1.2 空间向量基本定理（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 　 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 其中，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z. [提示]　（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示； （2）因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 知识点二　单位正交基底　• 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 角度一　基底的判断　• 给出三个向量，判断它们能否作为空间的一组基底的方法： （1）考虑所给三个向量中是否存在零向量，若存在，则这三个向量共面，不可作为基底； （2）当所给向量是三个非零向量a，b，c时，若存在实数x，y，使c＝xa＋yb，则a，b，c共面，不可作为基底，否则可以作为基底. [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断，，能否作为空间的一个基底. [解]　 因为e1，e2，e3不共面，所以，，均不为零向量. 假设，，共面　，（利用反证法证明） 由向量共面的条件，知存在实数x，y，使得＝x＋y成立，即e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3， 所以此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 所以，，不共面. 故，，能作为空间的一个基底. 角度二　用基底表示空间向量 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，逐步向基向量转化，直到全部用基向量表示. 另外，也可以利用待定系数法，先利用未知系数确定向量的线性表示，再根据空间向量基本定理建立对应系数之间的关系，将问题转化为方程（组）问题求解. [例2]　如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且OM＝2MA，2BN＝3NC，则＝（　　） A.－a－b＋c B.－a＋b＋c C.－a＋b＋c D.a＋b－c [解析]　由OM＝2MA，2BN＝3NC， 得＝＋＋＝＋（－）＋＝＋（－）＋（－） ＝－＋＋＝－a＋b＋c. [答案]　C 角度三　空间向量基本定理的应用 [例3]　（2026·福建福州九校联考）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝2，AA'＝3，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°. （1）以，，为基底，表示向量，； （2）求证：BD⊥AC'； （3）求AC'的长. [解]　（1）在△ABD中，＝－， ＝＋＝＋＋. （2）证明：由（1），·＝（－）·（＋＋）＝·＋＋·－－·－·＝0＋4＋2×3×－4－0－2×3×＝0，所以⊥，则BD⊥AC'. （3）由（1）知＝＋＋， 所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋9＋0＋2×2×3×＋2×2×3×＝29， 所以｜｜＝，即AC'的长为. [反思]　（1）用基底表示已知的向量时，需要通过向量的线性运算，逐步向基底靠拢；（2）证明垂直、求向量夹角、求向量的模时，直接选定模和夹角已知的向量为基底，先表示再运算. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $