专题27.2反比例函数的图像和性质（14大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统整合反比例函数图像性质、k几何意义及综合应用，通过“典例+变式”提炼解题通法，培养抽象能力与推理意识，构建从基础到压轴的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模块（1-8）|1典例+3变式|k符号判断象限、增减性；待定系数法求解析式|从图像性质（概念）到k值计算（原理），形成“形-数”转化逻辑| |综合模块（9-11）|1典例+3变式|几何条件转化坐标；函数交点与方程、不等式结合|结合几何与一次函数，体现知识应用拓展| |微专题/压轴|1典例+3变式|k几何意义求面积；割补法与规律探究|深化面积问题，培养几何直观与创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.2反比例函数的图像和性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 判断反比例函数图像所在象限 模块9 结合几何图形求反比例函数的解析式 模块2 根据反比例函数图像确定k的/取值范围 模块10 反比例函数与一次函数的交点问题 模块3 识别反比例函数图像 模块11反比例函数与一次函数结合图像解不等式 模块4 判断反比例函数的增减性 微专题1根据比例系数k的几何意义求图形面积 模块5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小 微专题2根据图形面积求k的值 模块6根据反比例函数的增减性比较自变量的大小 压轴1反比例函数背景下的面积规律与阴影面积 模块7 根据反比例函数的增减性求参数 通关检测·实战演练 模块8 已知点的坐标求反比例函数的解析式 知识梳理 · 基础溯源 知识点1反比例函数的图像 描点法画图象 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 知识点2反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点3 比例系数k的几何意义 1. 过图像上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图像上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点4 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤： 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点5 反比例函数与一次函数图像的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图像的交点： 当时，两函数图像有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图像无交点． 2. 反比例函数与一次函数图像的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图像有2个交点；两函数图像有1个交点；两函数图像没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图像解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图像，图像在上面的函数值大；图像在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 模块通关·举一反 三 【模块一】判断反比例函数图像所在象限 判断反比例函数y=k/x（k≠0）图像所在象限，关键是看比例系数k的符号。当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大。 【典例1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图像特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【变式1-1】反比例函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图像中，是函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】定义新运算：，例如：，，则的图像是（　　） A． B． C． D． 【模块二】根据反比例函数图像确定k的取值范围 这类问题通常给出反比例函数图像所在象限、增减性或图像经过点的位置，要求反推出k的取值范围。解题时，可先依据图像位置确定k的符号：若双曲线的两支分别位于第一、第三象限，或在每个象限内y随x的增大而减小，则k＞0；若双曲线的两支分别位于第二、第四象限，或在每个象限内y随x的增大而增大，则k＜0。若图像经过某一点（a，b），则可利用k＝ab直接求出具体数值，并由ab的符号检验该点所在象限与图像位置是否一致；若只知该点所在的象限，则只能确定k的符号，不能确定具体数值。需要注意的是，反比例函数中k≠0，所以k的取值范围不能包含0；增减性只能在每一个象限内单独使用，不能跨象限比较； 【典例2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图像在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【变式2-1】若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的值是（    ） A．1 B．0或1 C．0或2 D．4 【变式2-2】如图是三个反比例函数的图像的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k1＜k2＜k3 C．k2＞k3＞k1 D．k1＝k2＞k3 【变式2-3】如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第二象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【模块三】 识别反比例函数图像 在同一坐标系中识别这三类函数图像，首先要抓住各自的基本形状：一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是两支曲线构成的双曲线，二次函数的图像则是一条抛物线。遇到较复杂的组合图时，识别时还要结合解析式中系数的符号是否与图像特征一致，例如直线从左向右上升时一次项系数为正，下降时为负；抛物线的开口方向由二次项系数正负决定；双曲线所在象限则与反比例系数正负对应。若一时难以确定，可在图中选取一个坐标明确的点代入解析式进行检验，或先根据某一图像的明显特征确定一个参数的符号，再检验该符号与其他图像是否相容。 【典例3】在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数与（）在同一平面直角坐标系内的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】．一台印刷机每年可印刷的书本数量 y （万册）与它的使用时间 x （年）成反比例关系,当 x =2 时,y = 10,则 y 与 x 的函数图像大致是（       ） A．B．C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图像大致是（   ）． A． B． C． D． 【模块四】 判断反比例函数的增减性 反比例函数的增减性判断，应紧扣比例系数k的符号，并始终限定在每一个象限内进行。当k＞0时，图像的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图像的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。若给出的是图像上两个点的坐标，必须先判断这两个点是否位于同一象限：同在一个象限内时，可直接根据k的符号利用增减性比较y值大小；两点分别位于不同象限时，不能直接套用上述增减性结论，而应先根据点所在象限判断y的正负，再比较大小。若解析式中k的值未知，但已知某一象限内两点横坐标的大小及对应y值的大小关系，可据此反推出k的符号；若已知图像经过某一点，则可先由坐标求出k，再进一步判断增减性。需要注意，反比例函数在x=0处没有定义，增减性只能在两支曲线各自所在的连续区间内分别讨论，不能跨过原点把不同象限的两点直接比较。 【典例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图像不经过第二象限    ④图像不经过第四象限 【变式4-1】对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ）． A．点在它的图像上 B．它的图像在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式4-2】学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题： （1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小； （2）y的值有可能等于3； （3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3； （4）当y＞0时，x＞0或x＜－． 你认为真命题是 (  ) A．（1）（3) B．（1）（4) C．（1）（3）（4) D．（2）（3）（4) 【变式4-3】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图像上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【模块五】 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小 比较反比例函数图像上若干点对应的函数值大小时，应先确定k的符号，并逐一判断各点所在象限。对于同一象限内的两点，若k＞0，则横坐标较大的点对应的函数值较小；若k＜0，则横坐标较大的点对应的函数值较大。对于分处不同象限的两点，不能直接比较横坐标大小，而应先由k的符号判断各点函数值的正负：k＞0时，位于第一象限的点函数值为正，位于第三象限的点函数值为负；k＜0时，位于第二象限的点函数值为正，位于第四象限的点函数值为负。正数总大于负数，因此这种情况下可直接得出大小关系。若k的值未知，可先根据其中一个点的横、纵坐标求出k，或由两点在同一象限内横坐标大小与函数值大小的对应关系反推出k的符号，再按上述方法比较。若比较的点较多或含有字母参数，宜先根据横坐标的符号确定各点可能所在象限，必要时结合图像草图将点按象限分组，再分别比较。必须强调的是，反比例函数的增减性只能在同一象限内使用，不能跨象限套用，也不能忽略x=0处函数无定义这一限制。 【典例5】（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图像上，且，则____．（填“”或“〈”或“=”） 【变式5-1】若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，，是反比例函数图像上的点，且，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】函数y＝的图像上有两点、，针对y1与 y2的大小关系，三人的说法如下，甲：若，则；   乙：若，则；丙：若，则．下列判断正确的是（    ） A．只有甲错 B．只有丙对 C．甲、丙都对 D．甲、乙、丙都错 【模块六】根据反比例函数的增减性比较自变量的大小 比较自变量的大小时，通常已知的是各点对应的函数值关系，需要反过来确定横坐标的大小，同样应先明确k的符号，并判断各点所在象限。若两点在同一象限内，当k＞0时，y随x增大而减小，因此函数值较大的点对应的横坐标较小；当k＜0时，y随x增大而增大，因此函数值较大的点对应的横坐标也较大。若两点分别位于不同象限，则不能直接由函数值大小推出自变量大小，而应先根据函数值的正负判断各点所在象限，再结合各象限内自变量本身的符号进行比较。例如k＞0时，函数值为正的点必在第一象限，其横坐标为正；函数值为负的点必在第三象限，其横坐标为负，正数总大于负数，因此可得出自变量大小关系。若k的值未知，可先由已知点坐标求出k，或根据某两点在同一象限内函数值大小与横坐标大小之间的对应关系反推出k的符号，再按上述思路处理。当涉及多个点或含有字母参数时，宜先将各点按函数值的正负分组，确定可能所在的象限，再在同一象限内部依据增减性比较。需要注意的是，反比例函数的增减性只能在各自象限内分别使用，跨象限时不能简单比较， 【典例6】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若点，，在反比例函数的图像上，则，，，的大小关系（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】若点，都在反比例函数（k是常数）的图像上，且，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【模块七】根据反比例函数的增减性求参数 根据增减性求参数时，首先应明确反比例函数解析式中比例系数与待定参数之间的关系。若比例系数是含参数的式子，如 y=(m+1)/x，则“在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小”可直接转化为 m+1＞0，解这个不等式即可得到参数的取值范围。若题目给出的是同一象限内两点的横坐标大小与函数值大小关系，必须先确认两点的横坐标同号，再根据比例系数的符号与增减性的对应关系列出含参数的不等式。例如已知 x₁＜x₂＜0 且 y₁＜y₂，说明在第三象限内 y 随 x 的增大而增大，此时比例系数为负，由此可求得参数范围；若 y₁＞y₂，则比例系数为正，参数范围相应改变。反过来，若两点的横坐标异号，则两点分处不同象限，不能依据函数值大小直接推出比例系数的符号，也就不能据此求参数。需要注意的是，当题目只给出“当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大”时，这仅表明第一象限内递增，同样等价于比例系数为负；若给出的条件是某支曲线经过的象限，则仍需回到比例系数符号与象限的对应关系上判断参数范围。求参数的具体数值时，常将已知点坐标代入解析式先求出参数，再回代检验是否满足题设中的增减性条件，避免出现不符合图像特征的增根。 【典例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若，两点在反比例函数的图像上，满足，则t的取值范围是______． 【变式7-1】．已知反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_______． 【变式7-2】设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7-3】反比例函数过点，，若，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【模块八】已知点的坐标求反比例函数的解析式 求反比例函数解析式的基本方法是待定系数法。反比例函数的解析式一般可设为y=k/x（k≠0），因此只需要确定比例系数k的值。当已知图像上某一点的坐标时，将该点的横坐标x和纵坐标y代入解析式，即可由k=xy求出k，进而写出解析式。 若已知点的坐标中含有字母，应首先利用坐标非零且k≠0确定字母的取值范围，再结合题目中给出的象限位置、增减性等其他条件求出字母的值，最后代回检验解析式是否合理。此外，如果题目先给出关于原点对称的点、点到坐标轴的距离等信息，应先准确求出对应点的坐标，并注意横、纵坐标的符号，再代入解析式求k，避免因符号判断错误导致解析式出错。 【典例8】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中的（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若反比例函数的图像经过点，则下列各点在该函数图像上的为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在三个不同的象限，若反比例函数的图像经过其中两点，则的值为（    ） A． B．6 C．或6 D． 【模块九】结合几何图形求反比例函数的解析式 结合几何图形求反比例函数解析式时，关键是把图形中的面积、线段长度、对称关系等几何条件转化为图像上某一点的坐标，再用待定系数法求k。常见情形是过图像上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，因此可由已知矩形面积先确定|k|，再结合图像所在象限确定k的符号。若图形给出的是三角形面积，常利用面积公式先求出点到坐标轴的距离，进一步得到该点横、纵坐标的绝对值。这里要特别注意，线段长度只对应坐标的绝对值，不能直接当作坐标使用，必须根据点所在的象限判断横、纵坐标的符号，否则容易在代入时出现符号错误。此外，当图形中出现反比例函数图像与直线、坐标轴或其他几何图形的交点时，应先根据图形关系求出交点的横、纵坐标，再把交点坐标代入y=k/x求出k。运算过程中还要检验k≠0，并确认所得到的点确实在反比例函数图像上，避免把坐标轴上的点或图形中只是靠近图像的点误当作图像上的点使用。 【典例9】（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，直线与轴、轴分别相交于两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式9-2】．如图，已知，第一象限内的点在反比例函数的图像上，第四象限内的点在反比例函数的图像上．且，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．-6 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，轴与反比例函数的图像交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【模块十】反比例函数与一次函数的交点问题 求反比例函数与一次函数的交点时，通常把两个函数的解析式联立成方程组，通过代入消元转化为一元二次方程求解。 判断交点个数时，不能脱离判别式直接下结论。消元所得一元二次方程的判别式Δ，当Δ＞0时，两个函数图像有两个交点；当Δ=0时，两图像只有一个交点，即一次函数图象与反比例函数图像相切；当Δ＜0时，两图像没有交点。这里要特别注意，判别式反映的是消元后方程的解的个数，而反比例函数图像本身不与坐标轴相交，因此求出的横坐标不能为0，否则对应的交点不存在，需要舍去。 此外，求解过程中要密切关注k₁≠0这一前提。若题目给出的解析式中反比例函数比例系数含参数，且要求交点满足某种位置关系，应先根据交点条件求出参数值，再代回检验是否满足k₁≠0。当交点问题与不等式结合时，常利用图像法辅助判断，即在同一坐标系中画出两个函数图像，根据交点横坐标划分区间，再结合图像上下位置关系确定函数值的大小关系或不等式的解集，但写结论时必须明确区间的端点是否能够取到，特别是交点横坐标为0或无意义的情况要单独排除。 【典例10】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图像交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图像于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【变式10-1】如图，已知一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 【变式10-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【变式10-3】（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过反比例函数图像上点作轴垂线，垂足为点，交的图像于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【模块十一】 反比例函数与一次函数结合图像解不等式 利用图像解这类不等式时，首先要把不等式整理为比较两个函数值大小的形式，例如求 k₁/x＞k₂x+b 的解集，可以理解为在图像上寻找反比例函数图像位于一次函数图像上方的部分。作图后，先求出两图像交点的横坐标，同时把反比例函数无意义的 x=0 作为一个分界点。以这些交点横坐标和 x=0 为界，将 x 轴划分为若干个区间，再在每个区间内观察图像的上下位置：若反比例函数图像在直线上方，则该区间满足 y₁＞y₂；若在下方，则满足 y₁＜y₂。由于反比例函数图像有两支，不等式的解集常常由两个或多个不连续的区间组成，不能只写出其中一支对应的范围。 写解集时要特别注意端点能否取到。交点横坐标处两个函数值相等，若不等式含等号，则交点横坐标可以代入解集；若为不含等号的严格不等式，则交点横坐标不能取。而 x=0 一定不能取，因为反比例函数在 x=0 处无意义，图象与 y 轴不相交。最后还应结合原不等式的符号检验所取区间是否正确，避免因双曲线两支位置关系复杂而把某一支所在象限的大小关系写反。 【典例11】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图像相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图像上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【变式11-1】如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图像相交于两点A（1，n），B（﹣2，﹣1），与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出：不等式的解集是 　 　； (3)依据相关数据求△AOB的面积． 【变式11-2】已知函数（，为常数且）.已知当时，；当时，. 请参照学习函数的过程和方法对该函数进行如下探究： （1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量取值范围； （2）请在下列平面直角坐标系中补全该函数的图像； （3）请你在上方直角坐标系中画出函数的图像，结合上述函数的图像，写出不等式的解集. 【变式11-3】在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图像是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图像而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”“曲线下方”“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”“曲线下方”“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图像，直接写出m的取值范围． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】根据比例系数k的几何意义求图形面积 利用比例系数 k 的几何意义求图形面积，核心是抓住“过反比例函数图像上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|”这一基本结论。若图形是直角三角形，即由该点与原点以及该点向一条坐标轴所作的垂线段围成，则其面积等于 |k| 的一半。 当图形由反比例函数图像上的多个点或与其他函数图像、坐标轴共同围成时，一般不能直接套用矩形面积的结论，而要把图形转化为若干个与 |k| 有关的规则图形面积的和或差。常用的方法是先分别求出反比例函数图像上各点向坐标轴作垂线所形成的矩形或三角形面积，再通过割补法计算目标图形的面积。 【典例12】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）反比例函数和的函数图像如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【变式12-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图像于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 【变式12-3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图像经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【微专题二】 根据图形面积求k的值 由图形面积求 k 的值，通常先根据图形结构把已知面积转化为含 |k| 的式子，再通过方程求出 |k|，最后结合图像位置确定 k 的符号。若图形是过双曲线上一点向两坐标轴作垂线形成的矩形，则面积 S=|k|；若是向一条坐标轴作垂线并与原点构成的直角三角形，则面积 S=1/2|k|。当图形由两支双曲线上的点共同围成，或与坐标轴、一次函数图像等组合在一起时，应先将目标图形割补成若干个基本矩形、三角形，再分别用 |k| 表示各部分面积，建立面积方程求解。 【典例13】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【变式13-1】如图，已知双曲线经过矩形的边、上的点、，其中，，且四边形的面积为6，则的值为____． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的点C，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图像上一点，轴于点，与反比例函数图像交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比例函数背景下的面积规律与阴影面积 反比例函数背景下的阴影面积问题，通常以双曲线上一点或两点向坐标轴作垂线形成的矩形、三角形为基本图形，并与坐标轴或一次函数图像组合成不规则阴影部分。解题时往往先根据图形结构，把阴影部分割补成若干个与 |k| 直接相关的基本图形，再分别表示各部分面积，最后通过面积的和差关系列出方程或直接求值。 处理阴影面积时，常用的方法是割补法等积变形和坐标法。割补法是把不规则阴影补成规则矩形或三角形，或用规则图形减去空白部分；等积变形则是利用反比例函数图像的对称性以及平行线间的等积性质，把阴影面积转化为更易用 |k| 表示的形式。坐标法的关键是设出双曲线上关键点的横坐标，再代入解析式得到纵坐标，从而用字母表示相关线段长度。 此外，用面积条件求 k 或判断图形面积规律时，还必须区分 k 与 |k|：面积始终对应 |k|，求出 |k| 后要结合图像所在象限确定 k 的符号；若题目只给出面积大小而未限定点所在象限，k 通常有两个互为相反数的值，需要分类讨论。 【典例14】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【变式14-1】如图是函数 与 在第二象限内的图像，点在的图像上，轴于点A，轴于点B，分别交的图像于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式14-2】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【变式14-3】如图，点，，，…在x轴上，且，分别过点，，，…作y轴的平行线与反比例函数的图像分别交于点，，，…，分别过点，，，…作x轴的平行线，分别与y轴交于点，，，…，连接，，，…，那么图中从左到右第2023个阴影部分的面积为______． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.（2025·山东济南·三模）已知点，在反比例函数的图像上，若当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图像交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 3.若点， ， 都在反比例函数上，且，则， ， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4.如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限图像上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴（点B在点A右侧），连接OB，若OB平分∠AOX，且点B的坐标是（8，4），则k的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 5.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图像经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.已知反比例函数，当时，y的取值范围是 ． 7.已知，两点都在反比例函数的图像上，且，则 （填“＞”或“＜”） 8.2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       9.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图像分别为曲线，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是___________． 10.（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 三解答题 11.．已知关于x的反比例函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)判断该反比例函数图像经过的象限； (3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？ 12有这样一个问题：探究函数的图像和性质．小奥根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________； （2）下表是与的几组对应值，则的值为______，的值为______； … 1 2 3 4 5 … … 2 … （3）如右图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图像； （4）进一步探究发现，该函数图像在第一象限内的最低点的坐标是．结合函数图像，写出该函数的其他两条性质：①_________，②_________． 13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于，两点，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数图像，直接写出关于的不等式的解集： (3)已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 14.（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图像上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图像上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此事是的角平分线． 15已知函数请对该函数进行如下探究学习： （1）写出函数自变量x的取值范围：__________． （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 3 4 5 6 … y … m 2 3 3 2 n … 其中m=__________，n=__________； （3）请在平面直角坐标系中，描点连线，画出该函数的函数图像； （4）根据函数图像，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：__________． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.2反比例函数的图像和性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 判断反比例函数图像所在象限 模块9 结合几何图形求反比例函数的解析式 模块2 根据反比例函数图像确定k的/取值范围 模块10 反比例函数与一次函数的交点问题 模块3 识别反比例函数图像 模块11反比例函数与一次函数结合图像解不等式 模块4 判断反比例函数的增减性 微专题1根据比例系数k的几何意义求图形面积 模块5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小 微专题2根据图形面积求k的值 模块6根据反比例函数的增减性比较自变量的大小 压轴1反比例函数背景下的面积规律与阴影面积 模块7 根据反比例函数的增减性求参数 通关检测·实战演练 模块8 已知点的坐标求反比例函数的解析式 知识梳理 · 基础溯源 知识点1反比例函数的图像 描点法画图象 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 知识点2反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点3 比例系数k的几何意义 1. 过图像上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图像上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点4 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤： 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点5 反比例函数与一次函数图像的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图像的交点： 当时，两函数图像有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图像无交点． 2. 反比例函数与一次函数图像的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图像有2个交点；两函数图像有1个交点；两函数图像没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图像解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图像，图像在上面的函数值大；图像在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 模块通关·举一反 三 【模块一】判断反比例函数图像所在象限 判断反比例函数y=k/x（k≠0）图像所在象限，关键是看比例系数k的符号。当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大。 【典例1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图像特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数 ， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限． 【变式1-1】反比例函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中，当k＞0时，函数的图像在一、三象限，当k＜0时，反比例函数的图像在二、四象限，即可求解．． 【详解】解：由，， ∴函数图像在二、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像的识别，掌握反比例函数的图像的性质是解题的关键． 【变式1-2】下列图像中，是函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数的图像是双曲线，根据、的取值来确定函数的图像所在的象限． 【详解】解：函数中的， 该函数图像经过第一、三象限； 又无论取何值，都有， 函数的图像关于轴对称，即它的图像经过第一、二象限． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像．注意，的取值范围是：． 【变式1-3】定义新运算：，例如：，，则的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意确定函数关系式，再根据反比例函数图像的性质得出图像即可． 【详解】解：根据题意可知， 的图像位于第一象限，的图像位于第二象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与性质，理解新定义是解题的关键． 【模块二】根据反比例函数图像确定k的取值范围 这类问题通常给出反比例函数图像所在象限、增减性或图像经过点的位置，要求反推出k的取值范围。解题时，可先依据图像位置确定k的符号：若双曲线的两支分别位于第一、第三象限，或在每个象限内y随x的增大而减小，则k＞0；若双曲线的两支分别位于第二、第四象限，或在每个象限内y随x的增大而增大，则k＜0。若图像经过某一点（a，b），则可利用k＝ab直接求出具体数值，并由ab的符号检验该点所在象限与图像位置是否一致；若只知该点所在的象限，则只能确定k的符号，不能确定具体数值。需要注意的是，反比例函数中k≠0，所以k的取值范围不能包含0；增减性只能在每一个象限内单独使用，不能跨象限比较； 【典例2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图像在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【答案】，取整数，此时解析式为 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，根据反比例函数图像在第二、四象限，可得 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵反比例函数图像在第二、四象限 解得： 取整数，此时解析式为（答案不唯一）. 【变式2-1】若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的值是（    ） A．1 B．0或1 C．0或2 D．4 【答案】A 【分析】先将反比例函数解析式变形为，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】反比例函数的解析式变形为：， 则根据题意，可得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、图像和性质，掌握反比例函数的图像与性质是解答本题的关键． 【变式2-2】如图是三个反比例函数的图像的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k1＜k2＜k3 C．k2＞k3＞k1 D．k1＝k2＞k3 【答案】C 【分析】由图像知k1＜0，k2＞0，k3＞0，又反比例函数y2的图像在反比例函数y3的图像的上方，故k2＞k3，即可判断. 【详解】解：∵反比例函数y1＝的图像在第二象限，反比例函数y2＝和y3＝的图像在第一象限， ∴k1＜0，k2＞0，k3＞0， ∵反比例函数y2＝的图像在反比例函数y3＝的图像的上方， ∴k2＞k3， ∴k1＜k3＜k2． 故选C． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的k值含义. 【变式2-3】如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第二象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意以及函数图像，当函数图像经过点可求得的最大值，经过点可求得的最小值，据此求解即可 【详解】依题意，当函数图像经过点可求得的最大值，, 经过点可求得的最小值，． ． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像与反比例函数的定义，理解题意，找到最值是解题的关键． 【模块三】 识别反比例函数图像 在同一坐标系中识别这三类函数图像，首先要抓住各自的基本形状：一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是两支曲线构成的双曲线，二次函数的图像则是一条抛物线。遇到较复杂的组合图时，识别时还要结合解析式中系数的符号是否与图像特征一致，例如直线从左向右上升时一次项系数为正，下降时为负；抛物线的开口方向由二次项系数正负决定；双曲线所在象限则与反比例系数正负对应。若一时难以确定，可在图中选取一个坐标明确的点代入解析式进行检验，或先根据某一图像的明显特征确定一个参数的符号，再检验该符号与其他图像是否相容。 【典例3】在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图像，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图像在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图像在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式3-1】函数与（）在同一平面直角坐标系内的图像可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】A．函数y=ax﹣1的图像应该交于y轴的负半轴，故错误； B．由函数y=ax﹣1的图像可知a＞0，由函数y（a≠0）的图像可知a＜0，错误； C．函数y=ax﹣1的图像应该交于y轴的负半轴，故错误； D．由函数y=ax﹣1的图像可知a＞0，由函数y（a≠0）的图像可知a＞0，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【变式3-2】．一台印刷机每年可印刷的书本数量 y （万册）与它的使用时间 x （年）成反比例关系,当 x =2 时,y = 10,则 y 与 x 的函数图像大致是（       ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：设y=（k≠0）， ∵当x=2时，y=10， ∴k=20， ∴y=， 则y与x的函数图像大致是D， 故选D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图像大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图像，正确理解题意并结合反比例函数图像与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图像所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图像在第一象限； 当时，，其图像在第二象限． 故选：B． 【模块四】 判断反比例函数的增减性 反比例函数的增减性判断，应紧扣比例系数k的符号，并始终限定在每一个象限内进行。当k＞0时，图像的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图像的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。若给出的是图像上两个点的坐标，必须先判断这两个点是否位于同一象限：同在一个象限内时，可直接根据k的符号利用增减性比较y值大小；两点分别位于不同象限时，不能直接套用上述增减性结论，而应先根据点所在象限判断y的正负，再比较大小。若解析式中k的值未知，但已知某一象限内两点横坐标的大小及对应y值的大小关系，可据此反推出k的符号；若已知图像经过某一点，则可先由坐标求出k，再进一步判断增减性。需要注意，反比例函数在x=0处没有定义，增减性只能在两支曲线各自所在的连续区间内分别讨论，不能跨过原点把不同象限的两点直接比较。 【典例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图像不经过第二象限    ④图像不经过第四象限 【答案】① 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质．画出图像，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小， 由图可知图像经过第二、三、四象限， 故①说法正确；②③④的说法错误； 故答案为：①． 【变式4-1】对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ）． A．点在它的图像上 B．它的图像在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】对于反比例函数，可得，时，，图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于反比例函数， A. 当时，，则点在它的图像上，故该选项正确，不符合题意； B. ，则它的图像在第二、四象限，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，随的增大而增大，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式4-2】学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题： （1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小； （2）y的值有可能等于3； （3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3； （4）当y＞0时，x＞0或x＜－． 你认为真命题是 (  ) A．（1）（3) B．（1）（4) C．（1）（3）（4) D．（2）（3）（4) 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐个分析判断即可. 【详解】y==3+，根据反比例函数可得当x＞0，y随x的增大而减小，是真命题；y的值不可能等于3，是假命题；当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3，是真命题；当y＞0时，x＞0或x＜－，是真命题. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的性质.掌握反比例函数的性质是解题的关键. 【变式4-3】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图像上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】先判断反比例函数图像的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图像位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 【模块五】 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小 比较反比例函数图像上若干点对应的函数值大小时，应先确定k的符号，并逐一判断各点所在象限。对于同一象限内的两点，若k＞0，则横坐标较大的点对应的函数值较小；若k＜0，则横坐标较大的点对应的函数值较大。对于分处不同象限的两点，不能直接比较横坐标大小，而应先由k的符号判断各点函数值的正负：k＞0时，位于第一象限的点函数值为正，位于第三象限的点函数值为负；k＜0时，位于第二象限的点函数值为正，位于第四象限的点函数值为负。正数总大于负数，因此这种情况下可直接得出大小关系。若k的值未知，可先根据其中一个点的横、纵坐标求出k，或由两点在同一象限内横坐标大小与函数值大小的对应关系反推出k的符号，再按上述方法比较。若比较的点较多或含有字母参数，宜先根据横坐标的符号确定各点可能所在象限，必要时结合图像草图将点按象限分组，再分别比较。必须强调的是，反比例函数的增减性只能在同一象限内使用，不能跨象限套用，也不能忽略x=0处函数无定义这一限制。 【典例5】（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图像上，且，则____．（填“”或“〈”或“=”） 【答案】< 【分析】本题根据反比例函数的性质，先判断比例系数的符号，得到函数在时的增减性，再结合给定的的大小关系比较的大小． 【详解】反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ，即两点都在第二象限， ． 【变式5-1】若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，图像在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小进行判断． 【详解】 ∴该反比例函数的图像在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解答本题的关键． 【变式5-2】若，，是反比例函数图像上的点，且，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图像的两个分支在一、三象限， ∵， ∴点、在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵在第三象限随的增大而减小， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，反比例函数图像的位置及函数的增减性．先根据题意判断出函数图像所在的象限及三点所在的象限是解题的关键． 【变式5-3】函数y＝的图像上有两点、，针对y1与 y2的大小关系，三人的说法如下，甲：若，则；   乙：若，则；丙：若，则．下列判断正确的是（    ） A．只有甲错 B．只有丙对 C．甲、丙都对 D．甲、乙、丙都错 【答案】A 【分析】甲：根据函数图像上点的特征解决； 乙：根据该图像的对称性来解决； 丙：根据该图像的点的坐标特征解决． 【详解】解：甲：若，由图像可得，都大于0，两个正数的大小关系无法比较， 故甲错误； 乙：从该函数图像可以看出，两个分支关于轴对称，当两个点横坐标互为相反数时，纵坐标必相等， 故乙正确； 丙：从该函数图像可以看出，点、都在轴右边，随的增大而减少， 故丙正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题关键是了解反比例函数系数和数形结合得解题思想． 【模块六】根据反比例函数的增减性比较自变量的大小 比较自变量的大小时，通常已知的是各点对应的函数值关系，需要反过来确定横坐标的大小，同样应先明确k的符号，并判断各点所在象限。若两点在同一象限内，当k＞0时，y随x增大而减小，因此函数值较大的点对应的横坐标较小；当k＜0时，y随x增大而增大，因此函数值较大的点对应的横坐标也较大。若两点分别位于不同象限，则不能直接由函数值大小推出自变量大小，而应先根据函数值的正负判断各点所在象限，再结合各象限内自变量本身的符号进行比较。例如k＞0时，函数值为正的点必在第一象限，其横坐标为正；函数值为负的点必在第三象限，其横坐标为负，正数总大于负数，因此可得出自变量大小关系。若k的值未知，可先由已知点坐标求出k，或根据某两点在同一象限内函数值大小与横坐标大小之间的对应关系反推出k的符号，再按上述思路处理。当涉及多个点或含有字母参数时，宜先将各点按函数值的正负分组，确定可能所在的象限，再在同一象限内部依据增减性比较。需要注意的是，反比例函数的增减性只能在各自象限内分别使用，跨象限时不能简单比较， 【典例6】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点,,都在反比例函数的图像上， ∴将点代入解析式得：， ∴， ∵将点代入解析式得：， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 【变式6-1】若点，，在反比例函数的图像上，则，，，的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数中k＞0， ∴函数图像的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵点，，都在反比例函数的图像上， ∵，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【变式6-2】若点，都在反比例函数（k是常数）的图像上，且，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出分子始终为负数，再根据k＜0，在同一象限时反比例函数y随x增大而增大得知，A、B两点在不同象限，即A在第二象限，B在第四象限，从而得出a的范围． 【详解】∵， ∴， ∴该反比例函数图像在第二和第四象限中均有随着的增加而递增， 又∵，， ∴A、B分别在不同的两个象限，即A在第二象限，B在第四象限， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性．解题的关键在于明确函数图像所在的象限及变化． 【变式6-3】若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数的解析式y＝，分别求得x1，x2，x3的值，然后再来比较它们的大小． 【详解】解：∵点A（x1，−6），B（x2，−2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图像上， ∴x1=−2，x2=−6，x3＝6; 又∵−6＜−2＜6， ∴x2＜x1＜x3; 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．经过反比例函数y＝的某点一定在该函数的图像上． 【模块七】根据反比例函数的增减性求参数 根据增减性求参数时，首先应明确反比例函数解析式中比例系数与待定参数之间的关系。若比例系数是含参数的式子，如 y=(m+1)/x，则“在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小”可直接转化为 m+1＞0，解这个不等式即可得到参数的取值范围。若题目给出的是同一象限内两点的横坐标大小与函数值大小关系，必须先确认两点的横坐标同号，再根据比例系数的符号与增减性的对应关系列出含参数的不等式。例如已知 x₁＜x₂＜0 且 y₁＜y₂，说明在第三象限内 y 随 x 的增大而增大，此时比例系数为负，由此可求得参数范围；若 y₁＞y₂，则比例系数为正，参数范围相应改变。反过来，若两点的横坐标异号，则两点分处不同象限，不能依据函数值大小直接推出比例系数的符号，也就不能据此求参数。需要注意的是，当题目只给出“当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大”时，这仅表明第一象限内递增，同样等价于比例系数为负；若给出的条件是某支曲线经过的象限，则仍需回到比例系数符号与象限的对应关系上判断参数范围。求参数的具体数值时，常将已知点坐标代入解析式先求出参数，再回代检验是否满足题设中的增减性条件，避免出现不符合图像特征的增根。 【典例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若，两点在反比例函数的图像上，满足，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，确定函数图像所在象限，再根据判断两个点所在的象限，根据象限内点的坐标特征列出关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：在反比例函数中 ， ， ， 反比例函数的图像在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限， 根据象限内点的坐标特征，得 ， 解不等式组得． 【变式7-1】．已知反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意，可得该函数图像在二、四象限，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像上两点，当时，有， ∴该函数图象在二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据增减性判断出反比例数图像所在的象限是解题关键． 【变式7-2】设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】首先根据k与x的取值分析函数，的增减性，根据增减性确定最值，进而求解． 【详解】解：∵k＞0，2≤x≤3， ∴y1 随x的增大而减小，y2 随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y1 取最大值，最大值为=a①； 当x＝2时，y2 取最小值，最小值为−＝a−4②； 由①②得a＝2，k＝4， ∴ak＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值． 【变式7-3】反比例函数过点，，若，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图像所经过的象限和函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0）中的k2＞0， ∴反比例函数y=（k≠0）的图像经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵y2＞y1，a+1＞a， ∴点A位于第三象限，点B位于第一象限， ∴， 解得-1＜a＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解题时，要掌握反比例函数解析式中系数与图象的关系． 【模块八】已知点的坐标求反比例函数的解析式 求反比例函数解析式的基本方法是待定系数法。反比例函数的解析式一般可设为y=k/x（k≠0），因此只需要确定比例系数k的值。当已知图像上某一点的坐标时，将该点的横坐标x和纵坐标y代入解析式，即可由k=xy求出k，进而写出解析式。 若已知点的坐标中含有字母，应首先利用坐标非零且k≠0确定字母的取值范围，再结合题目中给出的象限位置、增减性等其他条件求出字母的值，最后代回检验解析式是否合理。此外，如果题目先给出关于原点对称的点、点到坐标轴的距离等信息，应先准确求出对应点的坐标，并注意横、纵坐标的符号，再代入解析式求k，避免因符号判断错误导致解析式出错。 【典例8】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求反比例函数的解析式，判断点是否在反比例函数图像上，把反比例函数的解析式求出来是解题的关键． 利用反比例函数中的特点，先根据已知点求出，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可求解． 【详解】解：点在双曲线上， ， 双曲线上任意一点的横纵坐标乘积为12， A选项：，不符合题意； B选项：，符合题意； C选项：，不符合题意； D选项：，不符合题意； 该双曲线经过选项B对应的点． 故选：B． 【变式8-1】若反比例函数的图像经过点，则下列各点在该函数图像上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用反比例函数的图像经过点，求得的值，即可求得的解析式，然后找到四个选项中横纵坐标乘积等于的，即可求解 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，解得， ∴， 即， ∵只有点中， ∴只有选项B中的点在函数上， 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图像和性质，理解掌握反比例函数图像上点坐标特征是解题的关键． 【变式8-2】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可． （2）先求出时对应的的值，再根据反比例函数图像特征写出时，自变量x的相应的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴该曲线所表示的函数的解析式； （2）把代入得，， 由图像得，当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在三个不同的象限，若反比例函数的图像经过其中两点，则的值为（    ） A． B．6 C．或6 D． 【答案】B 【分析】利用点过反比例函数图像，将点坐标代入求出反比例解析式，再求出m即可． 【详解】根据反比例函数图像性质，若k>0，则反比例函数图像过第一、三象限；若k<0，则反比例函数图像过第二、四象限． 若点A（－1，2）在反比例函数，则，解得k=－2，反比例函数图像过第二、四象限．故点C需在第四象限，与点C横坐标为－6矛盾． 若点B（2，3）在反比例函数图像上，则，解得k=6，反比例函数图像过第一、三象限．故点C需在第三象限，将点C（－6，m）代入反比例函数解析式得，解得m=－1． 综上，k的值为6． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像性质，能熟练掌握反比例函数k值影响图像所在象限是解题的关键． 【模块九】结合几何图形求反比例函数的解析式 结合几何图形求反比例函数解析式时，关键是把图形中的面积、线段长度、对称关系等几何条件转化为图像上某一点的坐标，再用待定系数法求k。常见情形是过图像上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，因此可由已知矩形面积先确定|k|，再结合图像所在象限确定k的符号。若图形给出的是三角形面积，常利用面积公式先求出点到坐标轴的距离，进一步得到该点横、纵坐标的绝对值。这里要特别注意，线段长度只对应坐标的绝对值，不能直接当作坐标使用，必须根据点所在的象限判断横、纵坐标的符号，否则容易在代入时出现符号错误。此外，当图形中出现反比例函数图像与直线、坐标轴或其他几何图形的交点时，应先根据图形关系求出交点的横、纵坐标，再把交点坐标代入y=k/x求出k。运算过程中还要检验k≠0，并确认所得到的点确实在反比例函数图像上，避免把坐标轴上的点或图形中只是靠近图像的点误当作图像上的点使用。 【典例9】（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 【变式9-1】如图，直线与轴、轴分别相交于两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先求出点，可得，再过点D作轴于点E，证明，可得，可求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 过点D作轴于点E， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点， 把代入得：， 解得：． 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函解析式的求法，利用全等三角形的性质求出线段的长度得到点的坐标是解题的关键． 【变式9-2】．如图，已知，第一象限内的点在反比例函数的图像上，第四象限内的点在反比例函数的图像上．且，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．-6 【答案】D 【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴，易得△ACO∽△ODB，根据比例式求出BD，OD,可得点B的坐标，代入即可求出k的值. 【详解】如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，设A（a,），B（b，） ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△ACO∽△ODB ∴ ∵∠OAB=60°， ∴tan∠OAB= ∴ 即 ∴ab=2 ∴k=-ab=-×2=-6， 故选D 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，轴与反比例函数的图像交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的图像上点的特征是解题的关键． 【模块十】反比例函数与一次函数的交点问题 求反比例函数与一次函数的交点时，通常把两个函数的解析式联立成方程组，通过代入消元转化为一元二次方程求解。 判断交点个数时，不能脱离判别式直接下结论。消元所得一元二次方程的判别式Δ，当Δ＞0时，两个函数图像有两个交点；当Δ=0时，两图像只有一个交点，即一次函数图象与反比例函数图像相切；当Δ＜0时，两图像没有交点。这里要特别注意，判别式反映的是消元后方程的解的个数，而反比例函数图像本身不与坐标轴相交，因此求出的横坐标不能为0，否则对应的交点不存在，需要舍去。 此外，求解过程中要密切关注k₁≠0这一前提。若题目给出的解析式中反比例函数比例系数含参数，且要求交点满足某种位置关系，应先根据交点条件求出参数值，再代回检验是否满足k₁≠0。当交点问题与不等式结合时，常利用图像法辅助判断，即在同一坐标系中画出两个函数图像，根据交点横坐标划分区间，再结合图像上下位置关系确定函数值的大小关系或不等式的解集，但写结论时必须明确区间的端点是否能够取到，特别是交点横坐标为0或无意义的情况要单独排除。 【典例10】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图像交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图像于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 【变式10-1】如图，已知一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图像的交点坐标满足两函数的解析式． 如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点， ∵，反比例函数， ∴， ∵一次函数y的值随x值的增大而增大， ∴点在A，B之间， ∴， 故答案为． 【变式10-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图像即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图像过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图像过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数交于点，， ∴由图像可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 【变式10-3】（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过反比例函数图像上点作轴垂线，垂足为点，交的图像于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图像法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图像上点作轴垂线，垂足为点，交的图像于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图像可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 【模块十一】 反比例函数与一次函数结合图像解不等式 利用图像解这类不等式时，首先要把不等式整理为比较两个函数值大小的形式，例如求 k₁/x＞k₂x+b 的解集，可以理解为在图像上寻找反比例函数图像位于一次函数图像上方的部分。作图后，先求出两图像交点的横坐标，同时把反比例函数无意义的 x=0 作为一个分界点。以这些交点横坐标和 x=0 为界，将 x 轴划分为若干个区间，再在每个区间内观察图像的上下位置：若反比例函数图像在直线上方，则该区间满足 y₁＞y₂；若在下方，则满足 y₁＜y₂。由于反比例函数图像有两支，不等式的解集常常由两个或多个不连续的区间组成，不能只写出其中一支对应的范围。 写解集时要特别注意端点能否取到。交点横坐标处两个函数值相等，若不等式含等号，则交点横坐标可以代入解集；若为不含等号的严格不等式，则交点横坐标不能取。而 x=0 一定不能取，因为反比例函数在 x=0 处无意义，图象与 y 轴不相交。最后还应结合原不等式的符号检验所取区间是否正确，避免因双曲线两支位置关系复杂而把某一支所在象限的大小关系写反。 【典例11】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图像相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图像上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察函数图像特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【详解】（1）解：观察函数图像，点A左侧，反比例函数的图像在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 【变式11-1】如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图像相交于两点A（1，n），B（﹣2，﹣1），与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出：不等式的解集是 　 　； (3)依据相关数据求△AOB的面积． 【答案】(1)， (2)x＞1或-2＜x＜0； (3) 【分析】（1）把B（2，-1）代入可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图像得出不等式kx+b＞的解集即可； （3）利用面积的和差关系可求解． （1) ∵反比例函数的图像过B（﹣2，﹣1）， ∴m＝（﹣2）×（﹣1）＝2， ∴反比例函数的解析式为：， ∵点A（1，n）在反比例函数图像上， ∴1×n＝2， ∴n＝2， ∴点A的坐标为（1，2）， 将点A，B坐标代入一次函数y＝kx+b中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为：y＝x+1． （2) 根据图像可知，不等式的解集是：x＞1或-2＜x＜0． 故答案为：x＞1或-2＜x＜0； （3) 过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如下图所示： ∵一次函数y＝x+1与y轴相交于点C， ∴C点坐标为（0，1）， ∴OC＝1， ∵A点坐标为（1，2）， ∴AG＝1， ∵B点坐标为（﹣2，﹣1）， ∴BH＝2， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 【变式11-2】已知函数（，为常数且）.已知当时，；当时，. 请参照学习函数的过程和方法对该函数进行如下探究： （1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量取值范围； （2）请在下列平面直角坐标系中补全该函数的图像； （3）请你在上方直角坐标系中画出函数的图像，结合上述函数的图像，写出不等式的解集. 【答案】（1）；（2）图见解析；（3）图见解析，或 【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论； （2）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，利用描点法画出图像即可． （3）利用图像即可解决问题． 【详解】解：（1）把，，，，代入，得 ，解得：，∴ 自变量的取值范围为. （2）画出函数图像如图所示： （3）画出函数的图像如图所示： 由图像可得与y=2x的交点为（0，0），（2，4），可得解集是：或. 【点睛】本题考查了反比例函数图像及性质，函数图像上点的特点；掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 【变式11-3】在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图像是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图像而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”“曲线下方”“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”“曲线下方”“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①曲线上方；②曲线下方 (2)①见解析；②1＜m＜8且m≠2 【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图像可得到答案； （2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案． 【详解】（1）解：①在函数y图像上，当x＝3时，y， ∴点P（3，1）在曲线上方； ②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方． 故答案为：①曲线上方；②曲线下方． （2）解：①由题意知，区域W满足， ∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图： ②当点A（1，2）在区域W内时，， 得1＜m＜2， 当点B（2，4）在区域W内时，， 得2＜m＜8， ∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2． 【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】根据比例系数k的几何意义求图形面积 利用比例系数 k 的几何意义求图形面积，核心是抓住“过反比例函数图像上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k|”这一基本结论。若图形是直角三角形，即由该点与原点以及该点向一条坐标轴所作的垂线段围成，则其面积等于 |k| 的一半。 当图形由反比例函数图像上的多个点或与其他函数图像、坐标轴共同围成时，一般不能直接套用矩形面积的结论，而要把图形转化为若干个与 |k| 有关的规则图形面积的和或差。常用的方法是先分别求出反比例函数图像上各点向坐标轴作垂线所形成的矩形或三角形面积，再通过割补法计算目标图形的面积。 【典例12】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）反比例函数和的函数图像如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：∵点在函数上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，， ∴，， ∴四边形的面积为． 故答案为：2． 【变式12-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图像上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图像上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 【变式12-2】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图像于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，，故； 将代入得出，，故； ∴， ∴的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图像上点的坐标特征，根据已知条件得出的值解此题的关键． 【变式12-3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图像经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【微专题二】 根据图形面积求k的值 由图形面积求 k 的值，通常先根据图形结构把已知面积转化为含 |k| 的式子，再通过方程求出 |k|，最后结合图像位置确定 k 的符号。若图形是过双曲线上一点向两坐标轴作垂线形成的矩形，则面积 S=|k|；若是向一条坐标轴作垂线并与原点构成的直角三角形，则面积 S=1/2|k|。当图形由两支双曲线上的点共同围成，或与坐标轴、一次函数图像等组合在一起时，应先将目标图形割补成若干个基本矩形、三角形，再分别用 |k| 表示各部分面积，建立面积方程求解。 【典例13】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得，然后再面积差求出，由此即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图像上， ∴，即， 又∵，即， ∴ ∴， ∴． 【变式13-1】如图，已知双曲线经过矩形的边、上的点、，其中，，且四边形的面积为6，则的值为____． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的k几何意义，得出S△COE=S△OAF=|k|，再根据矩形的性质及CE=CB，AF=AB，可求出S△COE，进而求出k的值． 【详解】连接OB， ∵OABC是矩形， ∴= =， ∵E、F在反比例函数的图像上， ∴==|k|， ∴===3， ∵CE=CB，即BE=2CE， ∴==×3=|k|， ∴k=3(k＞0) 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像和性质，反比例函数k的几何意义以及矩形的性质，掌握三角形面积之间的关系是解决问题的关键． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的点C，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性可得点A的横坐标为，点C的横坐标为，进而表示点A、C的纵坐标，由，可求出CH，即点A、C纵坐标的差，可求出k的值． 【详解】解： 如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）与反比例函数y=−（k≠0，x＜0）的图像关于y轴对称，延长GF交x轴于M，设AB交y轴于N． ∴，NH=OM=， ∵点A、C在反比例函数y=的图像上， ∴A，C， 又∵， ∴AB•CH=1， ∵AB=3， ∴CH=， ∵点A、C纵坐标的差是CH， 即， 解得k=， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图像和性质是解决问题的前提． 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图像上一点，轴于点，与反比例函数图像交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 故选：． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图像上一点，轴于点，与反比例函数图像交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比例函数背景下的面积规律与阴影面积 反比例函数背景下的阴影面积问题，通常以双曲线上一点或两点向坐标轴作垂线形成的矩形、三角形为基本图形，并与坐标轴或一次函数图像组合成不规则阴影部分。解题时往往先根据图形结构，把阴影部分割补成若干个与 |k| 直接相关的基本图形，再分别表示各部分面积，最后通过面积的和差关系列出方程或直接求值。 处理阴影面积时，常用的方法是割补法等积变形和坐标法。割补法是把不规则阴影补成规则矩形或三角形，或用规则图形减去空白部分；等积变形则是利用反比例函数图像的对称性以及平行线间的等积性质，把阴影面积转化为更易用 |k| 表示的形式。坐标法的关键是设出双曲线上关键点的横坐标，再代入解析式得到纵坐标，从而用字母表示相关线段长度。 此外，用面积条件求 k 或判断图形面积规律时，还必须区分 k 与 |k|：面积始终对应 |k|，求出 |k| 后要结合图像所在象限确定 k 的符号；若题目只给出面积大小而未限定点所在象限，k 通常有两个互为相反数的值，需要分类讨论。 【典例14】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，， ， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 【变式14-1】如图是函数 与 在第二象限内的图像，点在的图像上，轴于点A，轴于点B，分别交的图像于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图像和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图像上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图像上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式14-2】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3)∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 【变式14-3】如图，点，，，…在x轴上，且，分别过点，，，…作y轴的平行线与反比例函数的图像分别交于点，，，…，分别过点，，，…作x轴的平行线，分别与y轴交于点，，，…，连接，，，…，那么图中从左到右第2023个阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论． 【详解】解：根据题意可知， ∵轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 则， ∵， ∴，， ∴， ∴第n的阴影部分的面积是：， ∴图中从左到右第2023个阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.（2025·山东济南·三模）已知点，在反比例函数的图像上，若当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图像上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质构建不等式解决问题．根据反比例函数的性质，结合点的位置关系，分析函数所在象限及其增减性，进而确定参数的取值范围． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图像上， 又∵当时，有， ∴函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图像交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征,相似三角形的性质与判定，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方,进而代入数据，即可求解． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图像上，点B在反比例函数图像上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 故选：D． 3.若点， ， 都在反比例函数上，且，则， ， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图像分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4.如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限图像上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴（点B在点A右侧），连接OB，若OB平分∠AOX，且点B的坐标是（8，4），则k的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由AB∥x轴即可得∠1＝∠B，得出OA＝AB，过点A作AC⊥x轴于点C，设A（a，4），则AB＝8﹣a，根据勾股定理表示出OA，根据OA＝AB列出关于a的方程，解方程即可求得A的坐标，将点A的坐标代入解析式求解可得． 【详解】∵AB作∥x轴， ∴∠2=∠B， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠B， ∴OA＝AB， 过点A作AC⊥x轴于点C， ∵点B的坐标是（8，4）， ∴AC＝4， 设A（a，4），则AB＝8﹣a， ∴OA=， ∴＝8﹣a， 解得a＝3， ∴点A的坐标为（3，4）， ∵点A是反比例函数y＝在第一象限图像上一点， ∴k＝3×4＝12， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，等腰三角形的判定和性质，求得A点的坐标是解题的关键． 5.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图像经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据c的取值范围即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为（c,0） ∵点的坐标为，轴于点， ∴P（） ∵函数的图像经过点 ∴ ∴c=2k-4 ∵0≤c≤4 ∴0≤2k-4≤4 ∴ 故选：C 【点睛】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键． 二 填空题 6.已知反比例函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像的性质，k>0时，，y随x的增大而减小，可知y的取值范围． 【详解】解：由反比例函数图像性质可知，在中，当时，y随x的增大而减小， ∵当x=1时，y=3， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及其图像的性质，利用其性质求因变量的取值范围，掌握其在对应象限的增减性是考查的重点． 7.已知，两点都在反比例函数的图像上，且，则 （填“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上，且， ∴在每个象限内， y随x的增大而增大， ． 故答案为：＞． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题关键． 8.2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 9.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图像分别为曲线，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是___________． 【答案】 【分析】设点，可得：，，，，计算出矩形 面积及三角形面积，，即可得到阴影部分面积． 【详解】解：设点，可得 ，，，， ∴，， ，， ∴ ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 10.（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图像上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 故答案为：． 三解答题 11.．已知关于x的反比例函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)判断该反比例函数图像经过的象限； (3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？ 【答案】(1) (2)第一、三象限 (3)函数值y随x的增大而减小 【分析】（1）根据图像经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可； （3）根据反比例函数图像在各自象限内的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：图像经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． （3）解：当时，函数值y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质，掌握关系式求法及其性质是解题的关键． 12有这样一个问题：探究函数的图像和性质．小奥根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________； （2）下表是与的几组对应值，则的值为______，的值为______； … 1 2 3 4 5 … … 2 … （3）如右图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图像； （4）进一步探究发现，该函数图像在第一象限内的最低点的坐标是．结合函数图像，写出该函数的其他两条性质：①_________，②_________． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4）①时，随的增大而增大，②函数图像关于原点对称 【分析】（1）由x在分母上，可得出； （2）将对应的x，y值代入求解即可； （3）连点成线，画出函数图像； （4）观察函数图像，找出函数的两条性质即可． 【详解】解：（1）∵x在分母上， ∴． 故答案为：； （2）当时，，解得，，取； 当时， 故答案为：，； （3）函数图像如下： （4）根据函数图像可知：（1）当时，y随x的增大而增大；（2）函数图像关于原点对称． 故答案为：①时，随的增大而增大，②函数图像关于原点对称 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图像及性质，正比例函数图像及性质，题目比较基础，易于解决． 13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于，两点，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数图像，直接写出关于的不等式的解集： (3)已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)． (2)或． (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、利用函数图像解不等式、三角形面积计算等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先根据反比例函数解析式和、两点的纵坐标，求出、两点的坐标；再将、两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和，得到一次函数解析式． （2）将不等式变形为；结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方（含交点）时的取值范围． （3）先求出直线AB与轴交点的坐标，再求出点（关于轴的对称点）的坐标；利用（或）计算三角形面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． ∵点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． ∵一次函数过、， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵， ∴， ∵，． ∴由图像可知，解集为或． （3）解：如图， ∵直线：与轴交于， ∴当时，， ∴． ∵是关于轴的对称点， ∴， ∴． ． 14.（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图像上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图像上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此事是的角平分线． 【答案】(1)； (2)不变；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点B的坐标为，轴，得出点A的纵坐标为3，代入反比例函数解析式，求出点A的横坐标即得出答案；先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）延长交轴于点D，延长交x轴于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据求出结果即可； （3）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，轴， ∴点A的纵坐标为3， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点C的横坐标为2， 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为． （2）解：四边形的面积不变，理由如下： 延长交轴于点D，延长交x轴于点E，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点B在反比例函数的图像上， ∴， ∵点A、C在反比例函数的图像上， ∴， ∴． ∴四边形的面积不变； （3）证明：过点C作于点H， ∵点， ∴，即， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 15已知函数请对该函数进行如下探究学习： （1）写出函数自变量x的取值范围：__________． （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 3 4 5 6 … y … m 2 3 3 2 n … 其中m=__________，n=__________； （3）请在平面直角坐标系中，描点连线，画出该函数的函数图像； （4）根据函数图像，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：__________． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，由此即可求得答案； （2）把、分别代入解析式即可求得、的值； （3）描点、连线，画出该函数的函数图像； （4）根据关于的方程有两个不相等的实数根，则与函数的图像有两个交点即可得到结论． 【详解】解：（1）函数，自变量的取值范围是：； 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）如图所示： （4)∵， ∴， ∵， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了带绝对值的函数图像上点的坐标特征，求函数值，图像的画法等知识，正确地画出图像是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $