辽宁鞍山市部分普通高中2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

高三10月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B．且 C． D． 4．已知是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若为锐角，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最小正周期为 C．是的一条对称轴 D．向右平移个单位得到的函数是奇函数 10．已知数列是首项为的正项等比数列，若，，是直线上不同的三点，为平面内任意一点，且，则（ ） A． B．数列的前6项和为 C．数列是递减的等差数列 D．若，则数列的前项和的最大值为1 11．设函数，，下列命题，正确的是（ ） A．函数在上单调递增，在单调递减 B．不等关系成立 C．若时，总有恒成立，则 D．若函数有两个极值点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的前项和为，若，，则______． 13．中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 14．已知在中，，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是____________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，，，，成等比数列．为公比为2的等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 16．（15分）在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， （1）求角的值： （2）若，边上的中线，求的面积． 17．（15分）已知函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且 （3）求证：有唯一零点 18．（17分）已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围以及的值． 19．（17分）已知． （1）时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）证明：（，，其中无理数） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月联考数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1-5．CDBBA 6-8．ACC 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．AB 10．BC 11．AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．． 15．13分 【详解】（1）数列是等差数列，设首项为公差为 因为，所以① 1分 因为，，成等比数列，所以 3分 因为，所以② 4分 由①②得，， 5分 所以． 6分 （2）因为数列为公比为2的等比数列， 由得， 7分 所以， 8分 则， 9分 所以 10分 所以 ． 13分 注：计算错误扣1分 16．15分 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 1分 则， 2分 即，故， 3分 因为，所以，即， 4分 因为，所以，故， 6分 又因为，所以． 7分 注：不写角范围扣1分 （2）（方法一） 延长到，使得，又，故四边形为平行四边形， 所以，， 又由得， 9分 所以在中，由余弦定理得， 11分 即， 12分 整理得，即，解得， 13分 所以． 15分 （方法二） 因为是边上的中线，所以． 8分 两边同时平方得：． 9分 已知，，即，， 且． 11分 代入可得． 整理得，即，解得， 13分 所以． 15分 17．15分 【详解】（1）由，则， 1分 将代入，可得， 2分 切线斜率， 3分 则，整理可得． 4分 （2）由，，， 5分 设，，在递增， 6分 ，， 7分 知有， 8分 且在小于0，在大于0， 在递增，在递减，在处取最大值， 9分 ． 10分 （3），，，在上单调递减， 11分 ，又，所以，，， 13分 又， 14分 故，且唯一，故函数有唯一零点． 15分 注：1．第三问也可参变分离，结合图像，但是需要步骤严谨，酌情给分 2．零点存在定理左端点没找到，酌情扣分 18．17分【详解】 （1）函数，． 1分 因为，，所以函数的最小正周期， 2分 所以，解得 3分 ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为 4分 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； 5分 （2）当， 由，则， 6分 由，则，可得， 7分 所以 ． 8分 （3）由题意可知， 9分 因为是的一个零点，即，所以， 10分 所以（）或（）， 故或，又，（舍）， 故，则， 12分 当时，，设，则， 则原式可化为， 13分 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点，作出在上的图象如下图所示，所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数的取值范围为， 15分 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ， 16分 即，整理得． 17分 19．17分 【详解】（1）令， 1分 知在区间上单调递增，上单调递减，在单调递增． 3分 故有极大值，极小值． 5分 （2） 7分 当时，上单调递减，单调递增，单调递减 8分 当时，单调递减 9分 当时，上单调递减，单调递增，单调递减 10分 （3）由（Ⅰ）当时，在上单调递减． 11分 当时 12分 ，即 13分 15分 16分 ． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $