专题28.1 图形的旋转（16大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学人教版九年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题28.1 图形的旋转》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 判断生活中的旋转现象 模块10 利用旋转的性质证明 模块2 判断由一个图形旋转而成的图案 模块11求旋转后的坐标 模块3确定旋转中心、旋转角、对应点 模块12利用旋转设计图案 模块 4确定旋转中心的个数 微专题1求绕原点旋转一定角度的点的坐标 模块5 利用旋转的性质辨析 微专题2坐标与旋转规律问题 模块6利用旋转的性质求角 压轴1旋转变化与几何综合 模块7利用旋转性质求线段长 压轴2旋转变化中的函数综合 模块8 利用旋转性质求面积 通关检测· 实战演练 模块9画旋转后的图形 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 模块通关·举一反 三 【模块一】判断生活中的旋转现象 判断生活中的旋转现象，需要紧扣旋转的定义和性质梳理分析步骤。首先要明确旋转的核心特征：物体在旋转过程中，形状和大小不会发生改变，仅改变自身的位置，并且每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。据此第一步，先观察生活中的物体运动过程，判断其是否符合上述旋转特征，排除平移、对称这类其他运动形式的干扰。 【典例1】如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【答案】90 【分析】本题考查旋转的基本概念．结合生活实际理解“向右转”这一旋转动作的旋转角度即可． 【详解】解：在体育课上，“向右转”的动作是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：90． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 【变式1-3】如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 【答案】 轴对称 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移. 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 【模块二】判断由一个图形旋转而成的图案 首先要明确判断的核心依据是旋转的不变性，旋转不改变图形的形状和大小，且所有对应点都绕同一个旋转中心转动相同角度，据此可按照“观察特征、找对应点、确定三要素”的步骤完成判断：第一步先整体观察待判断图案和原图形，先对比二者的形状和大小，排除形状、尺寸发生改变的相似变换情况，初步筛选符合旋转特征的图形；第二步找出图形上两组不同的对应点，分别作两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心，确认所有对应点到这个交点的距离都相等；第三步再测量对应点和旋转中心连线的夹角，确认所有对应点转过的角度大小一致、方向一致。 【典例2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 【变式2-1】下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据图形的旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，逐一判定即可. 【详解】图①在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 图②在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 图③在同一平面内经过旋转不可以得到例图，不符合题意； 图④在同一平面内经过旋转可以得到例图，符合题意； 故选：C. 【点睛】此题主要考查对图形旋转的理解，熟练掌握，即可解题. 【变式2-2】如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式2-3】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的意义“在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转”，求解即可． 【详解】解：根据旋转的定义可知，能由图经过旋转得到的是 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的定义，解题的关键是掌握旋转的定义． 【模块三】确定旋转中心、旋转角、对应点 首先通过选取两组对应点分别作连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心，确定后可验证其余对应点到该交点的距离是否一致，避免找错交点位置；接着以旋转中心为顶点，分别连接旋转中心和一组对应点，两条连线的夹角就是旋转角。对应点可以沿着旋转方向，根据旋转角度逐一确定，也可根据旋转中心到对应点的距离不变，在对应射线上截取对应点。 【典例3】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质及勾股定理逆定理判断旋转中心． 【详解】解：如图，点Ｍ是旋转中心 【变式3-1】如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点，则(   )度. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案. 【详解】如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，， ∵，的垂直平分线交于点， ∴点是旋转中心， ∵， ∴旋转角. 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键． 【变式3-2】．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图， 由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 三条线段的垂直平分线正好都过点B， 旋转中心是点B． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上． 【变式3-3】如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点旋转得到，，，，， 点的对应点是点，故①正确， ，故②错误， ，故③正确， ，故④正确， 旋转中心是点，故⑤正确， 旋转角不一定为，故⑥错误， 故选：A. 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【模块四】 确定旋转中心的个数 确定旋转中心个数时，首先观察图形是否为正n边形的旋转对称图形，若图形可以绕中心旋转一定角度后与自身重合，且每次旋转的旋转角一致，那么除了图形中心这一个公共旋转中心外，还需要根据图形的重合周期，逐一排查是否存在其他位置的旋转中心。若原图形仅由单个基础图形旋转得到，整个图形整体满足旋转重合，那么旋转中心只有1个；若图形由多个基础图形逐次旋转拼接而成，且任意两个相邻基础图形都可以找到对应旋转中心，则需要根据拼接的块数逐一计数，避免漏数。 【典例4】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 【变式4-1】如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】可以绕点D,点C,线段CD的中点旋转， 故选C. 【变式4-2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 【变式4-3】如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【模块五】利用旋转的性质辨析 解决该类问题时，首先紧扣旋转“不改变图形形状与大小、对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角”这三条核心性质，逐一比对待辨析结论或图形是否符合要求：先对比原图形和旋转后图形的边长、内角大小，确认形状尺寸未发生改变；再选取两组对应点，验证对应点到旋转中心的距离是否相等，同时检查夹角是否统一。 【典例5】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转前后对应角相等是解题的关键． 由旋转得，，，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴ ∴，故A错误； 根据题意无法证明，故B错误； ∵， ∴， ∴，故D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 故选：D． 【变式5-1】在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【变式5-2】在图形的旋转中，下列说法错误的是（　　） A．图形上的每一点到旋转中心的距离都相等 B．图形上的每一点转动的角度都相同 C．图形上可能存在不动的点 D．旋转前和旋转后的图形全等 【答案】A 【分析】根据旋转的性质作答即可 【详解】A、图形上对应点到旋转中心的距离相等，故A错误； B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，即一定相同，故B正确； C、图形上的点若是旋转中心，则旋转中心不动，故C正确； D、旋转前后的两个图形全等，故D正确. 故选A. 【点睛】本题主要考查旋转图形的性质,解决本题的关键要熟练掌握旋转性质. 【变式5-3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，将绕顶点A顺时针旋转一定的角度得到，此时恰好经过点C，且满足，．据此，莉莉得出以下两个结论：Ⅰ．平分；Ⅱ．线段的长度是．其中正确的是（　　）      A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ和Ⅱ都正确 D．Ⅰ和Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质． 根据旋转的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，即平分； 由旋转的性质可知，，即； 即Ⅰ和Ⅱ都正确． 故选：C． 【模块六】利用旋转的性质求角 首先根据旋转前后对应角相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角这两条性质，结合题干给出的已知角度推导未知角度：若已知原图形中角的度数，直接对应得到旋转后对应角的度数；若要求旋转角，则选取一组对应点，分别与旋转中心连接后，计算两条连线的夹角即可得到结果。 【典例6】如图，将绕点A逆时针旋转66°得到，若点D恰好落到边上，则的度数为（    ） A．57° B．66° C．76° D．80° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得，，然后根据三角形内角和可得到． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，其中点D恰好落在边上， ∴，， 如图，记，的交点为， 则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了三角形的内角和定理的应用． 【变式6-1】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，，旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首先在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得的度数，然后在直角中利用三角形内角和定理求解． 【解答】解：由旋转的性质可得，， ∴，， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键． 【变式6-2】如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点按逆时针方向旋转角得到的，点A与对应，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心．连接，，即为旋转角． 【详解】解：如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心． 连接，， ∴即为旋转角， 旋转角为 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大． 【变式6-3】把两个全等的直角三角形按图1叠放，，，顶点C重合，边BC与边EC重合．固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接（如图2），当旋转角度为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，求得，由旋转的性质得，根据三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当旋转角度为时，即， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【模块七】利用旋转性质求线段长 我们可以按照以下步骤逐步推导求解：首先，根据旋转的性质确定对应线段相等，即旋转前后对应线段长度保持不变，同时旋转中心到对应点的距离也相等。接着结合题干给出的已知线段长度，直接对应相等关系得到所求对应线段的长度；如果题干给出了旋转角度，还需要结合勾股定理、余弦定理或三角形相似等其他几何关系，进一步计算未知线段的长度。 【典例7】如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A．2 B．4 C．2 D．2 【答案】C 【分析】连接，根据已知条件以及旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得是等边三角形，即可求解． 【详解】如图，连接 将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ，， 又， 是等边三角形， 旋转角， ， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， ， ， 点与点B之间的距离为， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键． 【变式7-1】如图，绕顶点A顺时针旋转后得到，且为的中点，与相交于点D，若，则（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知旋转角，可证为等边三角形；再根据，证明为的直角三角形，求得线段的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知：，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 【变式7-2】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，证明是等边三角形，根据，求的值即可． 【详解】解：由题意知，，， 由旋转的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式7-3】如图，点，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理解得的长度，再根据线段的和差得到方程，进而解得的值． 【详解】解：过点作轴，作轴，连接， ∵点，点C的坐标为， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴， 化简变形得：， 解得：或(舍去)， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了直角坐标系中的旋转变化，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练勾股定理是解题的关键． 【模块八】利用旋转性质求面积 求解这类问题时，我们可以先根据旋转的性质确定图形面积之间的关系：旋转不改变图形的形状与大小，因此旋转前后图形的面积完全相等，可以利用这个等量关系，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算，比如把分散阴影部分的面积拼接成完整的扇形、三角形等可直接套用公式计算的图形，再代入对应公式计算即可。 拼接阴影面积时要找准等面积转化的对应区域，不要漏算或多算拼接后重叠部分的面积；第三，如果题目要求的是旋转过程中扫过的面积，要明确是整个图形的扫过面积，还是某条线段、某个点的扫过面积：点旋转扫过的是扇形弧长对应的区域，线段旋转扫过的是环形或扇形区域，要结合旋转半径选择对应的面积公式，不要混淆不同对象的扫过范围。 【典例8】将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（  ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，解直角，可求阴影部分面积． 【详解】 解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， 设，则， ，即， 解得， ， 阴影部分面积为： 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积． 【变式8-1】如图所示的图案由形状相同的三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答即可． 【详解】每个叶片的面积为，因而图形的面积是． ∵图案绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【变式8-2】如图，绕点A逆时针旋转，得到，点落在的延长线上，延长交的延长线于点D，交于E，连接，已知， (1)试说明为等边三角形． (2)求的长度 (3)求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转性质可得：，从而得到，再由，即可得到是等边三角形； （2）根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理以及由旋转性质可得 ，，再由是等边三角形，可得，从而得到，在中，根据直角三角形的性质，即可求解； （3）根据是等边三角形，可得，从而得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得：， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在中，∵， ∴，   ∴， 由旋转性质得 ，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵是等边三角形，，即， ∴， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，点D是等边的AB边上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，若，则______． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，然后根据全等三角形的性质得到，根据即可求解． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． ∴， 作于点F，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，理解旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【模块九】画旋转后的图形 具体解题可以按照找、转、连三步完成：首先找，找出原图形的关键点，比如多边形的顶点、圆心这些特殊位置的点，以及旋转中心、旋转方向和旋转角度；然后转，将每个关键点分别与旋转中心连接，按照给定的旋转方向旋转出与原旋转角角度相同的角，再在旋转后的射线上截取与原线段长度相等的线段，得到每个关键点旋转后的对应点；最后连，按照原图形的顺序连接这些对应点，就得到了旋转后的完整图形。 【典例9】（25-26八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)， 【分析】（1）图形旋转180度时，对应点关于原点对称，因此作点A，B，C关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 【变式9-1】．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到画出； (2)画出将绕原点顺时针方向旋转90°后的图； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为． 【分析】（1）将三个顶点分别向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕原点按顺时针方向旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． ； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：的面积为． 【点睛】本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均为格点． (1)画出将绕点O旋转后得到的； (2)的面积为______，中AB边上的高为______． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据旋转变换画出图形即可． （2）利用割补法即可求出的面积；设AB边上的高为h，勾股定理求出AB，再运用三角形面积公式列出方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形， （2）； 设边上的的高为h，， 则， ∴． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了旋转变换，勾股定理，割补法求面积等相关知识，解题关键是正确画出旋转图形，属中考常考题型． 【变式9-3】如图，在边长为1的正方形网格中，、、、． (1)将线段绕点逆时针旋转，得到对应线段．当与第一次平行时，画出点运动的路径； (2)线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)旋转中心的坐标为或． 【分析】（1）根据平行的性质以及旋转的性质，取格点E，以点B为圆心，的长为半径画弧，则即为所求； （2）当A，D为对应点，B，C为对应点时，利用网格分别作线段的垂直平分线，交点即为旋转中心；当A，C为对应点，B，D为对应点时，利用网格分别作线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据点A的坐标建立平面直角坐标系即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为点A运动的路径． ； （2）解：当A，D为对应点，B，C为对应点时，如图， 分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为线段与线段的旋转中心， 点P的坐标为； 当A，C为对应点，B，D为对应点时，如图， 分别作线段的垂直平分线，相交于点Q， 则点Q即为线段与线段的旋转中心， 点Q的坐标为． 综上所述，旋转中心的坐标为或． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【模块十】利用旋转的性质证明 首先结合旋转性质明确证明过程中的已知条件：旋转前后两个图形全等，因此对应边相等、对应角相等，旋转中心到对应点的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。明确等量关系后，结合题目要证明的结论（如线段相等、角相等、三角形全等、特殊四边形判定等），选择合适的几何定理整理推导逻辑，逐步写出证明过程。 【典例10】综合与探究 在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理解见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，从而证明，即可得到结论； （2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论； （3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， 由旋转可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3），理由如下： ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键． 【变式10-1】如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB； （2）求∠AEB的大小． （3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 【答案】（1）详见解析；（2）60°    （3）60° 【分析】(1)利用题中信息可得：都为等边三角形，找出它们之间的等量关系去证明全等； (2)根据等边三角形和外角的性质，可求； (3)方法同上，只是，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答． 【详解】证明：(1) ,且都为等边三角形， , , 为等边三角形， , 在和中， , ; (2)如图所示： 和都是等边三角形， 且点O是线段的中点， ,∠， ， 又， ， 同理， . (3)如图所示： 都是等边三角形， 又 ， ， ， 又，， 【点睛】本题考查旋转的性质, 三角形内角和定理, 等边三角形的性质. 【变式10-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，证明见解析 【分析】根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，、、三点共线， ． ，，， ， ． 【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键． 【变式10-3】【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值． 【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为． 【分析】问题背景：根据所给思路，结合图形进行求证即可得； 尝试应用：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，AF最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当AF取得最大值时，AD取得最大值，代入求解即可得． 【详解】问题背景：解：如图3所示，以DC为边作等边三角形，连接AE， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 在中， ， ∴， 故答案为：；；4； 尝试应用：解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； 拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF， ∴，，， ∴， 当A、B、F三点共线时，AF最大， ∵，， ∴， 如图中，过点D作，且， ∴， ， ∵ 化简得：，当AF取得最大值时，AD取得最大值， ∴， ∴AD的最大值为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 【模块十一】求旋转后的坐标 第一步确定旋转三要素，明确题目中给定的旋转中心、旋转方向和旋转角度，一般初中阶段常见为顺时针或逆时针旋转90°、180°特殊角度；第二步分别找出原图形各个顶点相对于旋转中心的位置关系，借助平面直角坐标系，得到顶点坐标与旋转中心坐标的横向、纵向距离关系；第三步按照旋转规则确定每个顶点旋转后的对应坐标，再根据原图形顶点顺序得到完整旋转后图形的各个坐标。 【典例11】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则点C的坐标是________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，可证明，可得，再由点B的坐标是，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，则， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，根据题意得到是解题的关键． 【变式11-1】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--旋转、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先得到，，过作轴于H，根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 如图，将线段绕点顺时针旋转得到，则，， 过作轴于H， 在中，，则， ∴， 故选：A． 【变式11-2】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识．过点作于点，过点作于点，证明，则，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为． ∴， ∵将线段AP绕点A逆时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【变式11-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B 两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】过作，垂足为C，根据一次函数表达式求出点A坐标，得到，再根据旋转的性质证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可得到坐标． 【详解】解：如图，过作，垂足为C， 在中，令，则， ∴点，， ∴， 由旋转可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定和性质，勾股定理的应用，求出是等边三角形，是解题的关键． 【模块十二】 利用旋转设计图案 设计图案可按照以下步骤推进：首先确定设计要求和需要用到的基础图形，再结合想要呈现的最终效果，选定旋转中心和旋转角度。之后将基础图形按照选定的参数依次进行旋转，每次旋转后得到新的图形，最后将原图形和所有旋转得到的图形按位置组合，调整细节后就能得到符合需求的完整图案。 【典例12】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【变式12-1】如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形； （2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形． 【详解】解：（1）∵将原图绕点O逆时针旋转90°， ∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等． ∴可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示： （2）由（1）中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽， 可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°， 如图2所示． 【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题的关键是要充分利用图形的特点和网格． 【变式12-2】分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【答案】见解析 【分析】从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转，据此即可解答． 【详解】解：按规律在图③中画出其中的阴影部分是： 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，找准规律是解题的关键． 【变式12-3】阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 【答案】(1) 不正确;(2)相同，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据约定“如果划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么划分方法相同”直接判断即可； （2）将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同即可判断； （3）利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题．. 【详解】解：（1）根据题意可得：图④的划分方法不正确； （2）相同，因为将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同； （3）如图： 【点睛】此题考查了作图—应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图的方法作图. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 一、绕原点旋转（坐标公式） 设点：(x, y) 1. 逆时针转 90°(-y, x) 2. 顺时针转 90°（=逆时针 270°）(y,-x) 3. 旋转 180°(-x, -y) 二、解题步骤 1. 看清：顺/逆时针、多少度 2. 直接套上面公式，算出新坐标 【典例13】（2025·山东青岛·二模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，若将菱形先向左平移3个单位，再将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质．先求得平移后点B的对应点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵菱形， ∴点， ∵将菱形先向左平移3个单位， ∴平移后点B的对应点， 过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴旋转后点B的对应点的坐标是， 故选：C． 【变式13-1】（2025·山东淄博·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转后得到，依此方式，绕点连续旋转2023次得到，那么点的坐标是______________． 【答案】 【分析】依次写出的坐标，观察总结规律即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ，     ， 根据旋转可得： ， ， 周期为8， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了规律探究，相关知识点有：图形的旋转、勾股定理等知识点，找到旋转变换中得规律是解题关键． 【变式13-3】（2025·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，，，若将绕原点O顺时针旋转，则点B的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与旋转，过点作，设，分别解和，表示出的长，再根据，列出方程求出的值，进而求出的长，根据旋转的性质，求出旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作，设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 旋转后点的位置为的位置，作轴，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为： 【微专题二】 坐标与旋转规律问题 主要可总结为以下几点：一是旋转前后图形的形状与大小保持不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，解题时需牢牢把握这些不变量，以此为基础推导线段与角度关系；二是每一次旋转都会遵循固定的周期规律，当遇到多次旋转的规律探究问题时，先推导得出一个完整周期内的点坐标变化规律，再结合总旋转次数计算最终位置的点坐标，三是解题时需注意区分顺时针旋转与逆时针旋转的坐标变化差异，根据题目给定的旋转方向调整坐标推导过程，避免因方向判断错误导致结果出错。 【典例14】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：过点作轴于．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，，6次一个循环，然后再求第2026次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于． ，， ， 在中，，， ， ，， ， ， 将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， 、在轴上， ，； 与关于轴对称， ； 与关于原点对称， ； 与关于轴对称， ， 与重合， ； ， ∵， ∴6次一个循环， ， ． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出,，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴，即； 故答案为：． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形， ∴每个内角的度数为，即， ∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为， 如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， 当正六边形绕点顺时针旋转， ∴，即旋转次，正六边形回到起始位置， ∴当时，，即旋转次后，又旋转了个，即回到起始位置后又旋转了，如图所示， ∴，， ∴，即当时，顶点的坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键． 【变式14-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出前几次的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处， ， ∴， 第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， 第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第4次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第5次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， … 轴上为每3段一循环，即重复出现， ，，，，，…，这些点的横坐标依次为： 0，，，，，， 奇数次旋转（如第1、3、5…次）：点A落在x轴上，纵坐标为0，横坐标增加， 偶数次旋转（如第2、4、6…次）：点A不在x轴上，纵坐标为1，横坐标增加1， 每两次旋转为一个周期，每个周期内横坐标总增加，纵坐标在偶数次旋转后为1， ， 50次旋转包含25个完整周期， 每个周期横坐标增加，25个周期总增加：， 初始横坐标为0， 故第50次旋转后的横坐标为， 点​的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解，坐标与旋转规律问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】旋转变化与几何综合 1. 旋转（求线段最长/最短）把动线段转到一起，构成三角形 ，最大值 = 两边之和，最小值 = 两边之差 2.与旋转有关的几何综合证明题 解题三步 1. 由变换得：全等、边相等、角相等 2. 用这些条件证：三角形全等 3. 推出要证的：边等 / 角等 / 平行 / 垂直 必写一句：旋转边相等，旋转角相等 【典例15】已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？______________；（直接写出结果） (2)如图2，点在射线上（点的右边）移动时，证明． (3)点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）根据旋转可证，得到，由此即可求解； （3）根据旋转可得，，则的周长，当点在线段上时，的周长，当在线段上，且最小时，的周长最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：等边三角形， ∵点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． （2）解：等边三角形，如图2中，设交于点． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为， 理由：如图3中， 根据旋转可得，， ，则的周长， 当点在线段上时，的周长， 当点在线段的延长线上时，的周长， 的周长， 当在线段上，且最小时，的周长最小， 为等边三角形， ， 当时，的值最小，的最小值为， 的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，旋转的性质的综合，掌握旋转中角与边的关系，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式15-1】如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以C为中心将按逆时针方向旋转得，连接，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】当A、Q、C在同一直线上时，则有最小值，值为，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，点Q在以C为圆心，为半径的圆上， 当A、Q、C在同一直线上时，则有最小值，值为，如图， ∴在中，，，， ∴，，， ∵以C为中心将按逆时针方向旋转得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，得出当A、Q、C在同一直线上时，有最小值是解题的关键． 【变式15-2】（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】 （1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】 （2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】 （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3），见解析 【分析】（1）延长至点E，使得，连接．证明，得出，，，再证明，得出，即可证明． （2）在直角中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，同理，在中有，即可证明． （3）取的中点G，和的中点H，连接，，，，根据是的中位线，是的中位线，得出，，，，平行线的性质和等量代换证明，根据旋转得，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，，即，，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出，，即可得，即，证明，即可得． 【详解】证明：（1）延长至点E，使得，连接． ∵点D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， 即是直角三角形， 又∵点F是的中点， ∴， 同理，在中有， ∴． （3）成立 理由如下： 取的中点G，和的中点H，连接，，，， ∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式15-3】综合与实践 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点为中点，绕点旋转，连接． 观察猜想 (1)在旋转过程中，与的数量关系为___________； 实践发现 (2)当点在内且三点共线时，如图2，求证：； 拓展延伸 (3)当点在外且三点共线时，如图3，探究之间的数量关系是___________； 解决问题 (4)若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）证明，为等腰直角三角形，即可求证； （4）点三点共线，分类讨论，根据（2），（3）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图所示，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接， 1 根据（1）中的证明可知，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：，，三点共线， ①由（2）可知，， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴（不符合题意）； ②如图所示，由（1）可知，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴； ③由（3）可知， 是等腰直角三角形， ∴， 由（3）可知，， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【压轴二】旋转变化中的函数综合 首先根据函数解析式，确定旋转前原图形关键点的坐标，再结合旋转中心、旋转方向与旋转角度，按照旋转坐标变换规律求出对应关键点旋转后的坐标，最后结合已知点坐标，利用待定系数法即可求出旋转后得到的函数解析式。此外要注意旋转方向不同，旋转后点的坐标符号也会不同，计算过程中要仔细核对符号，避免出现坐标错位导致最终解析式求解错误。验证时可以结合旋转性质，检查旋转前后对应线段长度是否一致，确认解析式正确即可。 【典例16】（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； （3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【变式16-1】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【答案】 1 【难度】0.4 【来源】【智】08周测八 求一次函数解析式的方法（学海风暴26春八年级数学下册人教版-周测） 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 【变式16-2】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【来源】第5章 一次函数 专题拓展 一次函数图象与几何变换 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数图象与旋转问题 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【变式16-3】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列现象中属于旋转的是（    ） A．鼠标在鼠标垫上滑动B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币 【答案】B 【分析】根据旋转的意义，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，因此旋转前、后的图形全等．由此可作出选择． 【详解】解：A、鼠标在鼠标垫上滑动，不属于旋转． B、拧开冰红茶瓶盖，是旋转． C、一轮红日缓缓升起，不是旋转． D、空中下落的硬币，不是旋转． 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，要根据旋转的定义来判断是否是旋转． 2．如图，把绕顶点按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，， ． ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角． 3.如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 4.如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ） A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 【答案】C 【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到的位置， ∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点． 故A，B，D三项错误，C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 5.如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标规律探究，观察图象可知，，的纵坐标以为一组进行循环，进而求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，如图， 可知：在轴上，且，的纵坐标以为一组进行循环， ∴，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为， ∴， ∴， ∵， ∴的纵坐标为，横坐标为：， ∴， 故选C． 二 填空题 6.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 7.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于__________． 【答案】 【分析】过作于，根据旋转的性质得出，勾股定理求得，勾股定理解，即可求解． 【详解】解：若点恰好落在边上，如图，过作于， 由，，， ∴， 由旋转的性质可知，，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴A到的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转60°，得到，连接BM，那么BM的长是______． 【答案】/ 【分析】如图，连接，可知为等边三角形，垂直平分，，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 9.如图，将绕直角顶点顺时针旋转90°后得到，连结，若，则______度． 【答案】110 【分析】由旋转的性质可得，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转后得到△， ， ， ， ， 故答案为：110． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 10.如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ___________． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转后，得到，连接、，根据旋转性质可得，，，以此得到，根据两点之间线段最短得，根据等边三角形和等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后，得到，连接、， 根据旋转的性质得，，，， 为等边三角形， ， ， ， 当、、、四点共线时，有最小值， 为等边三角形， ， 为等腰三角形，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理，正确作出辅助线，利用两点之间线段最短得到是解题关键． 三 解答题 11.如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点顺时针旋转得到线段，（其中与对应） (1)在图中画出线段； (2)与所在的直线夹角为 ； (3)若是线段上的一点，则点旋转后对应点的坐标为 （用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点D，连接，使得，连接，由勾股定理的逆定理可得则，进而可得答案； （3）由旋转的性质可得答案． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）取格点D，连接，使得，连接， ∵ ∴ ∴， ∴与所在的直线夹角为， 故答案为：90°； （3）由旋转可知点的坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查作图——旋转变换，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明过程见详解． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）根据和是等腰直角三角形得到，，证明即可得到． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立. 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴. 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，构造全等三角形是解决此题关键. 13.（2025-2026苏省盐城八上月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 14.感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 【答案】探究：成立，见解析；应用：①；② 【分析】感知：根据和都是等腰直角三角形，得出，根据，即可得证； 探究：证明即可得证； 应用：①同理得出，得出，即可求解； ②勾股定理求得，，根据，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】感知：∵和都是等腰直角三角形，， ，即； 探究：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转， ， 在与中， ， ， ； 应用： ①是等腰直角三角形， ， 同探究可得：， ， 故答案为：； ②在中，， ，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题28.1 图形的旋转》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 判断生活中的旋转现象 模块10 利用旋转的性质证明 模块2 判断由一个图形旋转而成的图案 模块11求旋转后的坐标 模块3确定旋转中心、旋转角、对应点 模块12利用旋转设计图案 模块 4确定旋转中心的个数 微专题1求绕原点旋转一定角度的点的坐标 模块5 利用旋转的性质辨析 微专题2坐标与旋转规律问题 模块6利用旋转的性质求角 压轴1旋转变化与几何综合 模块7利用旋转性质求线段长 压轴2旋转变化中的函数综合 模块8 利用旋转性质求面积 通关检测· 实战演练 模块9画旋转后的图形 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 模块通关·举一反 三 【模块一】判断生活中的旋转现象 判断生活中的旋转现象，需要紧扣旋转的定义和性质梳理分析步骤。首先要明确旋转的核心特征：物体在旋转过程中，形状和大小不会发生改变，仅改变自身的位置，并且每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。据此第一步，先观察生活中的物体运动过程，判断其是否符合上述旋转特征，排除平移、对称这类其他运动形式的干扰。 【典例1】如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【变式1-3】如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 【模块二】判断由一个图形旋转而成的图案 首先要明确判断的核心依据是旋转的不变性，旋转不改变图形的形状和大小，且所有对应点都绕同一个旋转中心转动相同角度，据此可按照“观察特征、找对应点、确定三要素”的步骤完成判断：第一步先整体观察待判断图案和原图形，先对比二者的形状和大小，排除形状、尺寸发生改变的相似变换情况，初步筛选符合旋转特征的图形；第二步找出图形上两组不同的对应点，分别作两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心，确认所有对应点到这个交点的距离都相等；第三步再测量对应点和旋转中心连线的夹角，确认所有对应点转过的角度大小一致、方向一致。 【典例2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列四个图形中，不能由下图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【模块三】确定旋转中心、旋转角、对应点 首先通过选取两组对应点分别作连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心，确定后可验证其余对应点到该交点的距离是否一致，避免找错交点位置；接着以旋转中心为顶点，分别连接旋转中心和一组对应点，两条连线的夹角就是旋转角。对应点可以沿着旋转方向，根据旋转角度逐一确定，也可根据旋转中心到对应点的距离不变，在对应射线上截取对应点。 【典例3】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 【变式3-1】如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点，则(   )度. A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-3】如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【模块四】 确定旋转中心的个数 确定旋转中心个数时，首先观察图形是否为正n边形的旋转对称图形，若图形可以绕中心旋转一定角度后与自身重合，且每次旋转的旋转角一致，那么除了图形中心这一个公共旋转中心外，还需要根据图形的重合周期，逐一排查是否存在其他位置的旋转中心。若原图形仅由单个基础图形旋转得到，整个图形整体满足旋转重合，那么旋转中心只有1个；若图形由多个基础图形逐次旋转拼接而成，且任意两个相邻基础图形都可以找到对应旋转中心，则需要根据拼接的块数逐一计数，避免漏数。 【典例4】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【变式4-1】如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【变式4-3】如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【模块五】利用旋转的性质辨析 解决该类问题时，首先紧扣旋转“不改变图形形状与大小、对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角”这三条核心性质，逐一比对待辨析结论或图形是否符合要求：先对比原图形和旋转后图形的边长、内角大小，确认形状尺寸未发生改变；再选取两组对应点，验证对应点到旋转中心的距离是否相等，同时检查夹角是否统一。 【典例5】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【变式5-2】在图形的旋转中，下列说法错误的是（　　） A．图形上的每一点到旋转中心的距离都相等 B．图形上的每一点转动的角度都相同 C．图形上可能存在不动的点 D．旋转前和旋转后的图形全等 【变式5-3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，将绕顶点A顺时针旋转一定的角度得到，此时恰好经过点C，且满足，．据此，莉莉得出以下两个结论：Ⅰ．平分；Ⅱ．线段的长度是．其中正确的是（　　）      A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ和Ⅱ都正确 D．Ⅰ和Ⅱ都不正确 【模块六】利用旋转的性质求角 首先根据旋转前后对应角相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角这两条性质，结合题干给出的已知角度推导未知角度：若已知原图形中角的度数，直接对应得到旋转后对应角的度数；若要求旋转角，则选取一组对应点，分别与旋转中心连接后，计算两条连线的夹角即可得到结果。 【典例6】如图，将绕点A逆时针旋转66°得到，若点D恰好落到边上，则的度数为（    ） A．57° B．66° C．76° D．80° 【变式6-1】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，，旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点按逆时针方向旋转角得到的，点A与对应，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】把两个全等的直角三角形按图1叠放，，，顶点C重合，边BC与边EC重合．固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接（如图2），当旋转角度为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模块七】利用旋转性质求线段长 我们可以按照以下步骤逐步推导求解：首先，根据旋转的性质确定对应线段相等，即旋转前后对应线段长度保持不变，同时旋转中心到对应点的距离也相等。接着结合题干给出的已知线段长度，直接对应相等关系得到所求对应线段的长度；如果题干给出了旋转角度，还需要结合勾股定理、余弦定理或三角形相似等其他几何关系，进一步计算未知线段的长度。 【典例7】如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A．2 B．4 C．2 D．2 【变式7-1】如图，绕顶点A顺时针旋转后得到，且为的中点，与相交于点D，若，则（   ） A．5 B． C．4 D． 【变式7-2】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，点，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【模块八】利用旋转性质求面积 求解这类问题时，我们可以先根据旋转的性质确定图形面积之间的关系：旋转不改变图形的形状与大小，因此旋转前后图形的面积完全相等，可以利用这个等量关系，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算，比如把分散阴影部分的面积拼接成完整的扇形、三角形等可直接套用公式计算的图形，再代入对应公式计算即可。 拼接阴影面积时要找准等面积转化的对应区域，不要漏算或多算拼接后重叠部分的面积；第三，如果题目要求的是旋转过程中扫过的面积，要明确是整个图形的扫过面积，还是某条线段、某个点的扫过面积：点旋转扫过的是扇形弧长对应的区域，线段旋转扫过的是环形或扇形区域，要结合旋转半径选择对应的面积公式，不要混淆不同对象的扫过范围。 【典例8】将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（  ）． A． B． C． D．不能确定 【变式8-1】如图所示的图案由形状相同的三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积之和为________． 【变式8-2】如图，绕点A逆时针旋转，得到，点落在的延长线上，延长交的延长线于点D，交于E，连接，已知， (1)试说明为等边三角形． (2)求的长度 (3)求四边形的面积 【变式8-3】如图，点D是等边的AB边上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，若，则______． 【模块九】画旋转后的图形 具体解题可以按照找、转、连三步完成：首先找，找出原图形的关键点，比如多边形的顶点、圆心这些特殊位置的点，以及旋转中心、旋转方向和旋转角度；然后转，将每个关键点分别与旋转中心连接，按照给定的旋转方向旋转出与原旋转角角度相同的角，再在旋转后的射线上截取与原线段长度相等的线段，得到每个关键点旋转后的对应点；最后连，按照原图形的顺序连接这些对应点，就得到了旋转后的完整图形。 【典例9】（25-26八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【变式9-1】．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到画出； (2)画出将绕原点顺时针方向旋转90°后的图； (3)求的面积． 【变式9-2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均为格点． (1)画出将绕点O旋转后得到的； (2)的面积为______，中AB边上的高为______． 【变式9-3】如图，在边长为1的正方形网格中，、、、． (1)将线段绕点逆时针旋转，得到对应线段．当与第一次平行时，画出点运动的路径； (2)线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． 【模块十】利用旋转的性质证明 首先结合旋转性质明确证明过程中的已知条件：旋转前后两个图形全等，因此对应边相等、对应角相等，旋转中心到对应点的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。明确等量关系后，结合题目要证明的结论（如线段相等、角相等、三角形全等、特殊四边形判定等），选择合适的几何定理整理推导逻辑，逐步写出证明过程。 【典例10】综合与探究 在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 【变式10-1】如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB； （2）求∠AEB的大小． （3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 【变式10-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【变式10-3】【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值． 【模块十一】求旋转后的坐标 第一步确定旋转三要素，明确题目中给定的旋转中心、旋转方向和旋转角度，一般初中阶段常见为顺时针或逆时针旋转90°、180°特殊角度；第二步分别找出原图形各个顶点相对于旋转中心的位置关系，借助平面直角坐标系，得到顶点坐标与旋转中心坐标的横向、纵向距离关系；第三步按照旋转规则确定每个顶点旋转后的对应坐标，再根据原图形顶点顺序得到完整旋转后图形的各个坐标。 【典例11】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则点C的坐标是________． 【变式11-1】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【变式11-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B 两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是_____． 【模块十二】 利用旋转设计图案 设计图案可按照以下步骤推进：首先确定设计要求和需要用到的基础图形，再结合想要呈现的最终效果，选定旋转中心和旋转角度。之后将基础图形按照选定的参数依次进行旋转，每次旋转后得到新的图形，最后将原图形和所有旋转得到的图形按位置组合，调整细节后就能得到符合需求的完整图案。 【典例12】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【变式12-1】如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【变式12-2】分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【变式12-3】阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 一、绕原点旋转（坐标公式） 设点：(x, y) 1. 逆时针转 90°(-y, x) 2. 顺时针转 90°（=逆时针 270°）(y,-x) 3. 旋转 180°(-x, -y) 二、解题步骤 1. 看清：顺/逆时针、多少度 2. 直接套上面公式，算出新坐标 【典例13】（2025·山东青岛·二模）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，若将菱形先向左平移3个单位，再将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·山东淄博·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转后得到，依此方式，绕点连续旋转2023次得到，那么点的坐标是______________． 【变式13-3】（2025·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，，，若将绕原点O顺时针旋转，则点B的坐标变为 ． 【微专题二】 坐标与旋转规律问题 主要可总结为以下几点：一是旋转前后图形的形状与大小保持不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，解题时需牢牢把握这些不变量，以此为基础推导线段与角度关系；二是每一次旋转都会遵循固定的周期规律，当遇到多次旋转的规律探究问题时，先推导得出一个完整周期内的点坐标变化规律，再结合总旋转次数计算最终位置的点坐标，三是解题时需注意区分顺时针旋转与逆时针旋转的坐标变化差异，根据题目给定的旋转方向调整坐标推导过程，避免因方向判断错误导致结果出错。 【典例14】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为 ． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】旋转变化与几何综合 1. 旋转（求线段最长/最短）把动线段转到一起，构成三角形 ，最大值 = 两边之和，最小值 = 两边之差 2.与旋转有关的几何综合证明题 解题三步 1. 由变换得：全等、边相等、角相等 2. 用这些条件证：三角形全等 3. 推出要证的：边等 / 角等 / 平行 / 垂直 必写一句：旋转边相等，旋转角相等 【典例15】已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？______________；（直接写出结果） (2)如图2，点在射线上（点的右边）移动时，证明． (3)点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以C为中心将按逆时针方向旋转得，连接，则的最小值为___________． 【变式15-2】（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】 （1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】 （2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】 （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 【变式15-3】综合与实践 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点为中点，绕点旋转，连接． 观察猜想 (1)在旋转过程中，与的数量关系为___________； 实践发现 (2)当点在内且三点共线时，如图2，求证：； 拓展延伸 (3)当点在外且三点共线时，如图3，探究之间的数量关系是___________； 解决问题 (4)若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，___________． 【压轴二】旋转变化中的函数综合 首先根据函数解析式，确定旋转前原图形关键点的坐标，再结合旋转中心、旋转方向与旋转角度，按照旋转坐标变换规律求出对应关键点旋转后的坐标，最后结合已知点坐标，利用待定系数法即可求出旋转后得到的函数解析式。此外要注意旋转方向不同，旋转后点的坐标符号也会不同，计算过程中要仔细核对符号，避免出现坐标错位导致最终解析式求解错误。验证时可以结合旋转性质，检查旋转前后对应线段长度是否一致，确认解析式正确即可。 【典例16】（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【变式16-1】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【变式16-2】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【变式16-3】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列现象中属于旋转的是（    ） A．鼠标在鼠标垫上滑动B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币 2．如图，把绕顶点按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（   ） A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 5.如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 7.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于__________． 8.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转60°，得到，连接BM，那么BM的长是______． 9.如图，将绕直角顶点顺时针旋转90°后得到，连结，若，则______度． 10.如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ___________． 三 解答题 11.如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点顺时针旋转得到线段，（其中与对应） (1)在图中画出线段； (2)与所在的直线夹角为 ； (3)若是线段上的一点，则点旋转后对应点的坐标为 （用含的式子表示）． 12【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 13.（2025-2026苏省盐城八上月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 14.感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 15（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $