3.2 双曲线（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.2 双曲线 知识点一　双曲线的定义 　　我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小 于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间 的距离叫做双曲线的焦距. 集合P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为 常数且a＞0，c＞0. （1）当2a＜｜F1F2｜时，点M的轨迹是双曲线； （2）当2a＝｜F1F2｜时，点M的轨迹是两条射线； （3）当2a＞｜F1F2｜时，点M不存在. 　　[提示]　注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对 值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支. 知识点二　双曲线的标准方程与几何性质 1. 双曲线的标准方程与几何性质 标准 方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 图形 中心 （0，0） 顶点 （±a，0） （0，±a） 焦点 （±c，0） （0，±c） 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 范围 ｜x｜≥a，y∈R ｜y｜≥a，x∈R 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝＞1（其中c2＝a2＋b2） 实轴、 虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半 轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线 的虚半轴长 　　2. 等轴双曲线 　　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的渐近线互相垂直， 并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. [提示]　（1）双曲线的离心率e的取值范围为（1，＋∞）. （2）当e越接近于1时，双曲线的开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线的开 口越大. （3）双曲线与它的渐近线无限接近，但不相交. 知识点三　椭圆与双曲线的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 ｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a（｜ F1F2｜＝2c，2a＞2c） ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝ 2a（｜F1F2｜＝2c，2a＜ 2c） 标准方程 ＋＝1或＋＝1（a＞b＞ 0） －＝1或－＝1（a＞ 0，b＞0） 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2（a最大） c2＝a2＋b2（c最大） 通径 过焦点且垂直于长轴的弦，长为 过焦点且垂直于实轴所在直 线的弦，长为 角度一　双曲线的标准方程 1. 求双曲线标准方程的常用方法 （1）定义法：利用双曲线的定义或几何性质先求出a，然后由b2＝c2－a2求 出b2，从而求得标准方程； （2）待定系数法，具体步骤如下： 2. 双曲线方程的几种常见设法 满足条件 可设方程 中心在坐标原点，焦点在x轴上 －＝1（a＞0，b＞0） 中心在坐标原点，焦点在y轴上 －＝1（a＞0，b＞0） 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上 mx2－ny2＝1（mn＞0） 与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有 相同的渐近线 －＝λ（λ≠0） 双曲线的渐近线方程为y＝±x －＝λ（λ≠0）或n2x2－m2y2＝λ （λ≠0） 与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有 相同的焦点 －＝1（－b2＜k＜a2） 与椭圆＋＝1（a＞b＞0）有相同的 焦点 ＋＝1（b2＜λ＜a2） 　　[例1-1]　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y ＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的标准方程为（　　） A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 √ [解析]　由双曲线C的渐近线方程，知＝，即b＝a. ∵椭圆＋＝1的焦点坐标为（±3，0）， ∴ c2＝a2＋b2＝9，∴a2＋a2＝9，解得a2＝4， ∴b2＝a2＝5，∴双曲线C的标准方程为－＝1.故选B. [例1-2]　求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A（2，－ 3）的双曲线的标准方程. [解]　设所求双曲线的方程为－＝λ（λ≠0）. 因为点A（2，－3）在所求双曲线上， 所以－＝λ，即λ＝－， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 角度二　双曲线的焦点三角形 如图，P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、 右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦 点三角形. 设∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得， ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a⇔｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2， ① ｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ＝｜F1F2｜2＝4c2. ② 由②－①得2｜PF1｜·｜PF2｜·（1－cos θ）＝4c2－4a2， 则｜PF1｜·｜PF2｜＝. 又＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ， 从而＝b2·＝. [例2]　已知双曲线C的焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），实轴 长为4. （1）求双曲线C的标准方程； [解]　设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 由条件知c＝，2a＝4，∴a＝2，b＝1， ∴双曲线C的方程为－y2＝1. （2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积. [解]　方法一：由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝±4. ∵PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝4c2＝20， 即（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝20， ∴｜PF1｜｜PF2｜＝2， ∴△PF1F2的面积S＝｜PF1｜｜PF2｜＝×2＝1. ∴＝｜PF1｜｜PF2｜·sin θ＝×2×1＝1. 方法三：由题意设θ＝∠F1PF2＝90°， 则＝＝＝1. 方法二：由题意设θ＝∠F1PF2＝90°. ∵｜PF1｜｜PF2｜＝＝＝2， 角度三　双曲线的渐近线与离心率 1. 求双曲线的渐近线的方法 求双曲线－＝1（a＞0，b＞0）或－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线 方程的方法是令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x. 2. 求双曲线的离心率的值或取值范围的方法 （1）求a，b，c的值，由e2＝＝＝1＋直接求e； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助b2＝c2－a2消去b，然 后转化成关于e的方程（或不等式）求解. 3. 双曲线的形状与离心率的关系 对于双曲线－＝1（a＞0，b＞0），其渐近线的斜率为k，则｜k｜＝ ＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大， 双曲线的开口就越大. [例3-1]　设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，｜AB｜为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 3 [解析]　不妨设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），焦点F（－ c，0）.直线l垂直于y轴时，显然不满足题意，∴直线l垂直于x轴.将x＝－c代入 －＝1可得y2＝，∴｜AB｜＝2·＝2·2a. ∴b2＝2a2，∴c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝. √ [例3-2]　已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个 顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E的离心率为（　　） A. ＋1 B. －1 C. 2＋ D. 2－2 √ [解析]　如图： 正方形的顶点A，B为双曲线的焦点，顶点C，D在双曲线上， 则A（－c，0），B（c，0），故C. 由正方形ABCD得AB＝BC，所以2c＝，则2ac＝b2＝c2－a2， 即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－2e－1＝0， 解得e＝＋1或e＝－＋1（舍）. [例3-3]　已知双曲线－＝1（a＞0）的两条渐近线都与以椭圆＋＝ 1的左焦点为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的渐近线方程为 ⁠. [解析]　双曲线的渐近线方程为ax±3y＝0， 椭圆的左焦点为F（－4，0）. 因为渐近线ax±3y＝0与以F（－4，0）为圆心，为半径的圆相切， 所以＝，可得a＝4或a＝－4（舍去）， 故双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0. 4x±3y＝0 角度四　直线与双曲线的位置关系 1. 判断直线与双曲线的位置关系 将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，消去未知数y（或x）得到一 个关于x（或y）的方程. （1）若得到的方程为一次方程，即直线与双曲线的渐近线平行，此时直线 与双曲线相交且只有一个公共点. （2）若得到的方程为一元二次方程，则 Δ＜0⇔原方程组无实数解⇔直线与双曲线相离； Δ＝0⇔原方程组有两组相同的实数解⇔直线与双曲线相切； Δ＞0⇔原方程组有两组不同的实数解⇔直线与双曲线相交. 2. 弦长公式 设斜率为k的直线被双曲线截得的弦为AB，若A，B两点的坐标分别是A （x1，y1），B（x2，y2），则弦长｜AB｜＝ ＝｜x1－x2｜ ＝ ， 或当k≠0时，｜AB｜＝ ｜y1－y2｜ ＝ . [例4]　已知点A（－2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与 BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程； [解]　设M（x，y），则AM，BM的斜率分别为k1＝，k2＝， 由已知得·＝，化简得－＝1（x≠±2）， 即曲线C的方程为－＝1（x≠±2）. （2）若直线l：y＝x－3和曲线C相交于E，F两点，求｜EF｜. [解]　联立 消去y整理得x2－12x＋22＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2）， 则x1＋x2＝12，x1x2＝22， ｜EF｜＝｜x1－x2｜＝· ＝×＝4. $