2.4 圆的方程（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.4　圆的方程 知识点　圆的方程　• 1.圆的标准方程 方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2称为圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程. [提示]　几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 单位圆 x2＋y2＝1 过原点 （x－a）2＋（y－b）2＝a2＋b2 圆心在原点 x2＋y2＝r2 圆心在x轴上 （x－a）2＋y2＝r2 圆心在y轴上 x2＋（y－b）2＝r2 圆心在x轴上且过原点 （x－a）2＋y2＝a2 圆心在y轴上且过原点 x2＋（y－b）2＝b2 与x轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝b2 与y轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝a2 2.圆的一般方程 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为＋＝. （1）当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心坐标为，半径为； （2）当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点； （3）当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形. [提示]　圆的一般方程的特点 （1）x2，y2的系数相同，且不等于零； （2）不含xy项. 角度一　对圆的方程的理解 判断二元二次方程是否表示圆时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径： 一是看D2＋E2－4F是否大于零； 二是直接化为标准方程的形式，看方程等号右端是否是大于零的常数. [例1]　已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　. [解析]　由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，42＋82－4×（－5）＞0，表示圆，故圆心坐标为（－2，－4），半径为5.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，12＋22－4×＜0，不表示任何图形. [答案]　（－2，－4）　5 角度二　圆的方程的求解 求圆的方程的常用方法 （1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程. （2）待定系数法：设圆的方程的一般原则：若由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程组，则通常设为圆的标准方程；否则设为圆的一般方程. 用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. [例2-1]　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限内，半径为，求圆C的一般方程. [解]　因为圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心C在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.　① 又r＝＝， 所以D2＋E2＝20.　② 联立①②可得或 又圆心在第二象限内，所以－＜0且－＞0， 所以D＞0，E＜0，所以 所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. [例2-2]　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的标准方程. [解]　方法一：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 由题意得 解得 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 方法二：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为. 由题意得 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即其标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 角度三　与圆有关的对称问题 1.圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. 2.圆关于直线对称：求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.两圆关于直线对称，则此直线为两圆的圆心连线的垂直平分线. [例3]　（1）圆C：x2＋y2－8x＋2y－8＝0关于点（2，－1）对称的圆的方程为　　　　； （2）已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x＋2）2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）关于直线x＋y＋2＝0对称，则圆C的方程为　　　　. [解析]　（1）圆C：x2＋y2－8x＋2y－8＝0的标准方程为（x－4）2＋（y＋1）2＝25， 所以C（4，－1），半径r＝5. 故圆C关于点（2，－1）对称的圆的半径为5，圆心设为D. 由中点坐标公式求得D（0，－1）， 所以对称圆的方程为x2＋（y＋1）2＝25. （2）设圆心C（a，b），则 解得所以圆C的方程为x2＋y2＝r2. 因为圆C过点P（1，1），所以r2＝2， 故圆C的方程为x2＋y2＝2. [答案]　（1）x2＋（y＋1）2＝25　（2）x2＋y2＝2 角度四　与圆有关的轨迹问题的求法 1.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点的坐标，并找出动点坐标所满足的关系式. 2.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，即可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.代入法：若动点P（x，y）随着圆上另一动点Q（x1，y1）运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程. [例4-1]　在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是（－2，0）和（2，0），BC边上的中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是　　　　. [解析]　易得线段BC的中点D（0，0），由于AD为定长3，所以根据圆的定义，知点A在以点D为圆心，3为半径的圆上，而A，B，C不共线，即点A的纵坐标不能为0，故点A的轨迹方程是x2＋y2＝9（y≠0）. [答案]　x2＋y2＝9（y≠0） [例4-2]　已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，－2），且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）若线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程. [解]　（1）设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 因为kAB＝－3，所以km＝， 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得 所以圆心C（－3，－2）， 半径r＝｜CA｜＝＝5， 所以圆C的方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25. （2）设点M（x，y），Q（x0，y0）. 因为点P的坐标为（5，0）， 所以即 又点Q（x0，y0）在圆C：（x＋3）2＋（y＋2）2＝25上运动， 所以（x0＋3）2＋（y0＋2）2＝25， 即（2x－5＋3）2＋（2y＋2）2＝25， 整理得（x－1）2＋（y＋1）2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $