2.1 直线的倾斜角与斜率（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 知识点一　倾斜角与斜率 1.倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°. 2.斜率 直线l的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做直线l的斜率，通常用小写字母k表示，即k＝tan α. 3.直线的倾斜角与斜率的关系 直线 与x轴平行 由左向右上升 与y轴平行 由左向右下降 图示 倾斜角θ的值或取值范围 θ＝0 0＜θ＜ θ＝ ＜θ＜π 斜率 等于0 大于0，且随θ的增大而增大 不存在 小于0，且随θ的增大而增大 　　[提示]　所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线的斜率不存在. 4.直线的斜率公式 （1）过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝. 当x1＝x2时，直线的斜率不存在. 斜率公式中两点的纵坐标和两点的横坐标的次序可以同时调换，即若分子是y2－y1，则分母必须是x2－x1；若分子是y1－y2，则分母必须是x1－x2. （2）若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝. 知识点二　两条直线平行和垂直的判定 1.平行、垂直与倾斜角的关系 设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则l1∥l2⇔α1＝α2； l1⊥l2⇔｜α1－α2｜＝90°. 2.平行、垂直与斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1. [提示]　（1）当两直线l1，l2的斜率均不存在时，两直线平行； （2）当两条直线中的一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直. 角度一　直线的倾斜角和斜率 直线倾斜角的取值范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的取值范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈（－∞，0）. [例1-1]　若直线经过点A（1，0），B（2，），则直线的倾斜角为（　　） 　 A.30° B. 45° C.60° D. 135° [解析]　由直线经过点A（1，0），B（2，），可得直线的斜率为＝. 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，又0°≤θ＜180°，所以θ＝60°. [答案]　C [例1-2]　经过A（1，3），B（4，1）两点的直线的斜率为　　　　. [解析]　因为A（1，3），B（4，1）， 所以kAB＝＝－. [答案]　－ [例1-3]　已知两点A（－1，2），B（m，3）. （1）若直线AB的倾斜角为135°，求实数m的值； （2）已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围. [解]　（1）由直线AB的倾斜角为135°，知直线AB的斜率为－1， ∴＝－1，解得m＝－2. （2）①当m＝－1时，α＝90°； ②当m≠－1时，m＋1∈∪（0，]， ∴直线AB的斜率k＝∈∪， ∴30°≤α＜90°或90°＜α≤120°. 综合①②，知直线AB的倾斜角α的取值范围是30°≤α≤120°. 角度二　两直线平行或垂直关系的判断 [例2]　经过两点C（3，1），D（－2，0）的直线l1，与经过点M（1，－4）且斜率为的直线l2的位置关系为（　　） A.平行　　　　　　　　B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 [解析]　∵＝＝，∴＝. 又∵kMD＝＝－≠，∴l1和l2平行. [答案]　A 角度三　三点共线问题 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在，若都不存在，则三点共线；若斜率存在，则当任意两点连线的斜率都相等时，三点共线. [例3]　判断下列三点是否在同一条直线上： （1）A（1，2），B（－1，3），C（0，4）； （2）D（－2，2），E（2，0），F（0，1）. [解]　（1）因为kAB＝＝－，kAC＝＝－2，所以kAB≠kAC， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. （2）因为kDE＝＝－，kDF＝＝－， 所以kDE＝kDF， 又有公共点D，所以D，E，F三点在同一条直线上. 角度四　由两直线平行或垂直求参数 由两直线平行或垂直求参数的步骤 （1）判断已知的两条直线的斜率是否存在，对参数进行分类讨论； （2）利用两直线平行或垂直的关系列出关于参数的方程（组），解方程（组），即可求出参数的值. [例4]　已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为　　　　. 　　[解析]　直线l1的斜率k1＝＝a. 分a是否为零进行讨论 当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1， 解得a＝1. 当a＝0时，P（0，－1），Q（0，0），A（－2，0），B（1，0），这时直线l2与y轴重合，直线l1与x轴重合，显然l1⊥l2. 综上可知，实数a的值为1或0. [答案]　1或0 角度五　数形结合解决最值问题 与比值相关的式子如，往往可以利用斜率的几何意义数形结合解答. [例5]　已知点M（x，y）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，3]时，求： （1）的最大值与最小值； （2）的取值范围. [解]　（1）方法一：∵y＝－2x＋8，∴＝－2.设f（x）＝－2，则f（x）在[2，3]上单调递减. 当x＝2时，f（x）max＝2；当x＝3时，f（x）min＝.故的最大值为2，最小值为. 方法二：即点M（x，y）与原点O连线的斜率，线段端点A（2，4），B（3，2）. ∵kOA＝2，kOB＝，∴≤≤2. 故的最大值为2，最小值为. （2）由于＝，其几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率. 设函数y＝－2x＋8在x∈[2，3]上的图象的左、右端点分别为A（2，4），B（3，2）. ∵kNA＝，kNB＝，∴≤≤. ∴的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $