专题09 一元二次方程、二次函数、反比例函数的实际应用能力强化集训24大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题09 一元二次方程、二次函数、反比例函数的实际应用 能力强化集训24大题型 题型1 由实际问题列一元二次方程 题型13二次函数的实际应用---拱桥问题 题型2 一元二次方程的实际应用---传播问题 题型14二次函数的实际应用---投球问题 题型3一元二次方程的实际应用---增长率问题 题型15 二次函数的实际应用---喷水问题 题型4一元二次方程的实际应用---面积问题 题型16 二次函数的实际应用---动点运动问题 题型5一元二次方程的实际应用---数字问题 题型17二次函数的实际应用---其它问题 题型6一元二次方程的实际应用---商品销售问题 题型18 由实际问题列反比例函数解析式 题型7一元二次方程的实际应用---行程问题 题型19 反比例函数的实际应用---工程问题 题型8 一元二次方程的实际应用---循环问题 题型20反比例函数的实际应用---物理问题 题型9一元二次方程的实际应用---动点运动问题 题型21反比例函数的实际应用---销售问题 题型10由实际问题列二次函数的解析式 题型22反比例函数的实际应用---图形问题 题型11 二次函数的实际应用---面积问题 题型23 反比例函数的实际应用---其它问题 题型12 二次函数的实际应用---商品销售问题 题型24 反比例函数与一次函数的综合的实际应用 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由实际问题列一元二次方程（共3小题） 1．（26-27九年级上·四川宜宾·阶段检测）小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 一元二次方程的实际应用---传播问题（共3小题） 4．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 5．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 题型3一元二次方程的实际应用---增长率问题（共3小题） 7．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元． (1)求该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率； (2)若家庭年人均纯收入达到元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么年该贫困户是否能脱贫？ 8．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 9．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 题型4一元二次方程的实际应用---面积问题（共3小题） 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．求该小区四周的空地的宽度． 12．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 题型5一元二次方程的实际应用---数字问题（共3小题） 13．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 15．（23-24九年级上·山西临汾·阶段检测）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 题型6一元二次方程的实际应用---商品销售问题（共3小题） 16．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 17．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）佛小伴是山西大同的文创，设计灵感来自云冈石窟第六窟“七步生莲”石雕壁画，寓意长久相伴．云冈石窟景区文创店平均每天售出个佛小伴，每个盈利元．经市场调查发现，如果每个佛小伴降价元，那么日均销售量就增加个． (1)设每个佛小伴降价元，则每个佛小伴盈利_______ 元，每天可销售 个；（用含的代数式表示） (2)该文创店计划每天赢利元，且规定每个佛小伴单件降价幅度不超过元，那么每个佛小伴应降价多少元？ 18．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）年一款名为“哇库库（）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按元/个进行销售，平均每天可销售个．在降价幅度不超过元的情况下，若每个降价元，则平均每天可多售出个． (1)如果平均每天要盈利元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？ (2)平均每天盈利可以达到元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由． 题型7一元二次方程的实际应用---行程问题（共3小题） 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北9东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 20．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．在此过程中： (1)小球滚动到第3秒时速度是多少？ (2)小球滚动15米用了多少秒？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 21．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 题型8 一元二次方程的实际应用---循环问题（共3小题） 22．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 23．（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 24．（26-27九年级上·天津·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 题型9一元二次方程的实际应用---动点运动问题（共3小题） 25．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： (1)______； (2)当时，求的面积？ (3)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 题型10由实际问题列二次函数的解析式（共3小题） 28．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 题型11 二次函数的实际应用---面积问题（共3小题） 31．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 32．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． (1)如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么切去的小正方形边长是多少？ (2)设方盒底面积为切去的小正方形边长为，为了美观，规定小正方形的边长不得小于． ①求底面积的最大值； ②若方盒底面积不小于，试求出小正方形边长的取值范围． 33．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用一面长为20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门，设长为x米． (1)__________ 米（用含x的代数式表示）； (2)若宣传区的面积为96平方米，求的长度； (3)x取何值时，宣传区的面积最大，最大值是多少？ 题型12 二次函数的实际应用---商品销售问题（共3小题） 34．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 35．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出元设立“助学基金”， ①若捐款后合作社的剩余利润是元，求该农产品的售价； ②若捐款后合作社的剩余利润不低于元，直接写出该农产品的售价的范围； (3)若该农产品的日销量不低于千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 36．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 (1)求p与x的函数关系； (2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 题型13二次函数的实际应用---拱桥问题（共3小题） 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 38．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 39．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 题型14二次函数的实际应用---投球问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 41．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 42．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 题型15 二次函数的实际应用---喷水问题（共3小题） 43．（2026·陕西西安·模拟预测）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知，，从处喷出的水流高度（）与水平距离（）之间的关系为． (1)求，的值； (2)点在点正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到36米，则消防车从点应至少前进多少米？ 44．（26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 45．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 题型16 二次函数的实际应用---动点运动问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)设四边形的面积为（），求（）与的函数关系式．是否存在某一时刻，使四边形的面积有最值？若存在，求出最值． 47．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 48．（2026·吉林·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 题型17二次函数的实际应用---其它问题（共3小题） 49．（2026·河南周口·模拟预测）在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 50．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 51．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ (2)任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； (3)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（ ），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 题型18 由实际问题列反比例函数解析式（共3小题） 52．（2026·山东泰安·三模）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 53．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 54．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 题型19 反比例函数的实际应用---工程问题（共3小题） 55．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？ 56．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某图书馆要对一套共页的古籍进行数字化扫描． (1)完成扫描的时间与扫描的平均速度页/有怎样的函数关系？ (2)平均每小时应该扫描多少页，才能保证在内完成扫描任务？ 57．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 题型20反比例函数的实际应用---物理问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 59．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 60．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 题型21反比例函数的实际应用---销售问题（共3小题） 61．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（　　） A．y＝200x B． C．y＝x+200 D．y＝x﹣200 62．购买x斤水果需24元，购买一斤水果的单价y与x的关系式是（　　） A．y（x＞0） B．y（x为自然数） C．y（x为整数） D．y（x为正整数） 63．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间满足某种函数关系． （1）根据表中的数据请你写出请y与x之间的函数关系式； （2）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过10元，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ x（元） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 题型22反比例函数的实际应用---图形问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·单元复习）某农户计划利用已有的一堵长的墙，围成一个面积为的矩形园子，现有可用的篱笆总长为．若园子的长、宽都是整数米，则一共有几种围法?（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 65．用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为1，长方形两条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的长方形的面积为8． （1）求y关于x的函数表达式； （2）能否摆成正方形？请说明理由． 66．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m．设AD的长为x m，DC的长为y m． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 题型23 反比例函数的实际应用---其它问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 68．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 69．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（2，64），B（m，100）两点． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求m的值，并解释它的实际意义． 题型24 反比例函数与一次函数的综合的实际应用（共3小题） 70．（2026九年级上·全国·专题练习）实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 71．（26-27九年级上·全国·单元测试）为了更好助推乡村振兴，某单位驻村工作队立足本地特色，以“互联网+电商+销售大集”的模式，帮助果农进行为期天的销售，经过大量的广告宣传，该商品的日销售量（万箱）随着天数（天）的变化而变化，变化规律如图所示：在宣传开始阶段，销售量逐步上升，中间保持不变，当广告宣传停止后，销售量开始下降，其中，为线段，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在直线的函数解析式； (2)开始销售第几天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； (3)在销售期间，若某天的日销售量低于万箱，则需要对该日的水果进行保鲜处理．已知保鲜处理需要额外成本，驻村工作队计划最多安排天进行保鲜处理．请通过计算说明：按照当前的销售情况，工作队能否将保鲜处理的天数控制在计划范围内？ 72．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次方程、二次函数、反比例函数的实际应用 能力强化集训24大题型 题型1 由实际问题列一元二次方程 题型13二次函数的实际应用---拱桥问题 题型2 一元二次方程的实际应用---传播问题 题型14二次函数的实际应用---投球问题 题型3一元二次方程的实际应用---增长率问题 题型15 二次函数的实际应用---喷水问题 题型4一元二次方程的实际应用---面积问题 题型16 二次函数的实际应用---动点运动问题 题型5一元二次方程的实际应用---数字问题 题型17二次函数的实际应用---其它问题 题型6一元二次方程的实际应用---商品销售问题 题型18 由实际问题列反比例函数解析式 题型7一元二次方程的实际应用---行程问题 题型19 反比例函数的实际应用---工程问题 题型8 一元二次方程的实际应用---循环问题 题型20反比例函数的实际应用---物理问题 题型9一元二次方程的实际应用---动点运动问题 题型21反比例函数的实际应用---销售问题 题型10由实际问题列二次函数的解析式 题型22反比例函数的实际应用---图形问题 题型11 二次函数的实际应用---面积问题 题型23 反比例函数的实际应用---其它问题 题型12 二次函数的实际应用---商品销售问题 题型24 反比例函数与一次函数的综合的实际应用 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由实际问题列一元二次方程（共3小题） 1．（26-27九年级上·四川宜宾·阶段检测）小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每人参与后仅转发一次，分轮计算新增被邀请人数，累加总人数即可列方程. 【详解】解：初始参与活动的人数为1， 第一轮转发，新增名被邀请者. 第二轮转发时，第一轮的名参与者每人邀请人，新增名被邀请者， ∵转发两轮后共有133人被邀请， ∴可列方程. 2．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为 ， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 3．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 题型2 一元二次方程的实际应用---传播问题（共3小题） 4．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 5．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 题型3一元二次方程的实际应用---增长率问题（共3小题） 7．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元． (1)求该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率； (2)若家庭年人均纯收入达到元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么年该贫困户是否能脱贫？ 【答案】(1)该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为. (2)2026年该贫困户能脱贫. 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年的人均纯收入关系列一元二次方程求解； （2）计算2026年的人均纯收入，与4800元比较判断． 【详解】（1）解：设该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x， 根据题意，得 ， ， 解得，， ∵ 年平均增长率大于0， ∴不符合题意，舍去 所以，该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为； （2）解：2026年家庭年人均纯收入为（元）， ∵， ∴2026年该贫困户能脱贫． 8．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 【答案】(1)本次参赛的球队数量为支 (2)参赛队伍每年的平均增长率为 【分析】（1）设本次参赛的球队数量为支，根据单循环制可得，解方程即可； （2）设参赛队伍每年的平均增长率为，由增长率模型可得，解方程即可． 【详解】（1）解：设本次参赛的球队数量为支， 由题意可知，， 整理，得， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：本次参赛的球队数量为支． （2）解：设参赛队伍每年的平均增长率为， 由题意可知，， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：参赛队伍每年的平均增长率为． 9．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】(1)该风景区游客人数的月平均增长率为． (2)按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【详解】（1）解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； （2）由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 题型4一元二次方程的实际应用---面积问题（共3小题） 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小路移到矩形的相邻的两边处，再进一步表示草坪的边长与面积即可； （2）利用矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小路的宽度为m． ∴草坪的面积为：． （2）解：由题意得， 化简得， 解得，， 因为大于空地的宽，不合题意，舍去 所以． 答：小路的宽度为． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．求该小区四周的空地的宽度． 【答案】该小区南北空地的宽度为40米，东西空地的宽度为30米 【分析】设该小区南北空地的宽度为米，则该小区东西空地的宽度为米，根据四周的空地所占面积是小区面积的36%，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其符合题意的值，分别代入，中，即可得出结论． 【详解】解：设该小区南北空地的宽度为米，则该小区东西空地的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴，． 答：该小区南北空地的宽度为40米，东西空地的宽度为30米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 题型5一元二次方程的实际应用---数字问题（共3小题） 13．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 15．（23-24九年级上·山西临汾·阶段检测）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为26． 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：原来的两位数为26． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型6一元二次方程的实际应用---商品销售问题（共3小题） 16．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)元/个 【分析】（1）根据6月产量、8月产量与月平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润单个利润月销售量列方程，结合让消费者得到实惠的条件选取较低的售价． 【详解】（1）解：设该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为t元/个， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取， 答：该零件的实际售价应定为元/个． 17．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）佛小伴是山西大同的文创，设计灵感来自云冈石窟第六窟“七步生莲”石雕壁画，寓意长久相伴．云冈石窟景区文创店平均每天售出个佛小伴，每个盈利元．经市场调查发现，如果每个佛小伴降价元，那么日均销售量就增加个． (1)设每个佛小伴降价元，则每个佛小伴盈利_______ 元，每天可销售 个；（用含的代数式表示） (2)该文创店计划每天赢利元，且规定每个佛小伴单件降价幅度不超过元，那么每个佛小伴应降价多少元？ 【答案】(1) ； (2)元 【分析】（1）因为单个原本盈利25元，降价x元后单个盈利为原价减去降价额，所以用25减x即可得到单个盈利的代数式；因为每降价1元销量增加20个，降价x元则销量增加个，所以用原有销量200加上增加的销量得到总销量的代数式． （2）如果总盈利等于单个盈利乘以总销售量，那么可根据总盈利为6000元列一元二次方程．求解所列的一元二次方程，再结合降价幅度不超过8元的限制条件，筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：原本每个佛小伴盈利25元，现在降价元，因此单个盈利为原盈利减去降的价格，即元； 原本日均销量是200个，每降价1元日均多售20个，降价元时销量增加个，因此日均总销量为个． ，． （2）， 整理得， 解得，． ∵单件降价幅度不超过元， ． 答：每个佛小伴应降价元． 18．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）年一款名为“哇库库（）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按元/个进行销售，平均每天可销售个．在降价幅度不超过元的情况下，若每个降价元，则平均每天可多售出个． (1)如果平均每天要盈利元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？ (2)平均每天盈利可以达到元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) 每个盲盒的售价应定为元 (2) 不可以 设每个盲盒降价元，则单个利润为元，日销售量为个， 若平均每天盈利为元，可列方程. 整理得. ∵， ∴该方程无实数根，即平均每天盈利不能达到元. 【分析】（1）根据“单个利润×日销售量=日总利润”的等量关系列一元二次方程，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解； （2）假设日盈利可达元，列一元二次方程后通过根的判别式判断方程无实数根，从而得出结论. 【详解】（1） 解： 设每个盲盒降价元，单个利润为元，日销售量为个， 根据题意，得 ， 解得，， ∵降价幅度不超过元，即， ∴不符合题意，舍去， （元）， 答：每个盲盒的售价应定为元. （2）略 题型7一元二次方程的实际应用---行程问题（共3小题） 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北9东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 【答案】 示意图： 相遇时甲走了步，乙走了步． 【分析】先画出图，然后再利用勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ① 取点为出发点，过作水平向右的射线表示向东方向，作竖直向下的射线表示向南方向，两射线互相垂直，   ② 在向南的射线上截取步，对应甲先向南走的路程，   ③ 在向东的射线上取相遇点，连接，为甲斜向北偏东走的路线，为直角三角形，． 示意图略； 设所行的时间为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴甲走了步，乙走了步． 20．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．在此过程中： (1)小球滚动到第3秒时速度是多少？ (2)小球滚动15米用了多少秒？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球滚动到第3秒时速度为 (2)小球滚动15米用了 【分析】（1）根据均匀减速的特点，先求每秒速度减少量，再计算第3秒的速度． （2）先求出平均速度，再根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知初速度，8秒后速度为0， ∴每秒速度减小， 则t秒时的速度公式：， 当时，则． （2）解：平均速度， ∵， ∴当时，则， 整理得：， 解得：，（舍去） 答：小球滚动15米用了． 21．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 题型8 一元二次方程的实际应用---循环问题（共3小题） 22．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【详解】解：设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 23．（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)有支球队参加比赛． 【分析】根据单循环赛制的定义推导得支球队总比赛场数为，然后把代入计算即可； 设有支球队参加比赛，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵单循环赛制为每两队之间都赛一场， ∴支球队中每队需与其余支球队各赛场，且每场比赛被重复计算次， ∴总比赛场数为， 当时，总场数为， 故答案为：； （2）解：设有支球队参加比赛， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去， 答：有支球队参加比赛． 24．（26-27九年级上·天津·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 【答案】(1)，15； (2)10人 【分析】(1) n个人两两握手，每人需与其余人各握一次手，共次，但每次握手被重复计算了一次，故握手总次数为，分别代入和即可． (2) 设参加聚会的有人，根据握手总次数公式列方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：当时，握手次数（次）， 当时，握手次数（次）． （2）解：设参加聚会的有人， 由题意得：， 整理得：， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， 参加聚会的有10人． 题型9一元二次方程的实际应用---动点运动问题（共3小题） 25．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在的值，使得的面积等于，理由如下： ∵的面积等于， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∴方程无实数根， ∴不存在的值，使得的面积等于． 【分析】（1）首先表示出，，然后根据勾股定理列方程求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∵，， ∴， ∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得或； （2）略 26．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）因为点P、Q的运动速度和起始位置已知，所以用路程=速度×时间的关系，结合的总长，可直接写出的表达式． （2）因为矩形内角为直角，所以是直角三角形，如果已知的长度，那么可利用勾股定理列关于t的方程求解． （3）如果要求的面积，那么先确定和中边上的高，即的长度，再用三角形面积公式列方程，求解后结合t的取值范围判断解是否符合要求． 【详解】（1）解：∵点P从A向B以运动， ∴t秒后， ∵， ∴； ∵点Q从B向C以运动， ∴t秒后． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，是直角三角形。 ∴， 代入，，， 得 ， 展开整理得， 因式分解为， 解得（舍去），或． （3）解：∵，， ∴． 由（1）知，， ∵， ∴ ， 整理得， 解得，或（舍去）． 27．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： (1)______； (2)当时，求的面积？ (3)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不能，理由如下： 如图， 点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，则：，， ∴， ∴，， 当时，，化简得：， ∵， ∴方程无解， ∴点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可． （2）当时，根据题意得求出，，进而得，根据三角形面积公式求出即可． （3）点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，求出，，即可得，再求出，，当时，列出方程，计算，得方程无解，即可得点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【详解】（1）解：如图， 根据勾股定理得：， ∴． （2）解：如图， 当时，根据题意得：，， ∴， ∴， ∴当时，的面积为1． （3）略 题型10由实际问题列二次函数的解析式（共3小题） 28．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 29．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 30．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 题型11 二次函数的实际应用---面积问题（共3小题） 31．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】(1)． (2)（）． 【分析】（1）由篱笆总长 m 且只围 、 两边，得 ，矩形面积 ； （2）树 距墙 为 m、距墙 为 m，把树围在花园内需 且 ，得 ；配方 ，由对称轴位置知 在 上随 的增大而增大，故 时取最大值． 【详解】（1）解：∵ 篱笆只围 、 两边，篱笆总长 m， ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 点 与墙 的距离是 ，花园在墙 上方的竖直宽度为 ，要把树围在花园内，需 ； ∵ 点 与墙 的距离是 ，花园从墙 起的水平宽度为 ，需 ，即 ， ∴ ． ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 当 时， 取最大值 （）． 32．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． (1)如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么切去的小正方形边长是多少？ (2)设方盒底面积为切去的小正方形边长为，为了美观，规定小正方形的边长不得小于． ①求底面积的最大值； ②若方盒底面积不小于，试求出小正方形边长的取值范围． 【答案】(1)切去的小正方形边长是 (2)①底面积的最大值为；② 【分析】（1）设切去的小正方形边长是，根据制作的无盖方盒的底面积为，列出方程，解方程即可； （2）①先根据题意得出，然后求出，再根据二次函数的性质进行解答即可； ②把代入，求出或，结合解析①求出答案即可． 【详解】（1）解：设切去的小正方形边长是，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：切去的小正方形边长是； （2）解：①根据题意得： ， ∵边长不得小于， ∴， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S取最大值，且最大值为， 即底面积的最大值为； ②把代入得：， 解得：或， 根据解析①可知：，且时，S随x的增大而减小， ∴若方盒底面积不小于，则小正方形边长的取值范围为． 33．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用一面长为20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门，设长为x米． (1)__________ 米（用含x的代数式表示）； (2)若宣传区的面积为96平方米，求的长度； (3)x取何值时，宣传区的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)8米 (3)当时，宣传区的面积最大，最大值是108平方米 【分析】（1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形的面积列出关于的一元二次方程，解方程，取符合题意的值即可； （3）设宣传区的面积为平方米，根据矩形的面积列出关于的二次函数，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵长为米， ∴米． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：的长度为8米． （3）解：设宣传区的面积为平方米， 由题意得：， ∵，即， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为108． 答：当时，宣传区的面积最大，最大值是108平方米． 题型12 二次函数的实际应用---商品销售问题（共3小题） 34．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 【答案】(1)；；12；； (2)A品的销量为件，B品的销量为件，最大值为4800元 【分析】（1）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为； （2）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为4800元， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 35．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出元设立“助学基金”， ①若捐款后合作社的剩余利润是元，求该农产品的售价； ②若捐款后合作社的剩余利润不低于元，直接写出该农产品的售价的范围； (3)若该农产品的日销量不低于千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)， (2)①该农产品的售价为30元/千克；②该农产品的售价的范围为（元千克） (3)售价定为45元时，每天获取的利润最大，最大为1750元 【分析】（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据求W与x之间的函数解析式； （2）①每天利润为元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； ②每天利润不低于元，代入W与x之间的函数解析式，利用二次函数图象解不等式即可； （3）先求出售价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把，代入得 ， 解得， ∴y与x的函数关系式为：； ∴， 即； （2）解：①由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， 答：该农产品的售价为30元/千克； ②由题意得，， 整理得，， 解得， ∵， ∴， 即该农产品的售价的范围为（元千克）； （3）解：∵该农产品的日销量不低于千克， ∴， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴在时，W随x的增大而增大， ∴时，（元）， 答：售价定为45元时，每天获取的利润最大，最大为1750元． 36．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 (1)求p与x的函数关系； (2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)，第14天时的销售利润最大，最大销售利润是324元 (3)8天 【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解； （3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解． 【详解】（1）解：（1）设， ∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴， 解得， 所以，； （2）解：时，， 时，， 所以，w与x的函数关系式为， 时，∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大为， 时，， ∴当时，w最大为324， ∵， ∴第14天时当天的销售利润最大，最大销售利润是324元； （3）解：根据题意得：小张的日销售利润不低于300元 当时，， 解得， ∴整数解为1，2，故天数为2天； 当时，， 解得，， ∴， ∵x是整数， ∴，共6天， 综上，小张的日销售利润不低于300元的天数为天． 题型13二次函数的实际应用---拱桥问题（共3小题） 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 38．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 39．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 【答案】(1) (2)距中线不超过的范围内 (3)货车宽，从正中通过时车轮边缘在处， 此时拱门高度， 因为， 所以这辆货车能顺利通过． 【分析】（1）根据拱门最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）令，解答即可； （3）根据货车宽度确定车体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处拱门高度，与车高对比，判断货车能否通过． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点坐标为，且过点， 设，把代入得，解得， 故，其中． （2）解：令得，即， 解得， 故灯柱应安装在距中线不超过的范围内． （3）略 题型14二次函数的实际应用---投球问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 【答案】(1)篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． (2)篮球离出手点的水平距离为3米或1米． (3)篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 【分析】（1）将二次函数配方为顶点式，再结合开口方向求最值即可； （2）令，解一元二次方程即可求得对应的水平距离； （3）将代入解析式求出h，与比较大小判断． 【详解】（1）解∶∵篮球高度h与水平距离x的函数关系为，， ∴当时，h取得最大值，最大值为． 答∶篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． （2）解：令，则， 整理得， 解得． 答∶篮球离出手点的水平距离为3米或1米． （3）解：当时， ． ∵， ∴篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 41．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中不能得满分，理由如下： 由题意得，当时， 解得（舍去）， ， 该女生在此项考试中不能得满分； (3)出手高度至少约为 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解； （3）设出手高度为h米，根据题意可得，重新投掷的情况下新抛物线为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球行进至最高点处， 设， 经过点， 解得， ； （2）略 （3）解：由于投掷的力度和角度不变，抛物线的形状与对称轴保持不变， ∴设出手高度为h米，则抛物线解析式为， 当时，， 代入得 ∴， ∴解析式为， ∵要使水平距离大于等于， ∴临界情况为时（刚好落地）， 代入得 解得， ∴出手高度至少约为． 42．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 【答案】(1)4 (2) (3)羽毛球能过网，理由如下： 当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； (4) 【分析】（1）根据当和时，函数值相等，可得抛物线的对称轴，即可解答； （2）根据顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出函数表达式； （3）根据自变量的值求出函数值进行比较； （4）根据函数值求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，，即顶点坐标为， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； （2）解：由表格可知，当和时，函数值相等，即对称轴为直线， 当时，，即顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 （4）解：当时，， 解得：， ∵， ∴， ， 即此时他距离球网． 题型15 二次函数的实际应用---喷水问题（共3小题） 43．（2026·陕西西安·模拟预测）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知，，从处喷出的水流高度（）与水平距离（）之间的关系为． (1)求，的值； (2)点在点正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到36米，则消防车从点应至少前进多少米？ 【答案】(1) (2)3米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据已知数据确定点和，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出当时，或．再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：将和代入中，得 解得 ． （2）解：令，得， 解之，得或． ， ∴消防车从点至少前进3米才能使处的水流高度达到36米． 44．（26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 45．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点B的坐标为； (3) 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 题型16 二次函数的实际应用---动点运动问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)设四边形的面积为（），求（）与的函数关系式．是否存在某一时刻，使四边形的面积有最值？若存在，求出最值． 【答案】(1)或 (2)最小值为 【分析】（1）先把用含的代数式表示出来，再利用含的直角三角形的性质即可求出． （2）利用小问1用含的代数式表示的面积，再用的面积减去的面积就可得到四边形的面积为（）与某一时刻的二次函数，再根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得． 在等边中，， ． 若是直角三角形， 则或． ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即，解得． 综上所述，当或时，是直角三角形． （2） 解：如图，过点作于，过点作于点， 则，， ， ， 与的函数关系式为． ， ∴四边形的面积有最小值，最小值为． 47．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 48．（2026·吉林·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)的值为2 (3) 【分析】（1）先得出，又四边形是矩形，则，，从而有，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （2）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则，，根据，列式求出的值即可； （3）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，， ． 四边形是矩形， ，， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：当点落在边上时，如图， 同（1）可得、、都是等腰直角三角形， 四边形是矩形， ，． 在中，，， 由勾股定理，得， ，即， 解得， 当点落在边上时，的值为． （3）解：当点与点重合时，， ． 当时，重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图． 、、都是等腰直角三角形． ，， ， ， ． 综上所述，． 题型17二次函数的实际应用---其它问题（共3小题） 49．（2026·河南周口·模拟预测）在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)手心到台面的高度h的取值范围是 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，且过，再求解析式即可； （2）由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为．先求出当洗手液恰好落到手心左端M或手心右端N时的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的表达式为，将代入表达式可得， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∴手心到台面的高度h的取值范围是． 50．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)不在安全范围内，理由如下： 由题意可知，新抛物线可由抛物线向上平移5个单位得到， ∴新抛物线对应的函数解析式为，即， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新的落地点距离表演台中心约， 观众席与落地点的距离为：， ∵， ∴该位置不在安全范围内 【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，设顶点式，代入已知点求出，得到解析式； （2）将代入解析式，求出两个的值，差值即为水平距离； （3）抛物线形状、对称轴不变，图像向上平移得到新抛物线，求出落地横坐标，计算观众位置与落地点距离，对比判断安全性． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的最高点距地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； （2）由（1）可知，该抛物线对应的函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， ∵， ∴铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有； （3）略． 51．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ (2)任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； (3)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（ ），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 【答案】(1)售价定为73元时，每天获得的利润最大； (2)；； (3)． 【分析】（1）设售价定为 元、每天获得的利润为 元，根据“售价每降低 元，每天多售出 件”列出 关于 的二次函数，配方求最大值； （2）由 得 、 的横坐标分别为 、，由 得 ，再由 、 得 ；抛物线顶点为 ，设 ，代入点 求解析式； （3）由 、 及抛物线的对称性得水面端点的横坐标为 ，代入解析式求出水面所在的高度，它与点 的纵坐标之差即为碗内茶的深度． 【详解】（1）解：设售价定为 元，每天获得的利润为 元． 根据题意，得 ， 即 ． ∵ ， ∴ 当 时， 取最大值，最大值为 元， ∴ 售价定为 元时，每天获得的利润最大． （2）解：∵ ，点 为 的中点， ∴ ， ∴ ，． ∵ 茶盖最高点 距 的距离 ， ∴ ． ∵ 盖碗高度 ， ∴ 点 在点 的下方 cm 处，即 ． ∵ ，点 在点 的上方， ∴ ，即 ． ∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ． ∵ 碗体 所在抛物线的顶点为 ， ∴ 设抛物线的解析式为 ． 把 代入，得 ，解得 ， ∴ 碗体 所在抛物线的解析式为 ． （3）解：∵ ，， ∴ 点 、 的纵坐标相等， ∵ 碗体所在抛物线关于 轴对称， ∴ 线段 被 轴垂直平分， ∴ 点 的横坐标为 ． 当 时，， ∴ 水面 所在的高度为 ． ∵ 点 的纵坐标为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ． 题型18 由实际问题列反比例函数解析式（共3小题） 52．（2026·山东泰安·三模）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 53．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 54．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 题型19 反比例函数的实际应用---工程问题（共3小题） 55．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装5000台空调．计划在x天内完成全部组装，设平均每天组装的空调数量为y（台/天）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用50天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定提前10天完成这批空调的组装，那么装配车间平均每天要组装多少台空调？ 【答案】（1）y． （2）125台空调． 【分析】（1）根据“平均每天组装的空调数量＝所要组装空调总台数÷全部组装需要的天数”解答即可； （2）求出实际组装的天数，将它作为x的值代入y与x之间的函数关系式，求出对应y的值即可． 【详解】解：（1）y， ∴y与x之间的函数关系式为y． （2）50﹣10＝40（天）， 当x＝40时，y125． 答：装配车间平均每天要组装125台空调． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 56．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某图书馆要对一套共页的古籍进行数字化扫描． (1)完成扫描的时间与扫描的平均速度页/有怎样的函数关系？ (2)平均每小时应该扫描多少页，才能保证在内完成扫描任务？ 【答案】(1)（）． (2)平均每小时至少扫描页． 【分析】（1）扫描总量一定时，时间与平均速度成反比例，； （2）要保证在内完成，即，由此解不等式求出的最小值；注意实际意义． 【详解】（1）解：∵扫描总量为页， ∴（）． （2）解：∵要在内完成， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴平均每小时至少扫描页，才能保证在内完成扫描任务． 57．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 【答案】(1)，； (2)天；乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务 【分析】（1）每天运送体积运送时间总运送体积； （2）乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴与的函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （2）解：原计划完成任务的时间为天， 设乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务， 由题意可得，， 解得， 故乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务． 题型20反比例函数的实际应用---物理问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 【答案】12 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力单位：与此物体在力的作用下的位移单位：成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的作用下的位移是． 59．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 60．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 【答案】(1) (2)9，4.5，3.6 (3)该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于 【分析】（1）设，根据表格选取数据代入求解即可； （2）分别将的值代入电流I关于电阻的函数关系式计算即可； （3）将代入电流I关于电阻的函数关系式求出的值，再结合反比例函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设， 根据表格可知当时，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：由（1）得， 当时，，解得， ， ∴当时，随的增大而减小， ， 即该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于． 题型21反比例函数的实际应用---销售问题（共3小题） 61．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（　　） A．y＝200x B． C．y＝x+200 D．y＝x﹣200 【答案】B． 【分析】根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【详解】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是x，y． 故选：B． 【点睛】本题考查根据实际问题列反比例函数的关系式，一次函数的应用，正确根据相关知识点作答是解题关键． 62．购买x斤水果需24元，购买一斤水果的单价y与x的关系式是（　　） A．y（x＞0） B．y（x为自然数） C．y（x为整数） D．y（x为正整数） 【答案】A． 【分析】单价＝总价÷数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵总价为24，数量为x， ∴单价y（x＞0）， 故选：A． 【点睛】考查列反比例函数关系式，得到单价的等量关系是解决本题的关键． 63．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间满足某种函数关系． （1）根据表中的数据请你写出请y与x之间的函数关系式； （2）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过10元，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ x（元） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 【答案】（1）y （x＞0）； （2当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元． 【分析】（1）由表知xy＝60，据此可得y （x＞0）； （2）根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式，根据反比例函数的性质求解可得． 【详解】解：（1）由表可知，xy＝60， ∴y与x之间的函数关系式为y （x＞0）； （2）根据题意，得： W＝（x﹣2）•y ＝（x﹣2）• ＝60， ∵x≤10， ∴12， 则6048， 即当x＝10时，W取得最大值，最大值为48元， 答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式． 题型22反比例函数的实际应用---图形问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·单元复习）某农户计划利用已有的一堵长的墙，围成一个面积为的矩形园子，现有可用的篱笆总长为．若园子的长、宽都是整数米，则一共有几种围法?（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】先由矩形面积为且长、宽为整数，确定所有可能的正整数边长组合，再结合墙长限制和篱笆总长限制筛选符合条件的围法． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，、为正整数， 矩形园子的面积为， 则， ∵墙长为， ∴，解得， ∵为正整数， ∴， ∵可用篱笆总长为， ∴， ∵是的正约数， ∴的可能取值为，，，，，， 结合， 验证：当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，均不符合， 综上，符合条件的围法有种． 65．用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为1，长方形两条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的长方形的面积为8． （1）求y关于x的函数表达式； （2）能否摆成正方形？请说明理由． 【答案】（1）y（x＝1，2，4，8）； （2）不能摆成正方形． 【分析】（1）根据长方形的长＝面积÷宽列出函数解析式即可； （2）正方形的边长相等，说明x、y相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立． 【详解】解：（1）y（x＝1，2，4，8）； （2）不能摆成正方形． 理由如下： 因为x2＝8， 解得：x＝2，不是整数， 所以不能摆成正方形． 【点睛】此题考查反比例函数的实际运用，掌握长方形和正方形的面积计算公式是解决问题的关键． 66．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m．设AD的长为x m，DC的长为y m． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】（1）y（x≥5）； （2）∴共有三种围建方案， 方案1：AD的长为5，DC的长为12； 方案2：AD的长为6，DC的长为10； 方案3：AD的长为10，DC的长为6． 【分析】（1）由矩形科技园ABCD的面积为60m2，可得出x•y＝60，变形后可得出y，再结合墙长为12m及各边的长非负，即可得出x的取值范围； （2）由y，x，y均为正整数及x≥5，可得出各x，y的值，再结合2x+y≤26，即可确定各围建方案． 【详解】解：（1）根据题意得：x•y＝60， ∴y． 又∵墙长为12m， ∴y≤12， ∴x≥5， ∴y与x之间的函数关系式为y（x≥5）； （2）∵y，x，y均为正整数，且x≥5， ∴或或或或或或， 又∵2x+y≤26， ∴或或， ∴共有三种围建方案， 方案1：AD的长为5，DC的长为12； 方案2：AD的长为6，DC的长为10； 方案3：AD的长为10，DC的长为6． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及二元一次不定方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不定方程． 题型23 反比例函数的实际应用---其它问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时， ， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到 ． 68．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可； （2）将x表示为y的函数并代入，求出y的解集，从而得到y的最小值即可 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：∵， ∴， 根据题意，得， 解得，， ∴汽车从A地到B地至少需要． 69．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（2，64），B（m，100）两点． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求m的值，并解释它的实际意义． 【答案】（1）y（S＞0）； （2）m＝1.28， 实际意义：当面条的横截面积为1.28mm2时，面条长度为100m． 【分析】（1）直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）中所求进而得出m的值，得出其实际意义． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为：y（S＞0）， 将（2，64）代入可得：k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为：y（S＞0）； （2）将（m，100）代入y可得m＝1.28， 实际意义：当面条的横截面积为1.28mm2时，面条长度为100m． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解y与S代表的意义是解题关键． 题型24 反比例函数与一次函数的综合的实际应用（共3小题） 70．（2026九年级上·全国·专题练习）实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升 (2) (3)不能驾车上班． 【分析】（1）利用确定最大值； （2）直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）求出时，的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：， ∴当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （2）解：当时，， ∴把代入得； （3）解：∵晚上到第二天早上，一共有11小时， ∴将代入，则， ∴第二天早上不能驾车去上班． 71．（26-27九年级上·全国·单元测试）为了更好助推乡村振兴，某单位驻村工作队立足本地特色，以“互联网+电商+销售大集”的模式，帮助果农进行为期天的销售，经过大量的广告宣传，该商品的日销售量（万箱）随着天数（天）的变化而变化，变化规律如图所示：在宣传开始阶段，销售量逐步上升，中间保持不变，当广告宣传停止后，销售量开始下降，其中，为线段，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在直线的函数解析式； (2)开始销售第几天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； (3)在销售期间，若某天的日销售量低于万箱，则需要对该日的水果进行保鲜处理．已知保鲜处理需要额外成本，驻村工作队计划最多安排天进行保鲜处理．请通过计算说明：按照当前的销售情况，工作队能否将保鲜处理的天数控制在计划范围内？ 【答案】(1) (2)开始销售第天，商品的日销售量与第天的日销售量相等 (3)解：由题意可知，当日销售量不低于万箱时，当日不用保鲜处理， 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． ∵， ∴按照当前的销售情况，工作队能将保鲜处理的天数控制在计划范围内． 【分析】（1）利用待定系数法确定其解析式即可； （2）先确定反比例函数的解析式，从而得到第天的销售量，再令直线的解析式，即可得解； （3）分别求出一次函数与反比例函数当时对应的值，进而判断保鲜处理的天数与天进行大小比较，即可得解． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， 所在直线的函数解析式为； （2）解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 把代入解析式，得， ∴第天的销售量为万箱． 把代入中，得． 答：开始销售第天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； （3）略． 72．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 【答案】(1) (2) (3)解：此次消毒有效，理由如下， 把代入得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去）， 把代入得，， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【分析】（1）设药物燃烧后，与的解析式为，把代入，可得与的解析式为，根据反比例函数的性质即可得出答案； （2）设药物燃烧时，关于的函数关系式为，把代入，可求出，即可得出二次函数解析式； （3）把分别代入二次函数和反比例函数解析式，分别求出的值，进而求出持续时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵药物燃烧后，与成反比例， ∴设药物燃烧后，与的解析式为， ∵反比例函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧后，与的解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 解得， ∵空气中每立方米的含药量低于毫克， ∴至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． （2）解：∵药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克， ∴设药物燃烧时，关于的函数关系式为， ∵二次函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为． （3）略 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $