微专题1 空间直角坐标系的建立技巧（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

微专题1 空间直角坐标系的建立技巧 角度1　利用三棱互相垂直建系 [例1]　如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝BD＝2，BD⊥平 面ABC，F为AD的中点，＝2，建立合适的空间直角坐标系. （1）写出点A，C，D，F，E，向量，的坐标； [解]　由条件知AB，BC，BD三线共点且互相垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB＝BC＝BD＝2， 所以A（2，0，0），D（0，0，2），C（0，2，0）. 因为F是AD的中点，所以F（1，0，1）. 因为＝2，所以BD与CE平行，所以E（0，2，1）. 所以＝（1，－2，0），＝（0，2，－1）. （2）在DE上找一点H，使得FH⊥DE，写出H的坐标. [解]　方法一：因为点H在DE上，所以DH与DE共线， 所以设＝λ. ＝λ＝（0，2λ，－λ）.因为D（0，0，2）， 所以H（0，2λ，2－λ）.所以＝（－1，2λ，1－λ）. 因为FH⊥DE，所以·＝4λ＋λ－1＝0， 解得λ＝.所以H. 方法二：设＝λ，利用线性运算表示出. ＝λ＝（0，2λ，－λ），＝＋＝（－1，2λ，1－λ）. 因为FH⊥DE，所以·＝4λ＋λ－1＝0， 解得λ＝.所以＝. 所以H. 角度2　利用线面垂直建系 [例2]　如图1，等腰直角△ABC的斜边BC＝4，D为BC的中点，沿BC上的 高AD折叠，使得二面角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点.建立合适的空 间直角坐标系，写出点A，B，C，D，M的坐标，并求，夹角的正弦值. [分析]　本题中不存在三条互相垂直的棱，但有一条棱AD垂直底面，只需 要在底面再找一条与DC垂直的直线作x轴即可建系. [解]　由折叠过程可知，AD⊥平面DBC， ∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，所以∠BDC＝60°. 建立如图所示的空间直角坐标系， 结合折叠前BD＝DC＝2，△ABC是等腰直角三角形，可知AD＝2. 因为∠BDC＝60°，所以△DBC是等边三角形，所以DM＝1，BM＝. 所以A（0，0，2），B（，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0）， M（0，1，0）.所以＝（0，1，－2），＝（－，1，0）. 所以cos＜，＞＝＝. 所以，夹角的正弦值为＝. 角度3　利用两平面垂直建系 [例3]　如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝BD＝2，BD⊥平 面ABC，F为AD的中点，＝2，建立合适的空间直角坐标系. （1）写出点A，B，C，D，E，F的坐标； [分析]　注意本题与例1的区别，本题中没有互相垂直的三条棱，但 结合BD⊥平面ABC，可得到平面ABD⊥平面ABC. 同时，底面是以AC， BC为腰的等腰三角形，由此得到三条互相垂直的棱. [解]　如图，取AB的中点O，连接OF，OC， 因为BD⊥平面ABC，BD⊂平面ABD， 所以平面ABC⊥平面ABD. 因为△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝2， 所以CO⊥AB，所以CO⊥平面ABD. 所以OF，AB，OC两两垂直， 故以O为坐标原点，OA，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（，0，0），B（－，0，0），C（0，，0）， D（－，0，2），E（0，，1），F（0，0，1）. （2）在平面EFC上找一点H，使得AH⊥AE，写出一个H的坐标. [解]　设平面EFC上的点H（0，y，z），则＝（－，y，z）. 因为AH⊥AE，＝（－，，1）， 所以·＝2＋y＋z＝0，令y＝0，则z＝－2. 所以H的坐标可以是（0，0，－2）. 角度4　以底面的中心为原点建系 [例4]　如图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长都为2，E，F分别是棱 PC，PB的中点，点G在棱AB上，且＝λ，λ∈[0，1].建立适当的空间直 角坐标系. （1）若λ＝，在直线BD上找一点H使得GF∥EH，写出H的坐标； [解]　如图，连接AC，交BD于O，连接OE， 则O为AC的中点，连接OP. 由正四棱锥P-ABCD可知OA，OB，OP两两相互垂直， 建立如图空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2），E（－1，0，1），F（0，1，1）. 因为λ＝，G是AB的中点，F是PB的中点，所以FG∥PA. 同理，EO∥PA，所以EO∥FG. 所以点O（0，0，0）就是所求点H. （2）当异面直线GF与BD所成角为时，求实数λ的值. [解]　＝（0，－4，0），＝（－2，2，0），＝（－2， 1，1）， 所以＝λ＝（－2λ，2λ，0），＝－＝（－2＋2λ，1－ 2λ，1）. 因为异面直线GF与BD所成角为，所以·＝－4（1－2λ）＝0， 解得λ＝，符合题意. 故实数λ的值为. $