微专题5 与椭圆有关的最值、定值与定点问题（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

微专题5 与椭圆有关的最值、定值与定点问题 角度一　椭圆中的最值问题 与椭圆有关的最值问题一般具有较强的综合性，涉及多方面的知识. 1. 常用的处理方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何意义，进而求解； （3）将其转化为函数的最值问题处理.此时，应注意椭圆中x，y的范围. 2. 椭圆中的一些重要结论 （1）焦半径的最值：焦半径的最大值为a＋c，最小值为a－c. （2）椭圆上到中心距离最远和最近的点 设点O为坐标原点（即椭圆的中心），点P（x，y）为椭圆＋ ＝1（a＞b＞0）上任意一点，则｜PO｜的最小值为b，此时点P在短轴 的端点处，｜PO｜的最大值为a，此时点P在长轴的端点处. [例1]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； [解]　根据题意，知2a＝2，即a＝. 又离心率e＝＝，所以c＝， 可得b＝＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）若过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB（O为原点）面 积的最大值. [解]　由题意，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝kx＋2. 由得（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0. 由Δ＝（12k）2－4×9（1＋3k2）＞0，得k2＞1. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜ ＝· ＝· ＝6·. 点O（0，0）到直线AB的距离d＝， 所以S△OAB＝｜AB｜·d＝·＝. 令＝t（t＞0），则k2＝t2＋1， 所以S△OAB＝＝≤＝， 当且仅当＝3t，即t2＝时等号成立，此时k2＝， 所以△OAB面积的最大值为. 角度二　与椭圆有关的定点、定值问题 [例2-1]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点是M（2，0），离心 率为. （1）求椭圆C的标准方程； [解]　由右顶点是M（2，0），得a＝2， 又离心率e＝＝，所以c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称 点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请 说明理由. [解]　方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 显然直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝k（x－4），k≠0， 联立方程组 消去y得（4k2＋3）x2－32k2x＋64k2－12＝0， 由Δ＞0，得－＜k＜0或0＜k＜， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由题意知D（x2，－y2）， 所以直线AD的方程为y＝（x－x1）＋k（x1－4）. 又y1＋y2＝k（x1＋x2－8）， 所以直线AD的方程可化为y＝＋＋ ， 即y＝－＝（x－1）， 所以直线AD恒过点（1，0）. 联立方程组 消去x得（3m2＋4）y2＋24my＋36＝0， 由Δ＞0，得m＞2或m＜－2， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 因为点D（x2，－y2），则直线AD的方程为y＝（x－x1）＋y1. 方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋4， y＝（x－my1－4）＋y1 ＝－x＋ ＝－x＋＝（x－1）， 所以直线AD恒过点（1，0）. 又x1－x2＝my1＋4－my2－4＝m（y1－y2）， 所以直线AD的方程可化为 [例2-2]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）右焦点为F2，A（2，1）是C 上一点，点B与A关于原点O对称，△ABF2的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； [解]　设F2（c，0），其中c＝， 则＝2＝2××1×c＝，即c＝， 又点A（2，1）在椭圆C上，所以＋＝1， 将b2＝a2－6代入，整理得a4－11a2＋24＝0， 解得a2＝8，或a2＝3（舍），所以b2＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）直线l∥AB，且交椭圆C于点D，E，证明：直线AD与BE的斜率乘积 为定值. [证明]　由题意，kAO＝，DE∥AB，设D（x1，y1），E（x2， y2），直线DE的方程为y＝x＋m，m≠0， 联立直线DE与椭圆的方程，消去y得，x2＋2mx＋2m2－4＝0， 当Δ＝4m2－4（2m2－4）＞0，即－2＜m＜2且m≠0时， x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4， kAD＝＝＝＋，kBE＝＝＝＋， 所以kAD·kBE＝· ＝＋＋ ＝＋＝＋＝， 即kAD·kBE＝是定值. $