期中真题重组卷（福建专用，新教材人教版九上第25～27章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共40分） 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(25-26九上·福建漳州龙文区第一中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26九上·福建福州平潭县城关中学教研片平潭城关中学等校·期中)数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26九上·福建泉州剑影实验学校·期中)把方程 化成 的形式，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26九上·福建厦门思明区金鸡亭中学·期中)若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．(25-26九上·福建漳州平和县·期中)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与的取值有关 D．没有实数根 6．(25-26九上·福建福州连江县·期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．(25-26九上·福建泉州石狮·期中)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的6000辆增加到九月份的8000辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．(25-26九上·福建泉州永春县五中片区·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 9．(25-26九上·福建三明宁化县·期中)矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 10．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（   ） ①； ②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若，则．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．(25-26九上·福建漳州长泰区·期中)若是方程的一个根，则m的值为______． 12．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)已知：二次函数的自变量x与函数y的部分对应值，如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 1 0 … 则二次函数的顶点坐标是_________ 13．(25-26九上·福建福州平潭县平潭一中教研片·期中)二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 14．(25-26九上·福建厦门思明区第五中学·期中)读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 15．(25-26九上·福建福州第一中学·期中)已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，及0，从小到大的关系是______． 16．(25-26九上·福建莆田城厢区四校联考·期中)若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为_________． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分,24题12分，25题14分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(25-26九上·福建福州第一中学·期中)解下列方程： (1)； (2)． 18．(25-26九上·福建福州教育学院附属中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 19．(25-26九上·福建南平政和县·期中)某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． (1)请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 20．(25-26九上·福建三明宁化县·期中)已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 21．(25-26九上·福建三明永安·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 22．(25-26九上·福建福州第十九中学·期中)天天同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化，已知波长与频率之间存在一定的关系，下表是它们的部分对应值，用式子表示波长与频率的关系，并求当时，此电磁波的波长？ 频率 波长 23．(25-26九上·福建厦门思明区双十中学·期中)抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 24．(25-26九上·福建厦门第六中学·期中)如图，由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．其中，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，在反应距离内汽车的运动可近似为匀速直线运动．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．那么制动非安全距离与哪些因素有关呢？ 小明和同伴组成兴趣小组对其进行研究，查阅资料获得以下材料： 材料一：某研究所随机抽取了20万人，进行人体的反应时间研究，获得人体的反应时间数据如表1： 表1 反应时间（） 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 人数（万人） 1 4 5 6 1 2 1 材料二：制动距离与刹车时的车速和路面的光滑程度有关． ①在干燥沥青路面上，当车速小于时，制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的关系如表2： 表2 刹车时的车速（） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离（） 0 4 16 36 64 ②湿滑沥青路面制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的函数关系式为：． 根据上述材料完成以下探究任务： 任务一：请在图2的坐标系中，以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知汽车在干燥沥青路面的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； 任务二：某款新型汽车在上市之前需要进行制动测试． （1）若该款汽车的某次干燥沥青路面测试中，测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （2）该种汽车在湿滑沥青路面易出现“水滑”现象，制动效率将大幅降低．若某日下雨后，测试员此时以的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为，请判断此时是否发生“水滑”现象？并说明理由． 25．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共40分） 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(25-26九上·福建漳州龙文区第一中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建省漳州市龙文区第一中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意； C．中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．(25-26九上·福建福州平潭县城关中学教研片平潭城关中学等校·期中)数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建福州市平潭县城关中学教研片平潭城关中学等校2025-2026学年九年级上学期期中适应性练习数学试题 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．(25-26九上·福建泉州剑影实验学校·期中)把方程 化成 的形式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建省泉州市剑影实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，利用配方法把方程转化方程即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 故选：． 4．(25-26九上·福建厦门思明区金鸡亭中学·期中)若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省厦门市思明区金鸡亭中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷 【详解】解：， 该抛物线开口向上，且对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小， ，，三点都在二次函数的图象上， 关于对称轴的对称点也在二次函数的图象上， ，当时，y随x的增大而减小， ． 故选：B． 5．(25-26九上·福建漳州平和县·期中)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【来源】福建省漳州市平和县2025-2026学年 九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行排除选项即可． 【详解】解：由一元二次方程可知： ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 6．(25-26九上·福建福州连江县·期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省福州市连江县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象的性质． 先由抛物线开口向上确定B、D错误，再根据函数图象判断一次函数的a与二次函数的a的符号是否一致即可． 【详解】解：由可得抛物线开口向上，故B、D错误，不符合题意； A、直线中，由抛物线与y轴负半轴相交可得，则，故正确，符合题意； C、直线中，由抛物线与y轴负半轴相交可得，则，矛盾，故不正确，不符合题意； 故选：A． 7．(25-26九上·福建泉州石狮·期中)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的6000辆增加到九月份的8000辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省泉州市石狮市2025-2026学年上学期期中考九年级数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据连续增长模型，每月增长率为x，则九月份销量为七月份的倍，然后问题可求解． 【详解】解：设每月增长率为x， ∴八月份销量为，九月份销量为， 又∵九月份销量为8000辆， ∴； 故选B． 8．(25-26九上·福建泉州永春县五中片区·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建省泉州市永春县五中片区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 9．(25-26九上·福建三明宁化县·期中)矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 10．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（   ） ①； ②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若，则．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】福建省福州立志中学2025-2026学年上学期九年级期中考数学试卷 【详解】解：抛物线开口方向向下， ， ∵对称轴为直线， ∴， 抛物线交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点， 方程的两个根为，，故③错误； ， 两点分布在对称轴的两侧， ， 到对称轴的距离等于到对称轴的距离， ，故④正确， 综上所述正确的有：①②④，共有3个， 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．(25-26九上·福建漳州长泰区·期中)若是方程的一个根，则m的值为______． 【答案】4 【来源】福建省漳州市长泰区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查方程的解，根据方程解的定义，将代入原方程求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 故答案为：4． 12．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)已知：二次函数的自变量x与函数y的部分对应值，如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 1 0 … 则二次函数的顶点坐标是_________ 【答案】 【来源】福建省福州立志中学2025-2026学年上学期九年级期中考数学试卷 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式．由表格数据可知，二次函数经过点和，因此对称轴为直线，顶点横坐标为，代入函数表达式求纵坐标． 【详解】解：∵ 二次函数经过点和， ∴ 对称轴为直线，即顶点横坐标为． 设二次函数为， 代入点，得， 即， 解得， ∴ ． 当时，， 即顶点坐标为． 故答案为： 13．(25-26九上·福建福州平潭县平潭一中教研片·期中)二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 【答案】 【来源】福建省福州市平潭县平潭一中教研片2025--2026学年九年级上学期期中适应性练习数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 14．(25-26九上·福建厦门思明区第五中学·期中)读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 【答案】 【来源】福建省厦门市思明区第五中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可求解． 【详解】解：个位数字为，则十位数字为， ∴， 故答案为： ． 15．(25-26九上·福建福州第一中学·期中)已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，及0，从小到大的关系是______． 【答案】 【来源】福建省福州第一中学2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 由反比例函数（）的性质可知，当时，；当时，，且函数在时单调递增，根据已知条件，可判断、、与的大小关系及顺序． 【详解】解：， 当时，；当时，， 由，得，而，， 又函数在时单调递增，且， ， ． 故答案为． 16．(25-26九上·福建莆田城厢区四校联考·期中)若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为_________． 【答案】 【来源】福建省莆田市城厢区四校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，得出二次函数的图象开口向上．根据，得出，从而得出线段的中点的横坐标大于1，根据，得出点A到对称轴的距离较近，对称轴在直线的左侧或重合，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：对于二次函数， ， 该二次函数的图象开口向上． 又∵点，均在该二次函数的图象上，且， ，即线段的中点的横坐标大于1， 又∵， 点A到对称轴的距离较近， 对称轴在直线的左侧或重合， ， ． 故答案为：． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分,24题12分，25题14分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(25-26九上·福建福州第一中学·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【来源】福建省福州第一中学2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 18．(25-26九上·福建福州教育学院附属中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【来源】福建省福州教育学院附属中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 19．(25-26九上·福建南平政和县·期中)某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． (1)请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 【答案】(1) (2)宽为16米 【详解】（1）解：∵其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，矩形场地的宽为米， ∴米， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：宽为16米． 20．(25-26九上·福建三明宁化县·期中)已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点在这个函数的图象上； (3)当时，的取值范围是． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 21．(25-26九上·福建三明永安·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 【答案】(1)2 (2) (3) 证明：依题意，设倍根方程的两根分别为，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ， 整理得：， 【来源】福建省三明市永安市2025-2026学年九年级上学期期中质量抽测试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，新定义， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“倍根方程”的定义，得，结合，，进行列式计算，即可作答． （2）根据是倍根方程，得出或，然后进行分类讨论，再代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，得出设倍根方程的两根分别为，．得出，，代入化简，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为， ∴另一个根为． 则，， ∴， 即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴该方程的两根为，． ∵是倍根方程， ∴或． 当，即时， ， 当，即时， ＝， ∴代数式． （3）略 22．(25-26九上·福建福州第十九中学·期中)天天同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化，已知波长与频率之间存在一定的关系，下表是它们的部分对应值，用式子表示波长与频率的关系，并求当时，此电磁波的波长？ 频率 波长 【答案】波长与频率的关系为；当时，波长为 【来源】 福建省福州第十九中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由波长与频率的乘积一定即可得出结论，再将代入所得的关系式进行计算即可．利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表格可以发现：， ∴波长与频率的关系为， 当时，， ∴波长与频率的关系为；当时，波长为． 23．(25-26九上·福建厦门思明区双十中学·期中)抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； (3)1.5 【来源】福建省厦门市思明区双十中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【详解】（1）解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； （2）略 （3）解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 24．(25-26九上·福建厦门第六中学·期中)如图，由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．其中，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，在反应距离内汽车的运动可近似为匀速直线运动．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．那么制动非安全距离与哪些因素有关呢？ 小明和同伴组成兴趣小组对其进行研究，查阅资料获得以下材料： 材料一：某研究所随机抽取了20万人，进行人体的反应时间研究，获得人体的反应时间数据如表1： 表1 反应时间（） 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 人数（万人） 1 4 5 6 1 2 1 材料二：制动距离与刹车时的车速和路面的光滑程度有关． ①在干燥沥青路面上，当车速小于时，制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的关系如表2： 表2 刹车时的车速（） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离（） 0 4 16 36 64 ②湿滑沥青路面制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的函数关系式为：． 根据上述材料完成以下探究任务： 任务一：请在图2的坐标系中，以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知汽车在干燥沥青路面的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； 任务二：某款新型汽车在上市之前需要进行制动测试． （1）若该款汽车的某次干燥沥青路面测试中，测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （2）该种汽车在湿滑沥青路面易出现“水滑”现象，制动效率将大幅降低．若某日下雨后，测试员此时以的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为，请判断此时是否发生“水滑”现象？并说明理由． 【答案】任务一：， 图象如图： 任务二：（1）该款汽车开始刹车时的速度为；（2）此时发生了“水滑”现象． 【来源】福建省厦门第六中学2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的应用． 任务一：利用待定系数法求得函数关系式为，再列表、描点、连线即可画出函数图象； 任务二：（1）将代入，求解即可； （2）当时，求得的值，再比较即可求解． 【详解】解：任务一：设函数关系式为， 将和代入得， 解得， ∴函数关系式为， 代入验证：， ∴点在函数上； ∴函数关系式为； 列表： 刹车时的车速（） 0 30 60 90 120 干燥沥青路面制动距离（） 0 4 16 36 64 湿滑沥青路面制动距离（） 0 9 33 72 任务二：（1）由题意得，则， 解得（负值已舍）， ∴该款汽车开始刹车时的速度为； （2）发生了“水滑”现象．理由如下： 当时，， ， ∴， ∴此时发生了“水滑”现象． 25．(25-26九上·福建福州立志中学·期中)如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)或． 【来源】福建省福州立志中学2025-2026学年上学期九年级期中考数学试卷 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）∵， 顶点坐标为， 当时， 解得： ∴，则 ∵，则 ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴到的距离等于到的距离， ∵，，设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，    设的解析式为，将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为， 解得：或 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或； （3）①当时，如图所示，过点作交于点， 当点与点重合时，是直角三角形， 当时，是直角三角形，    设交于点， ∵直线的解析式为， 则， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ ∵是锐角三角形 ∴； 当时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得：或（舍去） 由（2）可得时，    ∴ 综上所述，当是锐角三角形时，或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C A A A C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.4 13.1<x<4 14 10(x-3)+x=x2 15.为<0<y<为 16.b≥-2 三、解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，25题 14分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)(1)解： (2x+3)}-25=0 (2x+3)2=25 2x+3=±5 解得：=1，为=-4；…(4分) (2)解：2x2-4x-1=0 a=2,b=-4,c=-1 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△=b2-4ac=16+8=24>0, x=4±242±6 4 2 :=2*v6 2-V6 2, x2= 2.…(8分) 18.8分)(1)由意意可得：△=(2m-4(m+m)上0 解得：m≤0 即实数的取值范围是m≤0.…(84分) (2)由+号=12可得：(+)》-2=12 :+为=-2m.x5=m2+m （-2m'-2(m2+m)=12 解得：m=3或m=-2 ,m≤0 .m=-2 即m的值为-2.…(8分) 19.(8分)(1)解：其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，矩形场地的宽EF为x米， ,N=68-3x+2x2=(72-3x)米， (72-3x) 故答案为： …(4分) (2)解：由题意得： x(72-3x)=384 整理得：x2-24x+128=0, 解得x=8或x=16, 当x=8时，72-3x=72-3×8=48>36,不符合题意，舍去； 当x=16时，72-3x=72-3×16=24<36,符合题意： 答：宽EF为16米.…(8分) 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分)(1)解：：点4(2,3)在反比例函数y=元的图象上， :3 2 解得k=6, 6 ·反比例函数的解析式为y=x:…(2分) 6 (2)解：在y=中，当x=-1时，y= 6-6、 -1 B(-1,-6 点 在这个函数的图象上.…(5分) 6 (3)解：在y= x中， 当x=-3时，y=-2, 当x=-1时，y=6, 又，k=6>0, ∴当x<0时，y随x的增大而减小， 当-3<x<-1时，y的取值范围是6<y<-2.…(8分) 21.(8分)(1)解：设一元二次方程 x2-3x+c=0 0的一个根为， 2=2x ,另一个根为 则+x2=- -3,x=8=c, b a a x+2x=3 x=3 即 :=1名2 ,c=xx2=1×2=2 ;…(2分) 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：(-2mr-川=0(m≠0) :该方程的两根为5=2，戈=% m .(x-2(mr-n)=0(m≠0) 是倍根方程， 二4或m :m 1 =4,即n=4m时， 当 4m2-5mn+n2 =4m2-5m.4m+(4m)2=4m2-20m2+16m2=0 当1，即n州时 4m2-5mn+n2 =4m2-5m2+m2=0, 代数式4m2-5mn+n2=0.…(5分) ax2+bx+c=0(a≠0) (3)证明：依题意，设倍根方程 的两根分别为=k.名=2弘 :ar+hr+c=0(a≠0） b .+龙2=-0 a :.k+2k=-b k2k=c a’ a 3a, 2a9 整理得：2b2=9ac,…(8分) 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分)解：由表格可以发现：f=10×30=25×12=30×10=300, 1-300 波长九与频率∫的关系为∫，…(3分) 当f=45时，=30020。 =45=3m）,…(7分) 1=300 20 波长1与频率了的关系为=了，当了=45M时，波长2为3m.…(a0分 23.(10分)(1)解：a+b+c=0, ·图象过 ,0) ∴图象不过点C, 将点A(-l,4),B(0,-)代入抛物线， [a-b+c=4 得c=-1 a=3 b=-2 解得 c=-1' y=3x-2x-1,…(3分) (2)证明：~抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、-2k(k≠0)， x+5=6=-6.=-262-9 a, .da, 5/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2ab2+a2c=0(a≠0) .2b2+ac=0 …（6分) (3)解：将，0)代入得a+b+c=0①， ·抛物线的对称轴为直线x= 2+c-a 2 b 2+c-a .2a2 ∴.a2-2a-b-ac=0②， 由①+②得到a-ac-a+c=0, .a(a-c)-(a-c)=0 ∴.(a-ca-)=0 .a-c+0. .a=1 ∴.b+c=-1 :a+b+c=0且a>b≥c, ∴.c<0,b=-a-c, a>b,b≥c,a=1, .a>-a-c, .-2≤c<0. 将a=1,b=-a-c代入得a2+b2+c2=2c2+2c+2, 当e0s时，行合5G<0, .a2+b2+c2 有最小值1.5.…(10分) 24.(12分)解：任务一：设函数关系式为 y=ax2+bx 6/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 302a+30b=4 将(30,4)和(60,16)代入得60a+60b=16, 1 a=- 225 解得b=0· ∴函数关系式为= 1 代入(90,36)验证： 225 ×902=36 1 点(90,36)在函数片-25×上： ∴函数关系式为 225t: 列表： 刹车时的车速 0 30 60 90 120 x (km/h) 干燥沥青路面 制动距离” ( 0 16 36 64 m) 湿滑沥青路面 y2 制动距离 0 9 33 72 m) 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y(m) 80H V 70 60 50 40 30 20 10 O306090120150x(km/h) x2=25 任务二：(1)由题意得片=25，则225 解得x=75(负值已舍)， ∴.该款汽车开始刹车时的速度为5km/h;…(6分) (2)发生了“水滑”现象.理由如下： 当x=80km/h时，片25×802-256 1 9 %725×80+0×80-36150 2 30 9 256536 .99 <150 ∴此时发生了“水滑”现象.…‘(12分) 25.(14分)(1)解：将 点B(,0),C(0,3)代入y=r+r+c,得 1+b+c=0 c=3 b=-4 解得：c=3 y=x2-4x+3 ∴.抛物线解析式 ;…(4分) (2)y=x2-4x+3=(x-2}2-1 顶点坐标为 2,1) 8/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，x2-4x+3=0 x=1,x2=3 解得： :43,0) 则OA=3 .C(0,3) 则0C=3 ∴.△AOC是等腰直角三角形， SAPAC =SAARC ∴.P到AC的距离等于B到AC的距离， ·4(3,0)C(0,3) 设直线4C的解析式为'=c+3 .3k+3=0 解得：k=-1 ∴.直线AC的解析式为y=-x+3, 如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P, P D 设BC的解标式为”=x+d,将点BL,0 代入得， -1+d=0 解得：d=1 ∴.直线BP的解析式为y=-x+1, 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+1 y=x2-4x+3 x=1∫x=2 解得：y=0或y=-1 :P2-) PA=V(3-2)2+1P=V2,PB=V2-1+1=2,AB=3-1=2 PA+PB2=4B2 ∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°， 如图所示，延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交x轴于点E,则DA=PA,则符 合题意的点P在直线DE上， :△APB是等腰直角三角形，DE∥AC,AC⊥PD .∠DAE=∠BAP=45°PD⊥DE ∴，△ADE是等腰直角三角形， 4E=2AD=VAP=2 :E(5,0) 设直线DE的解析式为y=-x+e .-5+e=0 解得：e=5 ∴.直线DE的解析式为y=-x+5 y=-x+5 联立y=x2-4x+3 [3-17 [3+√17 x=- 2 2 解得： 7+7或 7-17 y= y= 2 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ）p3+匝，7-面 综上所述， …(9分) (3)①当a>0时，如图所示，过点C作CG1AC交x=2于点G, 当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形， 当∠A0C=90°时，△AC0是直角三角形， H 设AC交x=2于点H, ,直线AC的解析式为y=-x+3, 则2) CH=V2+(3-1)}=22 .∠CHG=∠OCH=45°， ∴.△CHG是等腰直角三角形， ·HG=V2CH=2x2V2=4 .G(2,5) 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设2(2,9），则40=1P+4,C02=22+(g-3}=g2-6g+13 4C2=32+32=18 ,18=92-6g+13+1P+g2 3-17 +V17 解得：9 2 （舍去)或9= 2 :△OAC是锐角三角形 3+V17 .2 <a<5 当a<0时，如图所示， A02+0C2=4C2 同理可得 即：18=g2-6g+13+1P+g2 3-17 解得：9 2一或93+7 2(舍去) 由(2)可得M上4C时，M(2,-) 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 l<a<3) 2 3+1 综上所述，当△QAC是锐角三角形时，2 <a<5t-1<a< 3-17 或 2.…(14分) 13/13