1.2 空间向量基本定理（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 　 基底的概念与判断 1.（2026·浙江嘉兴期中）若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（　　） A.{a，2b，3c} B.{2a，a＋b，a－b} C.{a－c，a－b，b－c} D.{a＋c，a＋b，b－c} 解析：A　若三个向量构成空间的一个基底，则这三个向量不共面.因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面. A符合：显然a，2b，3c不共面，因此{a，2b，3c}可以作为一个基底. B不符合：显然2a＝（a＋b）＋（a－b），所以2a，a＋b，a－b共面，不能作为基底. C不符合：a－c＝（a－b）＋（b－c），因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为基底. D不符合：显然a＋c＝（a＋b）－（b－c），因此a＋c，a＋b，b－c共面，不能作为基底. 2.（2026·山东青岛调研）已知是空间的一个基底，则可以和a＋b，c构成空间的另一个基底的向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.2a＋2b＋c D.2a＋b＋c 解析：D　因为是空间的一个基底，可知a，b，c不为共面向量. 对于A，因为a＋b＋c＝（a＋b）＋c，可知a＋b，c，a＋b＋c为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B，因为a＋b－c＝（a＋b）－c，可知a＋b，c，a＋b－c为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C，因为2a＋2b＋c＝2（a＋b）＋c，可知a＋b，c，2a＋2b＋c为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D，假设a＋b，c，2a＋b＋c共面， 则2a＋b＋c＝x（a＋b）＋yc＝xa＋xb＋yc， 可得方程组无解， 可知a＋b，c，2a＋b＋c不为共面向量，可以作为基底，故D正确.故选D. ｜方法技巧｜ 判断给出的向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面. （1）如果向量中存在零向量，则不能作为基底； （2）如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； （3）假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若方程组有解，则共面，不能作为基底；若方程组无解，则不共面，能作为基底. 3.已知空间的一个基底{i，j，k}，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k. （1）写出一个与向量a平行的向量c1＝　　　　； （2）写出一个与向量a，b共面的向量c2＝　　　　； （3）写出一个与向量a，b构成空间的另一个基底的向量c3＝　　　　. 答案：（1）2i－4j＋2k　（2）j＋3k　（3）i＋4j＋5k（答案不唯一） 解析：（1）与向量a平行的向量c1＝λa（λ≠0）， 令λ＝2，可得c1＝2i－4j＋2k（答案不唯一）. （2）与向量a，b共面的向量c2＝xa＋yb， 令x＝y＝1，可得c2＝j＋3k（答案不唯一）. （3）若向量c3＝i＋4j＋5k，此时a，b，c不共面，所以可以构成空间的一个基底. 用基底表示空间向量 4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}作为空间的一个基底，则＝（　　） A.a－b－c B.－a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 解析：B　＝＋＋（＋）＝－＋＋＝－a＋b＋c. 5.[教材例题变式]已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝3GN.以{，，}为基底，则（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝－＋＋ D.＝＋＋ 解析：D　＝＋＝＋＝＋（－）＝＋ ＝＋（＋）＝＋＋.故选D. 6.如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是棱BD上一点，且BE＝3ED，以{，，}为一个基底，则＝　　　　　　　　. 答案：－－＋ 解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接AE，则＝－＝＋－＝＋（－）－×（＋）＝－－＋. 空间向量基本定理的应用 7.设{a，b，c}为空间的一个基底，＝2a＋3b＋5c，＝a＋2b－2c，＝ka＋b＋3c，若，，共面，则k＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　由已知，，共面， 则可设＝x＋y，即ka＋b＋3c＝x（2a＋3b＋5c）＋y（a＋2b－2c）， 即解得故选D. 8.（2026·江苏镇江月考）在空间直角坐标系中，{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝i－k，b＝－i＋2j＋3k，则a与b夹角的余弦值为　　　. 答案：－ 解析：由题意得i2＝j2＝k2＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0， 所以a·b＝（i－k）·（－i＋2j＋3k）＝－i2＋2i·j＋3i·k＋k·i－2k·j－3k2＝－1－3＝－4， ｜a｜＝＝＝＝， ｜b｜＝ ＝＝＝， 所以cos＜a，b＞＝＝＝－. 9.（2026·广东东莞七校联考）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠C1CB＝60°，CC1＝CB＝BD＝1. （1）以{，，}为基底表示向量，求对角线CA1的长度； （2）求异面直线CA1与DA所成角的余弦值. 解：（1）以{，，}为基底，则有＝＋＋＝＋＋. 因为CB＝BD＝1，CB⊥BD，则△BCD为等腰直角三角形，所以CD＝. 又因为CC1＝CB＝1，∠C1CB＝60°，所以△C1CB为边长为1的等边三角形， ＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2· ＝1＋2＋1＋2×1××＋2×1×1×＋2×1××＝9， 所以｜｜＝3， 所以＝＋＋，对角线CA1的长度为3. （2）因为＝＋＋，｜｜＝3， ＝，｜｜＝｜｜＝1， 所以·＝·＝· ＝＋·＋·＝1＋×1×＋1×1×＝， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CA1与DA所成角的余弦值为. 　 1.若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，成为空间一个基底的关系的是（　　） A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：C　A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面.故选C. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PB，PD的中点.若＝，＝x＋y，则x＋y＝（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：D　选{，，}作为基底，分别表示，，. 因为＝，所以＝＝（＋）＝（＋－）. 所以＝＋＝＋（＋－）＝＋＋. 因为E，F分别为PB，PD的中点， 所以＝＋，＝＋. 所以x＋y＝＋＋. 因为＝x＋y，所以 所以x＝y＝，所以x＋y＝. 3.若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝（　　） A.－1 B.1 C.0 D.－2 解析：A　因为a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底， 所以存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即e1＋te3＝x（e1＋e2）＋y（e2＋e3）， 即e1＋te3＝xe1＋（x＋y）e2＋ye3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 则，解得 4.（多选）已知空间单位正交基底{i，j，k}，设a＝i＋j＋2k，b＝i＋j－k，c＝i＋2j－2k，则（　　） A.a，b，c可以作为空间中的一个基底 B.a⊥b C.（2c＋a）∥b D.b，c夹角的余弦值为 解析：ABD　若存在实数m，n，使得a＝mb＋nc，所以i＋j＋2k＝（m＋n）i＋（m＋2n）j－（m＋2n）k， 所以无解，所以a，b，c可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，A正确. 由已知可得i，j，k两两互相垂直且模均为1， 所以a·b＝i2＋j2－2k2＝1＋1－2＝0，所以a⊥b，B正确. 2c＋a＝3i＋5j－2k，显然不存在实数λ，使得2c＋a＝λb，所以2c＋a与b不平行，故C错误. 因为b·c＝1＋2＋2＝5，｜b｜＝，｜c｜＝3，所以b，c夹角的余弦值为＝，D正确. 5.{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝a＋2b＋3c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p，则p＝　　　　　　　　　. 答案：（a＋b）－（a－b）＋3c 解析：设p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则p＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc. 所以解得 所以p＝（a＋b）－（a－b）＋3c. 6.手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，底边和侧棱长均为4，过点A作一个平面进行切割，分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P-AEFG，若＝，＝，则的值为　　　　　　. 答案： 解析：＝＋＝＋＝＋－， 设＝t，则＝t＋－2， 由于A，E，F，G四点共面，故t＋－2＝1. 解得t＝，故＝，则＝. 7.如图，N是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AB的中点. （1）若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值； （2）若CA＝CB＝CC1，∠ACB＝120°，CC1⊥平面ABC，点M在棱C1B1上，使AM⊥A1N，求的值. 解：（1）＝＋＝＋＝－＋＝－＋－， 而＝x＋y＋z＝x＋y＋z，则x＝－，y＝，z＝－1， 所以x＋y＋z＝－＋－1＝－1. （2）假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ（λ∈[0，1]）， ＝＋＋＝－＋λ. 由题意，设｜｜＝｜｜＝｜｜＝1， 又＜，＞＝120°，＜，＞＝＜，＞＝90°， 则·＝－，·＝·＝0. 因为AM⊥A1N，所以·＝0， 即（－＋λ）·＝0， 所以－·＋·－＋－·＋·－λ·＋λ－λ·＝0. 所以－1＋＋－λ·＋λ＝0，即λ＝，解得λ＝， 即＝时，AM⊥A1N， 则＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $