浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期期中测试（第1-3章）

浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期期中测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题 1．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．明天会下雨 B．钝角比直角大 C．过马路时，有消防车驶过 D．明天早上的太阳从西边升起 2．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 4．若抛物线的图象上有三个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 12．抛物线与y轴的交点坐标为________． 13．如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 15．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 16．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． 三、解答题 17．如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 18．在平面直角坐标系中，二次函数（b，c都是常数）的图象经过点和． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的取值范围； 19．如图，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)作射线交轴于点，使，则的长为________． 20．如图1，平行四边形内接于． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)如图2，连接，，，，求阴影部分面积． 21．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 22．为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 23．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 24．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《浙江杭州2026-2027学年浙教版九年级数学上学期期中测试（第1-3章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B B C C C B 1．B 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、明天会下雨是随机事件，不符合题意； B、钝角比直角大是必然事件，符合题意； C、过马路时，有消防车驶过是随机事件，不符合题意； D、明天早上的太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意． 2．A 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 3．D 【分析】直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴． 4．C 【分析】根据抛物线的开口方向与对称轴，利用点到对称轴的水平距离比较函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 5．B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 6．B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 8．C 【分析】根据一次函数与二次函数的图象结合选项的图象依次判断即可． 【详解】解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，而抛物线开口向下，与二次函数矛盾，错误； C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，正确； D、由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数矛盾，错误． 9．C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 10．B 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴， ∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∵点沿着圆周转动，即旋转， ∴旋转，即旋转， ∴点C转过的圆心角为， ∴点C经过的路径长为． 11． 【分析】四部影片被选中的可能性相等，总共有种等可能结果，选中目标影片只有种结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从四部影片中随机选一部，所有等可能的结果共种，恰好选到《奥德赛》的结果只有种， ∴所求概率为． 12． 【分析】y轴上的点横坐标为0，将代入抛物线解析式计算y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：抛物线， 令， 则， 因此抛物线与轴的交点坐标为． 13． 【分析】先求出原抛物线与轴交点、顶点坐标，写出翻折后轴下方部分对应的函数解析式，结合图形分析直线和新图像交点个数，找到恰好个交点时的范围． 【详解】解：令，， ， ， 解得：． ，原抛物线顶点为，开口向下． 轴下方部分沿轴翻折到轴上方：翻折后的抛物线开口向上，顶点变为，解析式为（或）． 当：直线就是轴，与图像交于，只有2个交点； 当：直线刚好经过原抛物线顶点，此时只有3个交点； 当时，水平线和新图像会产生4个交点； 当，只有2个交点． 综上，的取值范围是． 14． 【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径． 【详解】解：如图，点即为圆心， 由网格可知，， ∴的外接圆的半径为． 15． 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．3 【分析】先连接，，，根据，即可得到当点O，P，C三点共线时，最短，依据，，可得点P在以O为圆心，为直径的圆上，进而得到与相切时，最短，根据已知长度求得此时的长，即可由解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴当点O，P，C三点共线时，最短， 如图， ∵，， ∴点P在以O为圆心，为直径的圆上， ∴与相切时，最短， ∵，， ∴， ∴． 17．(1)证明：∵， ∴． ，， ∴． (2) 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得； （2）解：这个函数的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴的最小值为 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，的最大值为， ∴当时，y的取值范围是． 19．(1) (2)或 【分析】（1）把，代入计算即可； （2）先求出，再根据得到或，据此分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，，． ， ， ， ∴当点在点上方时，如图①所示． ， ，， ∴ ， ； 当点在点下方时，如图②所示． ， ， ∴， ∵， ∴， （负值舍去）， ． 综上所述，的长为或． 20．(1) 证明：四边形是平行四边形， ． 又平行四边形内接于， ， ， 平行四边形是矩形; (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由求出的度数，据此可解决问题． （2）用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】（1） 略 （2）解：，， 是等腰直角三角形． 又， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、圆周角定理、矩形的判定与性质、平行四边形的性质及圆内接四边形性质，三角函数，掌握相关知识是解题的关键． 21．(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 22．(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 23．(1)（） (2)每件销售价格应定为20元 (3)函数关系式为（）；当时，日销售利润最大，最大利润为1170元 【分析】（1）根据日销量随售价的变化规律列等式，化简得到一次函数关系式； （2）根据日销售利润的计算方法列一元二次方程，结合售价上限筛选符合条件的解； （3）先推导利润关于售价的二次函数关系式，再结合二次函数的增减性与自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：， 由题意知，每件销售价格不低于18元，不超过25元， ， （）； （2）解：由题意知，， 整理得， 解得，， ， ，即每件销售价格应定为20元； （3）解：由题意知，， 整理得，， 二次项系数，， 时，取最大值，最大值为：， 即时，日销售利润最大，最大利润为1170元． 24．(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 答案第16页（共16页） 答案第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $