行调查（每名同学只选择一种体育项目），并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合上述信息解答下列问题： (1)求n的值． (2)请把条形统计图补充完整． (3)已知该校有1600人，请你根据统计图中的资料估计全校最喜欢踢毽子的人数． ▌迁移练12-1为了解即将升入初中的学生对教师和家长的需求，学校对六年级全体学生进行了问卷调查，所有被调查的学生均对两道题目进行了回答，调查问卷和调查结果如下． 调查问卷将选项前面的字母填在括号里．（单选题） 第1题：最希望得到老师（     ）方面的帮助． A．学习方法    B．人际关系    C．兴趣发展    D．情绪调节 第2题：最希望得到家长（     ）方面的帮助． A．学习方法    B．人际关系    C．兴趣发展    D．情绪调节    (1)这所学校六年级共有学生________人． (2)将上面条形统计图和扇形统计图补充完整． (3)根据上面第1题的调查结果，绘制成扇形统计图，应该选________．    (4)该校要为六年级学生组织一次讲座，根据以上信息，如果要满足更多同学的需求，讲座主题应该选择哪方面的内容？ ▌迁移练12-2某校分别从七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们一周的运动时间．运动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）；将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生上周运动时间从高到低排列、排在最后的个数据分别是，，，，，，，，， 八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表 分组 A B C D E 频数 七、八年级各100名学生一周运动时间的统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 请你根据以上信息，回答下列问题： (1) ， ， ； (2)根据以上数据分析、你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于分钟的学生一共有多少人？ ▌迁移练12-3随着信息化脚步的加快，电子产品在学生群体中使用越来越普遍，青少年视力健康受到较大影响．某校对全体学生的视力情况开展了调查统计，为了解九年级学生的视力情况，男女生各随机抽取了20名学生的视力数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的女生视力数据如下： 4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2； b．将抽取的男生视力数据进行整理，分为九组（用表示视力情况），分别为，，，，，，，，，得到了男生的视力情况直方图如下； c．抽取的男生、女生的视力情况箱线图如下（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的女生视力的众数是________，第二四分位数________，第三四分位数________；在抽取的男生、女生的视力情况箱线图中绘制女生的视力情况箱线图，并标注数据； (2)如果被抽取的一名学生的视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平，则这名学生是________生（男或女）； (3)小帆观察发现抽取的男生与女生视力的第一四分位数都是4.3，他判断抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数一样多．你认为小帆的判断是否正确，并说明理由． ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ (4)已知该校九年级男生共240人，女生共220人，估计该校视力在5.0及以上的九年级学生共有多少人？ 难点一 四分位数与箱线图 难点精练 1．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 2．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 难点二 数据分析与统计解答题 难点精练 3．某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 4．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 5．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 基础达标 1．某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．2 B．24 C．15 D．16 2．当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 3．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 4．2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（     ） A．27分 B．9.3分 C．9分 D．8.7分 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6．某公司在对员工进行招聘时，从员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，各项均按百分制计算．以下是小王的各项成绩（单位：分）： 测试项 专业知识 应变能力 工作能力 成绩 80 85 90 若按照专业知识占，应变能力占，工作能力占的比例计算考核总成绩，则小王的考核总成绩为__________分． 7．某校七年级“数学节”活动设计了A，B，C，D四款徽章，为了解学生对徽章的喜爱情况，老师随机抽取了20名学生，请他们从中选出最喜爱的一款徽章，结果如下：D A A C C B C B B D D D C C B C A C D A，那么这些学生中，最喜爱款徽章的学生所占百分比为__________． 8．某校的射击社团经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学，代表社团参加延庆区“青少年射击比赛”．该社团组织四人进行比赛，这四名同学10次射击成绩（单位：环）的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 96 96 方差 1.2 0.6 0.2 0.7 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，则应该选择________． 9．某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分（每项满分均为10分），再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级（5）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则八年级（5）班的最终成绩为________分． 10．为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 11．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 12．一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 13．【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 14．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 15．某校为了解初一年级男生长跑成绩与肺活量的情况，随机从该校初一年级抽取了100名男生，收集了这100名男生的长跑成绩与肺活量检测值，将这100名男生按长跑成绩分为达到合格标准和未达到合格标准两组，分别对这两组男生的肺活量检测值进行整理和描述．下面给出了部分信息． ．将初一年级男生肺活量（单位：）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：） 等级 一 二 三 四 五 六 ．长跑成绩达到合格标准组有名男生，其肺活量检测值的频数分布直方图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）如图1； ．长跑成绩未达到合格标准组有名男生，其肺活量等级的扇形统计图如图2； 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为 ，的值为 ； (2)长跑成绩未达到合格标准组中，肺活量等级为四级的有 人； (3)若这所学校初一年级男生共有300人，根据以上调查结果，估计这所学校初一年级男生肺活量不小于的人数． 能力进阶 16．甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（     ） A．甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B．甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C．甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D．甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 17．我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（     ） A．可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B．可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C．可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D．若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 18．珠珠家共有九人，已知今年这九人岁数的众数、平均数、中位数、四分位距均为20，则关于3年后这九人岁数的统计量，下列叙述何者错误（     ） A．众数是23 B．平均数是23 C．中位数是23 D．四分位距是23 19．某校八年级（1）、（2）两班恰各有20名男生，他们身高（单位：cm）的箱线图如图所示，下面说法正确的是（） A．八年级（1）班男生身高的下四分位数为145 B．八年级（1）班男生身高的中位数大于八年级（2）班男生身高的中位数 C．八年级（2）班男生身高的上四分位数大于八年级（1）班男生身高的上四分位数 D．八年级（2）班男生身高比八年级（1）班男生身高更集中 20．某校非常注重学生的劳动教育．该校某班统计了这学期本班16名男生每天做家务劳动的平均时间（单位：min）如下： 4，5，5，6，8，8，9，10，10，11，11，12，12，13，13，15 绘制了这16名男生每天做家务劳动的平均时间的箱线图如图所示，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 21．某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下： 每周体育活动时间 学生人数 3 7 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________． 22．若一组数据，，，，，的方差是，另一组数据，，，，，的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 23．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 24．2025年我国对部分国家的货物进口金额（单位：百亿元）如下表： 国家 巴西 俄罗斯 印度 韩国 日本 货物进口金额 51 74 97 103 113 将这5个数据依次分为两组，共有以下4种情况，分别计算组内离差平方和，可以 得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组4个 820.75 第一组2个，第二组3个 395.17 第一组3个，第二组2个 1108.00 第一组4个，第二组1个 1688.75 依据以上计算结果，____________与俄罗斯分在同一组最合理（填国家名称）． 25．年月日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解，某校组织了以“七秩问天路携手探九霄”为主题的航天知识竞赛，甲、乙两个班各派名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，则__________，__________（填“”，“”或“”）． 26．某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家”科普知识竞赛．九年级甲、乙两个班各派10名学生参加校级决赛．决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班10名同学得分的平均数为________，乙班10名同学得分中最高分为________分； (2)甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分．请结合本班统计图信息，判断在各自班级中的排名更靠前的是________（填“小乐”或“小思”）； (3)小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少，由此判断甲班的平均分也比乙班低．你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不同意，请举出反例． 27．某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． (1)随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． (2)随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 28．某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6    请结合图表完成下列问题： (1)表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； (2)扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； (3)根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 29．某校七年级有名学生、八年级有名学生，为调查学生劳动教育实践知识的掌握情况，学校分别对七、八年级学生进行了抽样测试（测试成绩为百分制，成绩为优秀，为基本达标，为需要关注） a．七年级的频数分布直方图和扇形图如下： b．从八年级随机抽取名学生的测试成绩如下： 81  63  52  97  75  91  84  42  66  77  87  72  95  61  55 73  82  47  69  88  58  76  93  85  64  79  71  83  99  52 c．八年级的频数分布表如下： 分组 频数 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级共随机抽取了 名学生的测试成绩；补全七年级频数分布直方图； (2) ， ； (3)若七、八年级学生都参加了测试： ① （填“七”或“八”）年级的优秀率更高； ②请估计七、八年级成绩达标（）的总人数为 人． 30．秉持“健康第一”的教育理念，中小学生每日需完成不少于小时中等及以上强度的体育锻炼．某地区为了解本地各中小学日常体育锻炼的实际情况，现对甲、乙两所学校学生一个星期内每日进行中等及以上强度体育锻炼的平均时长进行调查，并对所得数据进行整理、描述与分析．下面给出部分信息． ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图如下： ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中__________，__________； (2)__________（填“”“”或“”）； (3)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为、，则__________（填“”“”或“”）； (4)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为分钟，实际为分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是__________（写出所有符合题意的序号）． ①平均数  ②中位数  ③众数  ④方差 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 数据分析与统计 复习要点 1. 掌握算术平均数与加权平均数计算，理解权重意义，能根据不同权重数据准确求解平均值。 2. 熟练求解中位数与众数，中位数排序后取中间值，众数为出现次数最多的数据，可反映数据集中趋势。 3. 理解四分位数概念，掌握数据排序后分段取值方法，能依据四分位数绘制对应箱线图。 4. 读懂箱线图各部分含义，能通过箱体、最值、中位数对比多组数据的分布与集中情况。 5. 掌握离差平方和、方差计算公式，方差越小数据越稳定，可用于判断数据波动大小。 6. 掌握用样本估计总体的思想，利用样本的集中趋势、波动特征推断总体对应统计特征。 复习重难点 重点：熟练计算各类统计量，读懂箱线图，利用方差判断波动，能用样本合理推断总体。 难点：准确求解四分位数，区分各统计量适用场景，结合数据特征科学分析推断总体。 知识点 平均数与加权平均数 算术平均数 一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”. 1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可； 2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”； 3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致； 4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系； 5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平； 6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）. 平均数的简化公式 一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数. 加权平均数 1.权的概念 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 2.加权平均数的计算公式 （1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数. （2）数据按的比计算平均数，则 （3）设数据所占的百分比分别为，且，则. 要点速测 1．已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 2．某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求解． 【详解】解：（分）， 则该同学的平均成绩为分． 知识点 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 要点速测 3．一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查中位数的定义，偶数个数据的中位数是按大小排序后中间两个数的平均数，据此列方程即可求解. 【详解】解：这组数据共有个数，个数为偶数， 中位数是从小到大排序后，第个与第个数的平均数， 即和的平均数. 中位数为， . 解得. 4．某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数如下：，，，．若这组数据的唯一众数和平均数相等，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了众数，平均数的相关知识，掌握众数，平均数的定义是解题的关键． 根据这组数据的唯一众数和平均数相等，列出方程，然后求出的值即可． 【详解】解：∵这组数据的唯一众数和平均数相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 要点速测 5．某工厂甲车间近十天生产零件的数量（单位：个）为：20，22，25，28，30，32，35，38，40，42，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】38 【分析】数据已按从小到大排序，先计算上四分位数的位置，再根据位置规则确定结果．或者先求中位数，再求后半部分数的中位数． 【详解】解：这组数据已经按从小到大排序， 总个数， 方法一：计算上四分位数位置得 ， 不是整数，向上取整后，上四分位数为第个数据， 第个数据为， 这组数据的上四分位数是． 方法二：中位数为第5个数据与第6个数据的平均值，即； 后五个数32，35，38，40，42再取中位数为第3个数据，即． 6．学校选拔选手参加市级无人机障碍竞速赛，小明在最近的次选拔赛中，记录每轮完成赛道的用时（单位：秒），如下，，，，，，，，，，根据数据绘制如下箱线图，请根据箱线图写出这组数据的下四分位数：_______． 【答案】 【分析】根据箱线图的结构提取下四分位数即可． 【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为． 知识点 方差与标准差 方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 要点速测 7．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，根据方差及平均数计算公式解答即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8， ， 故选C． 8．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】四人平均成绩相同，无需比较平均水平，仅需比较方差大小确定人选． 【详解】解：∵四人平均成绩均为92.6分，，，，． ∴． ∴乙的成绩最稳定，适合参赛． 知识点 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 要点速测 9．已知一组数据的方差为2，则其离差平方和是_____． 【答案】16 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，对公式变形即可求出离差平方和． 【详解】解：设该组数据的离差平方和为，数据个数，方差， 根据方差的定义可得 ， 变形得 ． 10．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 知识点 用样本推断总体 用样本推断总体是统计的核心思想，核心是通过抽取部分样本的数据，估计整体总体的特征，适用于总体数量大、无法全面调查的情况。常用调查方式为抽样调查，要求样本具备随机性、广泛性和代表性，避免人为偏差。 主要应用：利用样本的平均数、中位数、众数、方差，估计总体的集中趋势和波动程度。样本容量越大，样本数据越接近总体真实情况，估计结果越准确。 常见易错点：样本选取片面不随机、容量过小导致误差大；混淆样本、总体、个体、样本容量概念；误将样本结果当作总体绝对结果，忽略统计估计存在误差。 要点速测 11．某校七年级有400名学生，随机抽取40名学生进行视力调查，其中近视的有12人．估计该校七年级近视的学生人数约为（     ）． A．120人 B．100人 C．80人 D．60人 【答案】A 【分析】利用样本近视人数占比估算总体近视人数即可． 【详解】解：（人）， 即该校七年级近视的学生人数约为120人． 12．为了估计池塘中有多少条鱼．先从池塘中捕捞条鱼作记号，然后放回池塘里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共条，有条带记号，则估计整个池塘有鱼______条． 【答案】/ 【详解】解：∵先从池塘中捕捞条鱼作记号，然后放回池塘里，第二次捕鱼共条，有条带记号， ∴估计整个池塘有鱼． 题型1 求一组数的平均数 ▌例1已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【答案】7 【分析】先根据平均数的定义求出原数据的总和，再整理得到新数据的总和，最后根据平均数定义计算新数据的平均数． 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为． 解题要点 计算平均数先分清算术平均数与加权平均数，找准数据与对应权重。算术平均数所有数据求和除以数据总个数；加权平均数要按权重计算总和再除以权重和。审题看清权重形式，避免漏数据、错代权重，计算后可结合数据大致范围检验结果是否合理。 ▌迁移练1-1有一组数分别为、、、、、、，它们的平均数是________． 【答案】1 【分析】根据平均数的定义，计算这组数的总和后除以数据的总个数即可得到结果． 【详解】解：这组数一共有个，先计算所有数的和：， 平均数等于总和除以数据个数，因此可得：平均数． ▌迁移练1-2校园举行“一二・九”朗诵比赛，选手的最后得分是五位评委打分的平均数．七年一班选派小轩、小宇两位同学参加比赛，五位评委给小轩的打分依次是：分，分，分，分，分；给小宇的五个打分中，有三个均比小轩的多分，有两个均比小轩的少分，小轩最后得分是___________分，小宇最后得分是___________分． 【答案】 【分析】先根据平均数的计算方法求出小轩的最后得分，再根据小宇分数与小轩分数的变化关系，计算得到小宇的最后得分． 【详解】解：小轩的总得分为（分）， 则小轩的最后得分为（分）， ∵给小宇的打分中，三个比小轩对应分数多分，两个比小轩对应分数少分， ∴小宇的总得分比小轩多分， ∴小宇的总得分为（分）， ∴小宇的最后得分为（分）． ▌迁移练1-3每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 题型2 平均数的相关计算及决策 ▌例2如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． 【答案】7 【详解】解：由题意得：， 解得：． ▌迁移练2-1在1，6，4，，2中，平均数是3，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，求代数式的值，先根据平均数公式计算得出，再代入计算即可得出答案，熟练掌握平均数计算公式是解此题的关键． 【详解】解：在1，6，4，，2中，平均数是3， ， 解得：， ， 故选：B． ▌迁移练2-2已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求出原数据的总和，再根据平均数的定义计算新数据的平均数． 【详解】解：数据，，的平均数是 由平均数的定义得 ， ， 则新数据，，的平均数为． ▌迁移练2-3已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求出，再利用平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，的平均数是6， ∴， ∴， ∴ 即另一组数据，，，的平均数为． 题型3 求加权平均数 ▌例3一位求职者参加某公司的招聘，笔试和面试的成绩分别是90和86，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，则此次招聘中面试的权重为________． 【答案】 【分析】设面试权重为未知数，根据加权平均数的计算方法列方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设面试的权重为，则笔试的权重为， 根据题意可得： 展开整理得： 解得： ∴此次招聘中面试的权重为（或）． 解题要点 解题要分清各数据及其对应权重，权重可以是频数、比例或百分比。用每个数据乘对应权重再求和，再除以权重总和。若权重为百分数，权重之和应为 100%，仔细核对数据不要遗漏，算出结果结合数据区间检验，避免混淆算术平均数与加权平均数。 ▌迁移练3-1为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1) 解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵， ∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵， ∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练3-2一个小组的同学在一次测试中的得分情况为：人得分、人得分，人得分，人得分．这个小组的平均成绩是___________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算规则，用所有人的总得分除以总人数即可得到平均成绩. 【详解】解：这个小组的平均成绩为分. ▌迁移练3-3锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 题型4 加权平均数的相关计算及决策 ▌例4校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【分析】通过设未知数，根据总分列出方程，求出两项的权重，比较权重大小即可得到结论． 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． ▌迁移练4-1已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【答案】175 【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm； 设30名男生的平均身高为acm， 则有：=168， 解得a=175（cm）． 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确． ▌迁移练4-2某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据加权平均数公式分别计算甲、乙的综合成绩，比较两人综合成绩的大小，即可得出应录取的人员． 【详解】解：甲的综合成绩为：， 乙的综合成绩为：， ∵， ∴ 甲的综合成绩更高，应该录取甲． ▌迁移练4-3某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且依次按，，的占比计入最终成绩．已知决赛中甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，乙的上述三项成绩（百分制）依次是80分，90分，85分．最终成绩较高者获得冠军，则甲、乙两人谁会获得冠军？ 【答案】乙获得冠军 【分析】根据三项成绩的占比，分别计算甲、乙的最终加权平均成绩，比较两人成绩大小，即可得出结论． 【详解】解：甲的最终成绩：（分）； 乙的最终成绩：（分）； ， 乙的最终成绩更高， 答：乙会获得冠军． 题型5 求中位数与众数 ▌例5在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/m 人数 1 4 5 2 2 1 分别求这些运动员成绩的平均数（结果保留小数点后两位）、中位数、众数． 【答案】平均数约为，中位数为，众数为． 【详解】解：； 一共15个数据，中位数是把成绩从小到大排列后，第8个数据， 则中位数为， 出现的次数最多，共5次，众数为． 解题要点 求中位数必须先将数据从小到大排序，数据奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均数。众数是出现次数最多的数据，一组数据众数可能不止一个。注意众数是原始数据，不是出现次数，审题仔细，排序不要出错，结合题意选择合适统计量分析。 ▌迁移练5-1某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． 【答案】 7 【分析】根据平均数求出的值，再将数据排序后根据中位数定义计算结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数为7，共7个数据， ∴这组数据的总和为 ， 已知6个数据的和为 ， 计算得 ， 将这组数据从小到大排列为：，7个数据的中位数为排序后的第4个数， 因此这组数据的中位数是7． ▌迁移练5-2已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据的值，再根据众数的定义得到结果． 【详解】解：∵这组数据，，，，的平均数是， ∴， 整理得， 解得， ∴这组数据为，，，，， 其中出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． ▌迁移练5-3某班50名学生身高测量结果如下表 身高 1.51 1.52 1.53 1.54 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.64 人数 1 1 3 4 4 4 6 8 10 9 该班学生身高的众数和中位数分别是（     ） A．1.59，1.58 B．1.60，1.59 C．1.60，1.58 D．1.60，1.60 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数的定义，根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果．. 【详解】∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中身高对应人数为10，是所有身高中对应人数最多的， ∴众数为1.60； ∵共有50个数据，中位数是从小到大排序后第25个和第26个数据的平均数， 累计人数可得：，即到身高1.58m为止共包含23个数据，接下来从第24个到第31个数据都是， ∴第25个和第26个数据都是，中位数为， 因此该班学生身高的众数是1.60，中位数是1.59． 题型6 中位数与众数的相关计算及决策 ▌例6一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】添加数据后数据个数变为偶数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，利用该性质计算即可． 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． ▌迁移练6-1从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查中位数与众数的定义，先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义得到最终结果． 【详解】解：∵这组数据共个数，个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数， ∴中位数等于排序后第个数与第个数的平均数， 已知中位数为，可得第个数与第个数的和为， 这组数据中位于中间的两个数一定为和， ∴ ， 解得， ∴这组数据为， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为，故选C． ▌迁移练6-2学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． 【答案】 【分析】本题先根据众数的定义分情况讨论众数的可能取值，再利用众数与平均数相等求出的值，最后根据中位数的定义计算得到结果． 【详解】解：已知这组数据为，，，． 分情况讨论： ①若众数为，由题意得平均数等于， 可得 解得， 将数据从小到大排序为，，，， 根据中位数的定义，中位数为中间两个数的平均数，即； ②若众数为，则， 此时这组数据为，，，，众数为和，平均数为， 不满足众数与平均数相等，故此情况不成立． ③若为其他值，则众数唯一为，但平均数不等于10，不满足题意，故此情况不成立． 综上，中位数为． ▌迁移练6-3有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 【答案】A 【分析】根据数据从小到大排列确定的取值范围，再结合中位数、众数、平均数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵这组数据从小到大排列为，，，， ∴，这组数据共个数，中位数是排序后第个数， ∴中位数为 A、这组数据的平均数为，，，即平均数一定比中位数大，故此选项正确； B、中位数可以确定为，故此选项错误 ； C、当时，这组数据为，众数为和，故此选项错误 ； D、若平均数为，则数据总和为，计算得，与矛盾，因此平均数不可能是，故此选项错误． 题型7 求四分位数 ▌例7按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 【答案】或 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 根据第三四分位数的不同计算规则，分别计算即可得到结果． 【详解】解：已知从小到大排序的数据共个， 方法一： 计算第三四分位数的位置为， 不是整数，将向上取整得， 这组数据的第三四分位数为排序后第个数据，即； 方法二： 第三四分位数为数据后四分之一部分的中位数，个数据的后四个数据为，，，， 第三四分位数为． 解题要点 计算四分位数首先把数据从小到大排序，确定数据总个数。先找出中位数即第二四分位数，再分别求下半部分、上半部分数据的中位数得到 Q1、Q3。注意不同算法取值略有差异，分清四分位数是数据值，不是序号，避免直接拿位置序号当作结果。 ▌迁移练7-1某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的中位数是70； ③这个月空气质量指数在40至80之间的占数据总数的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】根据箱线图读取最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数及最大值，结合箱线图的统计意义逐一判断． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的最小值为，第一四分位数为，中位数为，第三四分位数为，最大值为． 对于①，观察图形最右端的数据，最大值为，故①正确； 对于②，观察图形箱体中间的竖线，中位数为，不是，故错误； 对于③，数据在至之间，即从第一四分位数到第三四分位数，根据箱线图的性质，这部分数据占总数据的，即一半，故③正确． 综上所述，正确的结论是①③． ▌迁移练7-2八年级两个班男生的身高（单位：）分别如下： 甲班 164，171，163，158，167，175，169，181，168，176，175，162 166，165，172，169，171，168，174，170 乙班 172，170，163，161，179，160，176，174，170，178，183，166 168，167，180，171，168，172 请结合男生身高的四分位数和箱线图比较这两个班级男生的身高差异． 【答案】1． 两班男生身高的五数概括（单位：）： 甲班：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值． 乙班：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值． 2． 箱线图特征： 甲班箱体范围为，中线对应，须线范围为； 乙班箱体范围为，中线对应，须线范围为． 3． 身高差异比较： 整体水平：乙班的下四分位数、中位数、上四分位数均高于甲班， 说明乙班男生身高的整体水平更高． 离散程度：甲班四分位距为，小于乙班的， 说明甲班中间男生的身高更集中； 两班极差均为，整体身高的波动范围相近． 箱线图直观显示乙班箱体位置更靠上，多数乙班男生身高高于甲班； 乙班箱体更长，其中间段身高的离散程度更大． 【分析】将甲、乙两班数据从小到大排列，计算两班身高的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，再根据箱线图特征，对比数据的集中趋势和离散程度进行判断即可． 【详解】解：甲班：将数据从小到大排列为158，162，163，164，165，166，167，168， 168，169，169，170，171，171，172，174，175，175，176，181． 第5个数与第6个数的平均数是下四分位数； 第10个数与第11个数的平均数是中位数； 第15个数与第16个数的平均数是上四分位数； 乙班：将数据从小到大排列为160，161，163，166，167，168，168，170，170，171，172，172，174，176，178，179，180，183． 第5个数167是下四分位数； 第9个数与第10个数的平均数是中位数； 第14个数176是上四分位数； 画箱线图如图： 差异：乙班男生身高的中位数略高于甲班，甲班的最小身高低于乙班的最小身高， 甲班的最大身高也低于乙班的最大身高，甲班男生身高分布更为集中． ▌迁移练7-3在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．班和班均有学生的测量值超过了理论值 B．班的测量值比班的测量值波动更大 C．班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D．班的平均测量值比班的平均测量值更高 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，两班最大测量数据都超过理论重力，故本选项正确，不符合题意； B选项：A班的测量值箱体比B班的测量值的箱体更大，所以A班的测量值比B班的测量值波动更大，故本选项正确，不符合题意； C选项：A班的上四分位数与B班的中位数相同都是，故本选项正确，不符合题意； D选项：仅通过箱线图的上四分位数、下四分位数、中位数的大小关系无法直接推断两组数据平均值的大小关系，故此选项错误，符合题意． 题型8 画箱线图 ▌例8甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次）如下： 甲组：182，194，143，185，156； 乙组：199，148，242，170，141． 计算每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点． 【答案】解法一：甲组四分位数：，，；乙组四分位数：，，； 解法二：甲组四分位数：，，；乙组四分位数：，，； 按解法一画出两组数据的箱线图如下： 甲组中等跳绳成绩优于乙组，成绩更稳定；乙组成绩波动大，存在个别顶尖高成绩． 【分析】先将两组数据从小到大排序，根据四分位数的位置计算方法求出两组的四分位数，再结合四分位数、最值分析两组成绩的特点，用到四分位数计算和统计分析的基础方法． 【详解】解：解法一：将甲组数据从小到大排序得：，，，，，数据个数为， 计算四分位数位置，得下四分位数位置，上四分位数位置 ，甲组四分位数： ，， ； 将乙组数据从小到大排序得：，，，，，数据个数为， 得下四分位数位置，上四分位数位置 ，乙组四分位数； 解法二：将甲组数据从小到大排序得：，，，，，则； 将乙组数据从小到大排序得：，，，，，则； 根据以上结果结合最值绘制箱线图（图略）； 比较成绩得： 甲组中位数大于乙组，说明甲组的中等水平跳绳成绩比乙组好， 甲组四分位距为，乙组四分位距为，乙组极差远大于甲组，说明乙组成绩波动更大，甲组成绩更稳定， 乙组最大值远高于甲组，说明乙组存在个别跳绳成绩非常优秀的学生． 解题要点 绘制箱线图先求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值五个关键数值。在数轴上标出对应点位，画出箱体与 whisker（须）。箱体两端对应 Q1、Q3，内部标出中位数，线段连接最值。刻度要合理，绘图规范，注意异常值单独标记，核对五个统计量，防止数值抄写错误。 ▌迁移练8-1一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 12，10，3，9，10，12，2，6，14 (1)计算汽车销售数量的四分位数； (2)画箱线图并分析汽车销售数量的特点． 【答案】(1) ，，或，， (2) 箱线图如图： 或 一半销售人员月销量不低于辆；部分销售人员销量偏低，多数人销量集中在较高水平 【分析】先将所有销售数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则得到三个四分位数，再依据四分位数绘制箱线图，最后根据箱线图特征分析销售数据的特点． 【详解】（1）解：解法一：将原数据从小到大排序得：，，，，，，，，，数据总数 ， 最小值为，最大值为，中位数为，即， ，； 解法二：将原数据从小到大排序得：，，，，，，，，，数据总数 ，最小值为，最大值为， ，，， 第一四分位数为第个数，即；中位数为第个数，即；第三四分位数为第个数，即； （2）略 ▌迁移练8-2一家公司员工的月收入如下表所示． 月收入／元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 (1)计算这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数； (2)计算这家公司员工月收入的四分位数，并画出箱线图． 【答案】(1)平均数为元，中位数为元，众数为元 (2)方法一：下四分位数为元，中位数为元，上四分位数为元； 方法二：下四分位数为元，中位数为元，上四分位数为元； 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）先求出员工收入的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，再画出箱线图即可． 【详解】（1）解：这家公司员工月收入的平均数为（元）， 将这家公司员工月收入按照从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，处于中间位置的为，故中位数为元， 将这家公司员工月收入中出现的次数最多，故众数为元 （2）解：将这家公司员工月收入按照从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，处于中间位置的为，故中位数为元， 方法一：员工收入的最小值为， 下四分位的位置为，故下四分位数为排序后的第个数据，为元， 中位数元， 上四分位数的位置为，故上四分位数为排序后的第个数据，为元， 最大值元， 图略； 方法二：上四分位数为后半部分，，，，，，，，，，，的中位数，即元， 中位数元， 下四分位数为前半部分，，，，，，，，，，，的中位数，即元， 图略． ▌迁移练8-3甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)70，90，96 (2)甲组的箱线图如下： (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于90分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （2）先求得甲组数据中，最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， 则甲组前半部分有5个数据，则下四分位数是70； 甲组数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，则中位数为， 甲组的后半部分有5个数据，则上四分位数是96； 解法二：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， ∵，，， ∴，，； （2）略 （3）略 题型9 求方差 ▌例9若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当数据中每个数变为原数的倍再加时，新平均数为乘原平均数加，新方差为乘原方差，利用规律直接计算即可. 【详解】解：∵原数据的平均数为，方差为， ∴新数据的平均数为； 新数据的方差为. 解题要点 计算方差先求出这组数据的平均数，再求出每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和，再除以数据总个数。方差反映数据波动大小，方差越大波动越大。计算时注意符号处理，平方后均为正数，仔细运算，不要混淆方差与离差平方和的计算公式。 ▌迁移练9-1已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】从方差计算式中提取原始数据，再计算各统计量判断正误. 【详解】解：A、由方差公式得这组数据为. 将数据从小到大排列为， ∵共5个数据，第3个数据为3， ∴中位数是3； 故A、正确． B、， 故B正确． C、∵3出现的次数最多，共2次， ∴众数是3； 故C正确． D、， 故D错误． ▌迁移练9-2某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的定义计算结果． 【详解】解：首先整理六天的最高气温数据：，，，，，，共个数据， 计算这组数据的平均数：， 根据方差的定义，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入计算得： ． ▌迁移练9-3某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机捕捞了20条这种鱼，称得它们的质量 （单位：）如下：                                       估计水库中这种鱼质量的平均数和方差 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 估计水库中这种鱼质量的平均数约为，方差约为. 【分析】求出这20条鱼的质量的平均数和方差，估计水库中这种鱼的质量的平均数和方差即可. 【详解】解：这20条鱼的质量的平均数为 方差为； 故估计水库中这种鱼质量的平均数约为，方差约为. 题型10 方差相关的计算及决策 ▌例10已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． ▌迁移练10-1老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8， ∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多， ∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得， ∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． ▌迁移练10-2【数据收集】 某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 (2)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)7.5；10； (2)解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的成绩波动小，更加稳定． 【分析】（1）根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解即可， （2）根据中位数、方差的含义进行决策即可． 【详解】（1）解法一：∵选手的数据从小到大排列为， ∴， ∵选手B的数据从小到大排列为， ∴， 解法二：∵选手的数据从小到大排列为，， ∴， ∵选手B的数据从小到大排列为，， ∴， ∴选手A射击成绩的中位数选手B射击成绩的中位数. （2）略 ▌迁移练10-3射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)，， (2)乙成绩变化情况的折线统计图如下： (3)变小 (4)解∵两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小， ∴甲的成绩较稳定， ∴选择甲参加射击比赛． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据（1）中结果，画出乙成绩变化情况的折线统计图即可； （3）根据乙的次成绩，求出次成绩的方差，与原方差比较即可得出答案； （4）根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定解答即可． 【详解】（1）解：∵乙的次成绩为，，，，， ∴乙的次成绩的平均数； ∵甲的次成绩为，，，，，其中数据出现的次数最多， ∴甲的成绩的众数； 把乙的次成绩从低到高排列为，，，，， ∵最中间的数据为， ∴乙的次成绩的中位数． （2）解：由（1）可知，，， 乙成绩变化情况的折线如下：略 （3）解：∵乙的第次命中的成绩是环，， ∴次成绩的平均数为， ∴次成绩的方差为， ∵， ∴选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小． （4）解：略 题型11 离差平方和及其应用 ▌例11已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】10 【分析】根据方差公式，方差等于离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可直接计算得结果． 【详解】解：∵这组数据共有个，方差为，方差等于离差平方和除以数据个数， ∴离差平方和． 解题要点 先计算数据组的平均数，再求每个数据与平均数差值的平方，全部相加得到离差平方和。它体现数据整体波动程度，是计算方差的基础。注意区分离差平方和与方差，前者不除以数据个数，计算避免符号出错，可结合实际情境对比多组数据离散情况。 ▌迁移练11-1在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 【答案】将5个引体向上个数分为两组，一组为7，9；另一组为12，13，15． 【分析】若一组数据的平均数为，则离差平方和为，据此分别计算每种分组的总组内离差平方和，总离差平方和为两组内各数据与本组平均数差的平方和相加，总离差平方和最小的分组即为正确答案． 【详解】解：数据排序为7，9，12，13，15， 分组列表如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 两组总和 第1个间隔： 0 第2个间隔： 2 第3个间隔： 2 第4个间隔： 0 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此将5个引体向上个数分为两组，一组为7，9；另一组为12，13，15． ▌迁移练11-2在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（     ） A．第1个间隔 B．第2个间隔 C．第3个间隔 D．第4个间隔 【答案】C 【分析】先将数据从小到大排序，补全各间隔的组内离差平方和，比较大小后取最小值对应的间隔． 【详解】解：将数据从小到大排序得，，，，， 第1个间隔组内离差平方和为， 第2个间隔：第一组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第3个间隔：第二组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第4个间隔：组内离差平方和为； 比较得， 故答案为第3个间隔． ▌迁移练11-3已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 题型12 用样本推断总体的数量 ▌例12某区积极开展“阳光体育大课间”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据学校实际情况，决定主要开设羽毛球、跳绳、踢毽子三种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了n名学生进行调查（每名同学只选择一种体育项目），并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合上述信息解答下列问题： (1)求n的值． (2)请把条形统计图补充完整． (3)已知该校有1600人，请你根据统计图中的资料估计全校最喜欢踢毽子的人数． 【答案】(1)80 (2)条形统计图补充完整如图所示： (3)估计全校最喜欢踢毽子的大约有720人 【分析】（1）根据喜欢“羽毛球”的人数及其所占百分比求解即可； （2）用调查人数减去已知人数求得喜欢“跳绳”人数即可补充条形统计图； （3）由该校总人数乘以样本中喜欢“踢毽子”所占比例即可求解． 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：由题意，喜欢“跳绳”的人数为（人）， 图略； （3）解：（人）， 答：估计全校最喜欢踢毽子的大约有720人． ▌迁移练12-1为了解即将升入初中的学生对教师和家长的需求，学校对六年级全体学生进行了问卷调查，所有被调查的学生均对两道题目进行了回答，调查问卷和调查结果如下． 调查问卷将选项前面的字母填在括号里．（单选题） 第1题：最希望得到老师（     ）方面的帮助． A．学习方法    B．人际关系    C．兴趣发展    D．情绪调节 第2题：最希望得到家长（     ）方面的帮助． A．学习方法    B．人际关系    C．兴趣发展    D．情绪调节    (1)这所学校六年级共有学生________人． (2)将上面条形统计图和扇形统计图补充完整． (3)根据上面第1题的调查结果，绘制成扇形统计图，应该选________．    (4)该校要为六年级学生组织一次讲座，根据以上信息，如果要满足更多同学的需求，讲座主题应该选择哪方面的内容？ 【答案】(1)860 (2) (3)乙 (4)讲座主题应该选择老师如何提升学生学习方法、家长如何对学生开展情绪调节两方面的内容 【分析】（1）利用条形统计图中调查问卷第2题的“学习方法”选项的人数除以扇形统计图中“学习方法”选项的人数的占比即可求出六年级总学生数； （2）六年级总学生数减去条形统计图中调查问卷第2题的“学习方法”“兴趣发展”“情绪调节”选项的人数即可得到“人际关系”选项的人数，进而补充条形统计图；分别用条形统计图中调查问卷第2题的“人际关系”“情绪调节”选项的人数除以六年级学生总人数，即可求出相应选项的占比，进而补全扇形统计图； （3）在扇形统计图中，计算出第1题的调查结果中“学习方法”选项的人数所占部分的圆心角大小，即可判断； （4）根据两题调查结果中，各选项中的占比最大的那一项即是学生所需求的，据此主题办讲座即可． 【详解】（1）解：（人）； （2）解：（人）， 即：调查问卷第2题中“人际关系”选项的人数为129人； ，， 补全图形见答案． （3）解：，即第1题的调查结果中“学习方法”选项的人数所占部分的圆心角大于， 结合甲乙两个扇形统计图的形状，应选乙； （4）调查问卷中，第1题中，选择“学习方法”的人数远大于选择其他选项的学生人数；第2题中，选择“情绪调节”的人数远大于选择其他选项的学生人数， 因此学校要满足更多同学的需求，讲座主题应该选择老师如何提升学生学习方法、家长如何对学生开展情绪调节两方面的内容． ▌迁移练12-2某校分别从七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们一周的运动时间．运动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）；将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生上周运动时间从高到低排列、排在最后的个数据分别是，，，，，，，，， 八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表 分组 A B C D E 频数 七、八年级各100名学生一周运动时间的统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 请你根据以上信息，回答下列问题： (1) ， ， ； (2)根据以上数据分析、你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于分钟的学生一共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)解：八年级运动情况更好，理由：七、八年级平均数相同，八年级众数大于七年级众数，八年级中位数大于七年级中位数，所以八年级整体运动时间更高；（答案不唯一） (3)人 【详解】（1）解：扇形统计图圆心角总和为，组圆心角，B组占比：， ∴， ， ∵样本一共 个数据， ∴中位数是从大到小排列后第 、个数据的平均数；、累计个数据，说明第、个数据落在 组； 组从高到低排，第 位：；第 位：， ∴； （2）略； （3）解：七年级运动不低于分钟的学生人数约为（人） 八年级运动不低于分钟的学生人数约为（人） （人） 答：七、八年级运动不低于分钟的学生人数估计为人． ▌迁移练12-3随着信息化脚步的加快，电子产品在学生群体中使用越来越普遍，青少年视力健康受到较大影响．某校对全体学生的视力情况开展了调查统计，为了解九年级学生的视力情况，男女生各随机抽取了20名学生的视力数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的女生视力数据如下： 4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2； b．将抽取的男生视力数据进行整理，分为九组（用表示视力情况），分别为，，，，，，，，，得到了男生的视力情况直方图如下； c．抽取的男生、女生的视力情况箱线图如下（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的女生视力的众数是________，第二四分位数________，第三四分位数________；在抽取的男生、女生的视力情况箱线图中绘制女生的视力情况箱线图，并标注数据； (2)如果被抽取的一名学生的视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平，则这名学生是________生（男或女）； (3)小帆观察发现抽取的男生与女生视力的第一四分位数都是4.3，他判断抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数一样多．你认为小帆的判断是否正确，并说明理由． ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ (4)已知该校九年级男生共240人，女生共220人，估计该校视力在5.0及以上的九年级学生共有多少人？ 【答案】(1)4.2、4.4；4.5；4.85；绘制女生的视力情况箱线图如下： (2)男 (3)解：小帆的判断不正确，理由如下： ∵由女生视力数据可得，女生视力低于4.3的人数是4人，由男生视力情况直方图可得，有1人，有2人，有2人，若的两人视力均为4.2，则男生视力低于4.3的人数为5人，若的两人视力分别为4.2，4.3，则男生视力低于4.3的人数为4人，若的两人视力均为4.3，则男生视力低于4.3的人数为3人， ∴抽取的男生与女生的视力低于4.3的人数不一定一样多． (4)估计该校视力在5.0及以上的九年级学生约有105人 【分析】（1）由出现次数最多的数据即可确定众数，根据第二、第三四分位数的计算方法即可求解，确定数据的最大值，最小值，第一分位数，即可绘制出女生的视力情况箱线图； （2）根据视力4.6高于女生视力情况的中位数，低于男生视力情况的中位数，即可判断； （3）由女生视力数据可得，女生视力低于4.3的人数是4人，由男生视力情况直方图无法确定男生视力低于4.3的人数，即可得小帆的判断不正确； （4）根据抽取的男女生的视力数据可得男女生视力在5.0及以上的人数比例，即可求解． 【详解】（1）解：由女生视力数据可得，4.2，4.4均出现了3次，则众数为4.2、4.4． 第二四分位数即中位数，取第10个和第11个数的平均数，即； 第三四分位数： 解法一：女生视力数据后10个为：4.5，4.6，4.7，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.2， 取第5个和第6个数的平均数，即． 解法二：∵， ∴取第15个和第16个数的平均数，即． 由女生视力数据可得，最小值为4.1，最大值为5.2， 第一四分位数： 解法一：女生视力数据前10个为：4.1，4.2，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5， 取第5个和第6个数的平均数，即． 解法二：∵， ∴取第5个和第6个数的平均数，即． 绘制女生的视力情况箱线图略． （2）解：∵女生视力的中位数， ∴视力4.6在女生中是中等偏上的水平， ∵男生视力的中位数， ∴视力4.6在男生中是中等偏下的水平， ∵被抽取的学生视力是4.6，且此视力处于中等偏下的水平， ∴这名学生是男生． （3）略 （4）解：． 答：估计该校视力在5.0及以上的九年级学生约有105人． 难点一 四分位数与箱线图 难点精练 1．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3) 第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 2．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【分析】（1）把八年级成绩按照从小到大排列，求其下四分位数即可； （2）从集中趋势或离散程度比较两个年级成绩，说法合理即可； （3）①设一次函数关系为，因为当时，；当时，代入即可求得解析式； ②由题意，米接力成绩y秒四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间，据此列出关系式即可； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，九（3）班的交接棒训练时长为小时，设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒，设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒，由①②可知：，，因为九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒，即，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 【点睛】本题考查箱线图，下四分位数数，用统计量进行判断，一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 难点二 数据分析与统计解答题 难点精练 3．某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______； (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 【答案】(1)8；8.35 (2)二 (3)19 【分析】（1）根据众数和平均数的定义解答即可； （2）比较方差大小即可； （3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可． 【详解】（1）解：一班和二班各40名学生， 一班得分为8分的人数为； 二班得分为8分的人数为； 一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， ； 二班的平均分（分）； （2）解：， 一班成绩的方差大于二班成绩的方差， 二班的成绩比较整齐． （3）解：由题意知一班总人数为40， 中位数为8.5分，众数为9分， 将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后， 第21，20（或20，21）名同学的成绩只能为8分和9分， 评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20， 又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多， 评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10， 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人． 4．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【详解】（1）解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； （2）解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 5．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4) 解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）略 基础达标 1．某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．2 B．24 C．15 D．16 【答案】C 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 2．当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数为排列后中间两个数的平均数，据此求解即可． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，． ∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数是排序后第个和第个数据的平均数， ∴这组数据的中位数为． 3．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 【答案】C 【分析】本题考查平均数与方差的计算性质，当一组数据中每个数据同时加上同一个常数时，新数据的平均数等于原平均数加上该常数，方差不变，通过直接计算可验证结果． 【详解】解：∵的平均数为， ∴，可得， 新数据的平均数， ∵原方差， 新数据的方差， 化简得， 因此新数据的平均数为，方差为． 4．2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（     ） A．27分 B．9.3分 C．9分 D．8.7分 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三项得分的权重比，代入加权平均数公式即可求出总成绩． 【详解】∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 5．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 6．某公司在对员工进行招聘时，从员工的专业知识、应变能力和工作能力三方面进行考核，各项均按百分制计算．以下是小王的各项成绩（单位：分）： 测试项 专业知识 应变能力 工作能力 成绩 80 85 90 若按照专业知识占，应变能力占，工作能力占的比例计算考核总成绩，则小王的考核总成绩为__________分． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义. 将每一项成绩乘以对应的权重，再将结果相加即可． 【详解】解：小王的考核总成绩为： （分）． 7．某校七年级“数学节”活动设计了A，B，C，D四款徽章，为了解学生对徽章的喜爱情况，老师随机抽取了20名学生，请他们从中选出最喜爱的一款徽章，结果如下：D A A C C B C B B D D D C C B C A C D A，那么这些学生中，最喜爱款徽章的学生所占百分比为__________． 【答案】 【分析】先得到最喜爱B款徽章的学生人数，再除以随机抽取的20名学生，即可解答． 【详解】解：根据给出的数据，数出最喜爱款徽章的学生有名，抽取的总学生数为名， 因此最喜爱款徽章的学生所占百分比为． 8．某校的射击社团经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学，代表社团参加延庆区“青少年射击比赛”．该社团组织四人进行比赛，这四名同学10次射击成绩（单位：环）的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 96 96 方差 1.2 0.6 0.2 0.7 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，则应该选择________． 【答案】 丙 【分析】要选择成绩好且状态稳定的同学参赛，需先通过平均数判断成绩高低，平均数越大成绩越好，再通过方差判断稳定性，方差越小状态越稳定，据此筛选即可． 【详解】首先比较四名同学射击成绩的平均数，甲、乙平均数为92，丙、丁平均数为96，由，可知丙、丁的成绩优于甲、乙，排除甲、乙， 再比较丙、丁的方差，丙的方差为0.2，丁的方差为0.7，由，根据方差的意义，方差越小，成绩波动越小，状态越稳定，可知丙的状态比丁更稳定， 因此丙成绩好且状态稳定． 9．某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分（每项满分均为10分），再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级（5）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则八年级（5）班的最终成绩为________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的定义，将音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项的得分分别乘以其对应的权重百分比，再将所得的积相加，即可求得最终成绩． 【详解】解： （分）． 10．为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 【答案】名 【分析】先计算样本中跳绳次数在范围的频数，再计算该范围对应频率，最后用全年级女生总人数乘以样本频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由频数分布表可得，样本中跳绳次数在范围的频数为， 根据用样本估计总体的方法，估计全年级该范围的女生人数为：（名）． 11．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是． 绘制箱线图如图． (2) 从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． （2）略 12．一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】(1)165；； (2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 13．【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【分析】本题考查折线图及数据分析，从折线图上获得信息是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 14．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 【答案】(1) (2)甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种 (3)株数约625株 【分析】本题考查的是数据的整理，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据甲、乙种稻高的表格，即可直接得到、的值，以及甲种水稻的中位数，乙种水稻的众数； （2）根据方差的意义作出判断； （3）根据频数分布直方图得到乙种稻高在的占比，再利用总数乘以其占比，即可解题． 【详解】（1）解：由表可知：甲种稻高在的有，故； 甲种稻高在的有，故； 将甲种稻高从小到大排列得，故中位数为； 乙种稻高最多，为5次，故乙种水稻的众数是； （2）解：∵甲种水稻高的方差大于乙种水稻高的方差， ∴甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种； （3）解：由频数分布直方图可知，随机抽取株乙种水稻中，稻高在的有株， ∴若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株， 估计稻高在（单位：）的株数约为（株）． 15．某校为了解初一年级男生长跑成绩与肺活量的情况，随机从该校初一年级抽取了100名男生，收集了这100名男生的长跑成绩与肺活量检测值，将这100名男生按长跑成绩分为达到合格标准和未达到合格标准两组，分别对这两组男生的肺活量检测值进行整理和描述．下面给出了部分信息． ．将初一年级男生肺活量（单位：）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：） 等级 一 二 三 四 五 六 ．长跑成绩达到合格标准组有名男生，其肺活量检测值的频数分布直方图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）如图1； ．长跑成绩未达到合格标准组有名男生，其肺活量等级的扇形统计图如图2； 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为 ，的值为 ； (2)长跑成绩未达到合格标准组中，肺活量等级为四级的有 人； (3)若这所学校初一年级男生共有300人，根据以上调查结果，估计这所学校初一年级男生肺活量不小于的人数． 【答案】(1)60；40 (2)4 (3)123 【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图以及用样本估计总体： （1）根据频数分布直方图的数据即可求的值，100名减去达到合格标准的人数即可求； （2）根据的值和肺活量等级为四级的百分比即可得到结果； （3）根据样本估计总体即可得到结果． 【详解】（1）解：， ． （2）解：（人）．　 （3）解：（人）． 答：估计这所学校初一年级男生肺活量不小于的人数为123人． 能力进阶 16．甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（     ） A．甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B．甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C．甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D．甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 【答案】C 【详解】解：A、由图可得，甲地的下限低于乙地，即甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值，故A不符合题意； B、由图可得，甲地的中位数为，低于乙地的中位数，故B不符合题意； C、由图可得，甲地的第一四分位数小于，而乙地的第一四分位数大于，故C符合题意； D、由图可得，甲地的箱体比乙地长，须线也长于乙地，因此甲地比乙地的波动大，故D不符合题意． 17．我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（     ） A．可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B．可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C．可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D．若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 【答案】B 【分析】箱线图能直接显示一组数据的最大值、最小值、中位数及上下四分位数，但无法直接显示平均数、方差及具体某个排名的数值． 【详解】解：．箱线图无法直接计算出准确的平均数，只能大致估计，所以“可以准确得出两个班的平均数”这一说法错误，故该选项不符合题意； ．甲班的中位数是165，乙班的中位数是160，甲班中位数高于乙班，该说法正确 ，故该选项符合题意； ．箱线图无法直接计算出准确的方差，只能通过数据的分布范围估计离散程度无法得到确定的方差值，所以该说法错误，故该选项不符合题意； ．若每个班有38名学生，甲班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在145以上；乙班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在140以上．但无法直接判定甲班第10名成绩一定小于乙班第10名成绩，该说法错误，故该选项不符合题意． 18．珠珠家共有九人，已知今年这九人岁数的众数、平均数、中位数、四分位距均为20，则关于3年后这九人岁数的统计量，下列叙述何者错误（     ） A．众数是23 B．平均数是23 C．中位数是23 D．四分位距是23 【答案】D 【分析】当所有数据同时增加常数时，众数、平均数、中位数均增加，四分位距等由差计算得到的统计量保持不变． 【详解】解：∵3年后九人每人的岁数都比今年增加， ∴原众数为，新众数为，故A正确，不符合题意； 原平均数为，新平均数为，故B正确，不符合题意； 原中位数为，新中位数为，故C正确，不符合题意； 四分位距上四分位数下四分位数，设原上四分位数为，原下四分位数为， 则新四分位距，仍为，不是，故D错误，符合题意． 19．某校八年级（1）、（2）两班恰各有20名男生，他们身高（单位：cm）的箱线图如图所示，下面说法正确的是（） A．八年级（1）班男生身高的下四分位数为145 B．八年级（1）班男生身高的中位数大于八年级（2）班男生身高的中位数 C．八年级（2）班男生身高的上四分位数大于八年级（1）班男生身高的上四分位数 D．八年级（2）班男生身高比八年级（1）班男生身高更集中 【答案】D 【分析】根据箱线图读取两班身高的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，通过对比数据的集中趋势和离散程度进行判断． 【详解】解：由箱线图可知：八年级（1）班：下四分位数为，中位数为，上四分位数为，极差为． 八年级（2）班：下四分位数为，中位数为，上四分位数为，极差为． 1班下四分位数为，A错误； 两班中位数均为，B错误； 2班上四分位数班上四分位数，C错误； 2班的极差及四分位距均小于1班，数据波动更小，2班身高数据更集中，D正确． 20．某校非常注重学生的劳动教育．该校某班统计了这学期本班16名男生每天做家务劳动的平均时间（单位：min）如下： 4，5，5，6，8，8，9，10，10，11，11，12，12，13，13，15 绘制了这16名男生每天做家务劳动的平均时间的箱线图如图所示，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据箱线图的定义，确定、、、分别代表这组数据的最小值、中位数、上四分位数和最大值，结合给出的数据进行计算即可判断． 【详解】解：将这个数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，. 由箱线图可知： 为最小值， ，故A选项正确； 为最大值， ，故D选项正确； 为中位数，数据共有个，中位数为第个和第个数据的平均数， ，故B选项正确； 为上四分位数，即后个数据的中位数（第个和第个数据的平均数）， ，故C选项错误． 21．某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下： 每周体育活动时间 学生人数 3 7 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________． 【答案】 【分析】先求出样本中每周体育活动时间小于的学生人数，计算对应频率，再用全校总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由题意，抽取的样本中，每周体育活动时间小于的学生人数为， ∴该校名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数为． 22．若一组数据，，，，，的方差是，另一组数据，，，，，的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再根据方差计算公式计算两组数据的方差，比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：第一组数据的平均数为， ∴第一组数据的方差为， 第二组数据的平均数为， ∴第二组数据的方差为， ∴． 23．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两组数据的离散程度，根据方差的意义：方差越小，数据越稳定，即可得出结论． 【详解】解：由折线统计图可知，甲公司业务量的折线起伏较大，数据波动较大，乙公司业务量的折线起伏较小，数据波动较小． 因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，数据波动越小，方差越小． 所以． 因为乙公司业务量的方差较小，所以乙公司的业务量更稳定． 24．2025年我国对部分国家的货物进口金额（单位：百亿元）如下表： 国家 巴西 俄罗斯 印度 韩国 日本 货物进口金额 51 74 97 103 113 将这5个数据依次分为两组，共有以下4种情况，分别计算组内离差平方和，可以 得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组4个 820.75 第一组2个，第二组3个 395.17 第一组3个，第二组2个 1108.00 第一组4个，第二组1个 1688.75 依据以上计算结果，____________与俄罗斯分在同一组最合理（填国家名称）． 【答案】 巴西 【分析】组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，先确定最小的组内离差平方和对应的分组方式，再判断与俄罗斯同组的国家． 【详解】解：将题目中的数据从小到大排列为 ，对应国家依次为巴西，俄罗斯，印度，韩国，日本. 由表格可知，所有分组的组内离差平方和中，最小值为 ，对应分组为一组个数据，另一组个数据，因此该分组是最合理的分组. 要使组内离差平方和最小，需将数值相近的数据分为同一组，因此最小的两个数据分为一组，即巴西（）和俄罗斯（）在同一组，剩余三个较大数据分为另一组. 故答案为：巴西． 25．年月日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解，某校组织了以“七秩问天路携手探九霄”为主题的航天知识竞赛，甲、乙两个班各派名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，则__________，__________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据题意得：甲班的名学生的成绩为，，，，， 乙班的名学生的成绩为，，，，， ， ， ， ， ，． 26．某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家”科普知识竞赛．九年级甲、乙两个班各派10名学生参加校级决赛．决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班10名同学得分的平均数为________，乙班10名同学得分中最高分为________分； (2)甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分．请结合本班统计图信息，判断在各自班级中的排名更靠前的是________（填“小乐”或“小思”）； (3)小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少，由此判断甲班的平均分也比乙班低．你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不同意，请举出反例． 【答案】(1)7.5，10 (2)小乐 (3)不同意，反例为：乙班决赛成绩为3，3，6，6，8，9，9，10，10，10，此时平均分为7.4低于甲班 【分析】（1）根据平均数的定义和统计图、箱线图即可解答； （2）根据统计图和箱线图即可解答； （3）根据甲班的平均数、中位数、众数、满分人数，举反例即可； 【详解】（1）解：根据统计图可得，甲班10名同学得分的平均数（分）， 根据箱线图可得，纵轴得分的最大值为10，因此乙班10名同学得分中最高分为10分； （2）解：甲班中，成绩高于9分的只有1个得10分的学生，因此小乐的9分在甲班排第2名； 乙班的箱线图显示上四分位数为10，说明乙班有至少3名学生得分为10分，小思的9分在乙班的排名比小乐靠后， 因此排名更靠前的是小乐； （3）解：根据题意，甲班平均数是7.5、中位数是7、众数是7，满分1人； 我们可以构造符合条件的乙班成绩：比如乙班众数为10、中位数为8.5，满分3人， 成绩可以为3分、3分、6分、6分、8分、9分、9分、10分、10分、10分， 乙班平均分为， 此时乙班平均分7.4低于甲班的7.5，满足“甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少”，但甲班平均分更高，因此小研的判断不成立． 27．某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． (1)随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． (2)随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 【答案】(1)①，，； ②频数分布直方图如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据频数率频率数总数，分别求出、、的值即可； ②根据①中的值，补全频数分布直方图即可； ③用乘以“优秀”等级所占比例即可得出答案； （2）如图，连接，根据统计图的横轴与纵轴表示的意义得出上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，根据下方及线上的点的数量小于上方的点的数量即可得出． 【详解】（1）解：①∵在组中，频数为，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频数为， ∴． ②补全频数分布直方图如图所示：略 ③由统计表可知，抽取的名技术员的总成绩高于分的有（名）， ∴名技术员中，成绩为“优秀”等级的技术员约有（人）． （2）解：如图，连接， 由统计图的横轴与纵轴表示的意义可知，上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，下方的点表示理论笔试成绩大于实地测绘成绩， ∵下方及线上的点的数量小于上方的点的数量， ∴． 28．某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6    请结合图表完成下列问题： (1)表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； (2)扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； (3)根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 【答案】(1)12，补全频数分布直方图如图所示： (2)24，43.2 (3)288人 【分析】（1）用样本容量减去其它组的频数可得a值，进而可补全频数分布直方图； （2）用a除以样本容量可求得m值，用乘以“第一组”所占的百分比即可求得圆心角； （3）用七年级总人数乘以样本中一分钟跳绳成绩达到良及以上所占比例即可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 图略 （2）解：，则， “第一组”所对应的圆心角的度数是； （3）解：（人）， 答：估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有288人． 29．某校七年级有名学生、八年级有名学生，为调查学生劳动教育实践知识的掌握情况，学校分别对七、八年级学生进行了抽样测试（测试成绩为百分制，成绩为优秀，为基本达标，为需要关注） a．七年级的频数分布直方图和扇形图如下： b．从八年级随机抽取名学生的测试成绩如下： 81  63  52  97  75  91  84  42  66  77  87  72  95  61  55 73  82  47  69  88  58  76  93  85  64  79  71  83  99  52 c．八年级的频数分布表如下： 分组 频数 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级共随机抽取了 名学生的测试成绩；补全七年级频数分布直方图； (2) ， ； (3)若七、八年级学生都参加了测试： ① （填“七”或“八”）年级的优秀率更高； ②请估计七、八年级成绩达标（）的总人数为 人． 【答案】(1)； (2)， (3)①七；② 【分析】（1）用七年级中组的人数除以占比求出抽取的总人数，再求出组的人数，补全七年级频数分布直方图即可； （2）根据八年级随机抽取名学生的测试成绩直接作答即可； （3）①分别求出七、八年级的优秀率比较即可；②分别用七、八年级的学生人数乘以样本中成绩达标的学生人数占比，再求和即可． 【详解】（1）解：，即七年级共随机抽取了名学生的测试成绩， 则组的人数为（名）， 补全七年级频数分布直方图略； （2）解：由八年级随机抽取名学生的测试成绩可知，，； （3）解：①七年级的优秀率为：， 八年级的优秀率为， ∵， ∴七年级的优秀率更高； ②（人）， 即估计七、八年级成绩达标（）的总人数为人． 30．秉持“健康第一”的教育理念，中小学生每日需完成不少于小时中等及以上强度的体育锻炼．某地区为了解本地各中小学日常体育锻炼的实际情况，现对甲、乙两所学校学生一个星期内每日进行中等及以上强度体育锻炼的平均时长进行调查，并对所得数据进行整理、描述与分析．下面给出部分信息． ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图如下： ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中__________，__________； (2)__________（填“”“”或“”）； (3)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为、，则__________（填“”“”或“”）； (4)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为分钟，实际为分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是__________（写出所有符合题意的序号）． ①平均数  ②中位数  ③众数  ④方差 【答案】(1)； (2) (3) (4)②③ 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算即可得到的值． （2）把甲，乙校学生的数据从小到大排列，根据平均数的定义计算即可得到，的值． （3）根据方差反映数据的离散程度和稳定性，方差越大，波动越大，即可得到答案． （4）将数据更换后，重新排列数据，重新统计中位数，众数，平均数，方差的变化情况． 【详解】（1）解：把甲校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， ∴甲校学生数据的中位数为个数据中的第个数据，即分钟， ∴， ∵甲校学生数据中数据出现的次数最多， ∴甲校学生每天的平均运动时长的众数为分钟，即； 故答案为：；； （2）解：∵甲校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， 乙校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， ∴分钟， 分钟， ∴； 故答案为：； （3）解：由折线统计图可知，甲校学生数据的波动程度比乙校学生数据的波动程度大， ∴； 故答案为：； （4）解：把甲校学生星期五的数据分钟换成分钟后， 甲校学生新的数据按照从低到高排列为分钟， 中位数仍是第个数据，即分钟，众数还是分钟， ∵数据的总和变大， ∴平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴统计量不发生变化的是②③． 故答案为：②③． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $