第4章 三角形 单元测试卷-2025-2026学年湘教版数学八年级上册

三角形单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 解：A、2+3 ＝ 5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意； B、4+4 ＝ 8＞7，能构成三角形，符合题意； C、6+2 ＝ 8，不能组成三角形，不符合题意； D、10+3 ＝ 13＜15，不能组成三角形，不符合题意．故选：B． 2.如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 解：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝105°﹣75°＝30°．故选：A． 3.安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（　　） A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性 解：安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是三角形的稳定性．故选：D． 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 解：如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B． 5.下列命题中正确的是（　　） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；故选：A． 6.如图，点A，D，C，F依次在同一直线上，△ABC≌△DEF（点A，B分别与点D，E对应）．若AC＝10， CD＝4，则CF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AC﹣DC＝DF﹣DC，即AD＝CF， ∵CD＝4，AC＝10，∴CF＝AD＝10﹣4＝6.故选：B． 7.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11或15 解：∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣5＝0，解得m＝3，n＝5， 当m＝3作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：3+3+5＝11， 当n＝5作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：3+5+5＝13． 故选：C． 8.若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．故选：A． 9.在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意. 故选：C． 10.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C 在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每 本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE， ∴∠BDC＝∠CEA＝90°， ∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°， ∴∠ACE＝∠DBC， 在△BDC和△CEA中， ， ∴△BDC≌△CEA（AAS）； 由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm． ∴DE＝DC+CE＝24cm， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是　 　． 解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，即2＜x＜18.故答案为：2＜x＜18． 12.如图所示，∠1的度数是 　． 解：∵120°＝50°+∠1，∴∠1＝70°.故答案为：70°． 13.如图，AD是△ABC的中线，且BD＝2，AB+AC＝6，则△ABC的周长是 　． 解：由AD是△ABC的中线，BD＝2，得BC＝2BD＝4． 由三角形的周长公式，得△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+4＝10.故答案为：10． 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，CD⊥AB于D，则∠ACD＝　 　度． 解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，CD⊥AB于D，∴∠ABC+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90° ∴∠ACD＝∠ABC＝25°．故答案为：25°． 15.命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　． 解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上.故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上． 16.如图，已知点D，C在线段BE上，且∠ABC＝∠FED＝90°，CB＝DE，要使△ABC≌△FED，可以添 加的条件是　 ． 解：在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SAS）， ∴△ABC≌△FED，可以添加的条件是AB＝FE（答案不唯一）． 故答案为：AB＝FE（答案不唯一）． 17.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为　 　． 解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8， ∵3+3＝6＜8， ∴此时不能组成三角形； ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、8、8， 此时能组成三角形， 所以，周长＝3+8+8＝19， 综上所述，这个等腰三角形的周长是19． 故答案为：19． 18.如图，已知∠AOM＝30°，∠ABM＝60°，点P是射线BM上一动点（P不与B重合），当∠OAP ＝ 时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 解：∵∠AOM＝30°，∠ABM＝60°，∴∠OAB＝∠ABM﹣∠AOM＝30°， 由题意，分以下两种情况： 以点A，O，P为顶点的等腰三角形， ①当∠OAP＝∠AOM＝30°时，△AOP是等腰三角形，则∠OAP＝∠OAB， ∵点P是射线BM上一动点， ∴此时点P与点B重合，不符题意，舍去； ②当∠OAP＝∠OPA时，△AOP是等腰三角形，则； ③当∠OPA＝∠AOM＝30°时，△AOP是等腰三角形， 则∠OAP＝180°﹣∠OPA﹣∠AOM＝120°； 以点A，B，P为顶点的等腰三角形， ∵∠ABM＝60°， ∴当△ABP是等腰三角形时，△ABP一定是等边三角形， ∴∠BAP＝60°， ∴∠OAP＝∠OAB+∠BAP＝90°； 综上，符合条件的∠OAP的度数为75°或90°或120°， 故答案为：75°或90°或120°． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图所示，已知△ABE≌△ACD． （1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． 解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD， ∴BE＝6，DE＝2，∴CE＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10； （2）∵△ABE≌△ACD， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠BAC＝75°，∠BAD＝30°， ∴∠BAE＝∠CAD＝45°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°． 20．（6分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BA的垂线与AD 的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形． 证明：∵∠C＝90°，∴∠ADC+∠DAC＝90°， ∵∠BDE＝∠ADC， ∴∠BDE+∠DAC＝90°， ∵EB⊥AB， ∴∠E+∠BAE＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAC， ∴∠E＝∠BDE， ∴BE＝BD， ∴△BDE是等腰三角形． 21.（8分）已知，等腰三角形ABC中，两边长a，b满足（a﹣5）2+|b﹣10|＝0，求△ABC的周长． 解：∵（a﹣5）2+|b﹣10|＝0，（a﹣5）2≥0，|b﹣10|≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣10＝0， 解得：a＝5，b＝10， ①当等腰三角形的腰长为5，三角形的三边长为：5、5、10， 5+5＝10，不能组成三角形； ②当等腰三角形的腰长为10，三角形的三边长为：5、10、10， 5+10＞10，能组成三角形， 综上所述：△ABC的周长为5+10+10＝25． 22．（8分）（1）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝ BC． 证明：∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠C， 在△BDE和△ACB中， ， ∴△BDE≌△ACB（AAS）， ∴DE＝BC． （2）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝∠AED， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AD． 23．（9分）如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 解：（1）∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠BAD， 由条件可知∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°， ∴∠CAE＝∠BAD＝40°； （2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9， AD+DF+AF+BF+EF+BE ＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE ＝AD+DE+AB+BE＝10+9+10+4.5＝33.5． 24．（9分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 解：（1）证明：∵FG∥AE， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠D＝100°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4∠ABD＝40°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣40°＝50°． 25．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角 形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止 运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 26．（10分）如图，已知：点P是△ABC内一点，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB． （1）如图①，若∠ABC＝54°，∠ACB＝56°，则∠BPC＝　 　°； （2）如图①，若∠A＝70°，求∠BPC的度数； （3）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线，相交于点Q．若∠A＝m，求∠BQC的度数．（用含m的式子表示） 解：（1）∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，∠ABC＝54°，∠ACB＝56°， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣27°﹣28°＝125°， 故答案为：125； （2）∵∠A＝70°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°， ∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB， ∴（角平分线的性质）， ∴ . （3）由三角形外角的性质可得∠MBC＝∠A+∠ACB，∠NCB＝∠A+∠ABC， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝180°+m， ∵BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB， ∴（角平分线的性质）， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 2.如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3.安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（　　） A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 5.下列命题中正确的是（　　） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 6.如图，点A，D，C，F依次在同一直线上，△ABC≌△DEF（点A，B分别与点D，E对应）．若AC＝10， CD＝4，则CF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足|m﹣3|+（n﹣5）2＝0，那么它的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11或15 8.若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 9.在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 10.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C 在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每 本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是　 　． 12.如图所示，∠1的度数是 　． 13.如图，AD是△ABC的中线，且BD＝2，AB+AC＝6，则△ABC的周长是 　． 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，CD⊥AB于D，则∠ACD＝　 　度． 15.命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　． 16.如图，已知点D，C在线段BE上，且∠ABC＝∠FED＝90°，CB＝DE，要使△ABC≌△FED，可以添 加的条件是　 ． 17.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为　 　． 18.如图，已知∠AOM＝30°，∠ABM＝60°，点P是射线BM上一动点（P不与B重合），当∠OAP ＝ 时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图所示，已知△ABE≌△ACD． （1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． 20．（6分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BA的垂线与AD 的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形． 21.（8分）已知，等腰三角形ABC中，两边长a，b满足（a﹣5）2+|b﹣10|＝0，求△ABC的周长． 22．（8分）（1）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝ BC． （2）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 23．（9分）如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 24．（9分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 25．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角 形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止 运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 26．（10分）如图，已知：点P是△ABC内一点，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB． （1）如图①，若∠ABC＝54°，∠ACB＝56°，则∠BPC＝　 　°； （2）如图①，若∠A＝70°，求∠BPC的度数； （3）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线，相交于点Q．若∠A＝m，求∠BQC的度数．（用含m的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $