2026-2027学年苏科版九年级数学上学期期中自编模拟试题

2026-2027学年九年级数学上学期 期中自编模拟试题 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 评卷人 得分 一、单选题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 1．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 2．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 第Ⅱ卷 评卷人 得分 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 10．圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 11．已知是方程的两个实数根，则的值为________． 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．代数式的值为________ 13．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 14．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 15．如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 17．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 18．如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______． 评卷人 得分 三、解答题：本题共9小题，共64分。 19．下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 20．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 23．如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 24．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 25．如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 26．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 27．如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C B D D D 1．C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，且． 解，得或． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 2．A 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 3．D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0、根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； ∵一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得， 综上，的取值范围是且． 4．C 【分析】将变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系列方程求解，再检验判别式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． ∵ ，且， ∴ ， 整理得， 解得， ∵恒成立， ∴原方程总有两个实数根， ∴符合条件． 5．B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 6．D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 7．D 【详解】解：①原命题：相等的弦所对的弧相等．错误，未限定同圆或等圆，且一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等． 故①不符合要求． ②原命题：平分弦的直径垂直于弦．错误，若被平分的弦为直径，结论不成立． 故②不符合要求． ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．正确． 逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心．正确． 故③符合要求． ④原命题：在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍．错误，弦长与弧的长度不成正比，例如弧对应的弦长小于弧弦长的倍． 故④不符合要求． ⑤原命题：直角三角形的斜边就是它外接圆的直径．正确． 逆命题：若三角形的一边是它外接圆的直径，则这个三角形是直角三角形．正确． 故⑤符合要求． 综上，符合条件的命题共个． 8．D 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解方程，得，即或， ∵， ∴， ∴. 10． 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长， 可得方程，解得． 11．15 【分析】将代数式化简，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，． ． 12． 【分析】点是两个函数图象的交点，坐标满足两个函数解析式，变形后利用完全平方公式即可计算出结果． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， 整理得， ∴． 13．300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 14．3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 15． 【分析】设正方形边长为，利用正方形和折叠的性质可得，，，，即得，设，则，利用勾股定理可得，设，则，连接，又由勾股定理可得，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，即得，最后根据勾股定理构建方程求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵折叠， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 整理得， 设，则， ， 连接， 在中，， 在中，， ， 整理得， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）． 16． 【分析】过点作，连接，根据等腰直角三角形的性质及得出为中点，从而得到，设点，利用中点性质表示出点和点的坐标，进而表示出和，最后根据面积和差关系列方程求解 ． 【详解】解：过点作，交轴于点，连接， 等腰直角，， ， 则点是的中点 ， ， 设点， ， ， 点是的中点，， 点 ， 轴，点在轴负半轴上 ， 点 ， ， ， ， 点在上，且在反比例函数图象上， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， ， ， ， 解得． 17．3或1 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义得到两根差为，分情况列方程求解即可． 【详解】解：对因式分解得： ， 或， 解得，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 18．或 【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，当点在点右侧时，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出，接着在中利用勾股定理可计算出的长；当点在点左侧时，利用同样的方法计算的长． 【详解】解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴，，又， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵， ∴， 当点在点右侧时，则， 在中，， 在中，， ∴； 当点在点左侧时，同理可得． 19．(1)一；方程两边同时除以，没有考虑等于0的情况 (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质可知，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，第一步没有考虑等于0的情况； （2）（3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．(1)车道宽度符合标准； (2)20或30 【分析】（1）将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，即可求解； （2）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：停车场内车道宽度均为x米，将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∵， ∴车道宽度符合标准； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：当每个车位的月租金上涨20元或30元时，该区域停车场的月租金收入为10120元． 21．(1) (2)证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）把代入方程即可解答； （2）计算根的判别式，即可解答； （3）根据根与系数的关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：方程有一个根为， ， 解得； （2）略 （3）解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 当时，原式． 22．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 23．(1)证明：连接． 是的直径， ， ． ， ． ， ，， ． ，， ， ． 又， ，且是的直径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，得；利用得到，由得到，故；利用证明，得到，最后同旁内角互补，即可得； （2）连接，与相交于M点，根据，得是等腰直角三角形，由，得，，长度，证明，得到，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积. 【详解】（1）略 （2）解：连接，与交于点． ∵，， ∴为等腰直角三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ． 24．(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 25．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹是以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，，．    ∵的中点为 ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 26．(1)；； (2)①如图： ②减小； (3)①如图： ②或． 【分析】（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象；②找出当时，结合函数图象，找出满足函数的图象在函数的图象上方（包括相交）部分对应的的取值范围． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得． （2）①作图：略； ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． （3）①作图：略 ②由函数图象知，当或时，函数的图象在函数的图象的上方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为或． 27．(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $