2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一　直线与圆的位置关系及判断 1. 直线与圆的位置关系及图形表示 关系 相交 相切 相离 图形 公共点的个数 2 1 0 　　2. 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）代数法（判别式法） 由消去y（或x），得到关于x（或y）的 一元二次方程，求其判别式Δ，则 直线与圆的位置关系 等价条件 相交 Δ＞0 相切 Δ＝0 相离 Δ＜0 　　（2）几何法 已知圆心（a，b）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，圆的半 径为r，则 直线与圆的位置关系 等价条件 相交 d＜r 相切 d＝r 相离 d＞r 知识点二　两圆的位置关系及判断 　• 1. 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切和内含. 2. 两圆位置关系的判断方法 （1）利用两圆的公共点进行判断 设两圆的方程组成的方程组为则 此方程组： 有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有一组实数解⇔两圆相切（外切或内切）； 无实数解⇔两圆相离（外离或内含）. （2）利用两圆的圆心距进行判断 设圆C1：（x－a1）2＋（y－b1）2＝，C2：（x－a2）2＋（y－ b2）2＝.圆心距d＝，则 两圆的位置关系 等价条件 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r2＋r1 相交 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 内切 d＝｜r1－r2｜ 内含 d＜｜r1－r2｜ 角度一　直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要是依据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行 判断； 圆与圆的位置关系主要是依据两圆心之间的距离与两半径的和或两半径的 差的绝对值的大小关系进行判断. [例1-1]　若过点A（3，0）的直线l与圆（x－1）2＋y2＝1有公共点，则直 线l的斜率的取值范围为（　　） A. （－，） B. [－，] C. D. √ [解析]　方法一（代数法）：设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k（x－3）. 代入圆的方程，消去y，得（k2＋1）x2－（6k2＋2）x＋9k2＝0， Δ＝（6k2＋2）2－4（k2＋1）×9k2≥0， 整理得1－3k2≥0，解得－≤k≤. 方法二（几何法）：设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k（x－3），即kx－y－3k＝0. 由已知得圆心（1，0）到直线l的距离不大于圆的半径， 即≤1，整理得3k2≤1，解得－≤k≤. [例1-2]　已知圆C1：（x－3）2＋（y＋2）2＝1与圆C2：（x－7）2＋（y－ 1）2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为（　　） A. 14 B. 34 C. 14或45 D. 34或14 √ [解析]　圆C1：（x－3）2＋（y＋2）2＝1的圆心为C1（3，－2），半径r1 ＝1， 圆C2：（x－7）2＋（y－1）2＝50－a的圆心为C2（7，1），半径r2＝ ， ｜C1C2｜＝＝5. 因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2内切或外切， 故｜1－r2｜＝5或r2＋1＝5，从而r2＝6或r2＝4， 所以r2＝＝6或r2＝＝4，解得a＝14或a＝34， 所以实数a的值为14或34. 角度二　直线与圆的相交弦问题 1. 求弦长的方法 设直线y＝kx＋b与圆（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2的两个交点分别为A （x1，y1），B（x2，y2）. （1）代数法：联立直线与圆的方程，消元后，可得到关于x1＋x2，x1x2或y1 ＋y2，y1y2的关系式，则｜AB｜＝ ＝. （2）几何法：依据圆的半径r、弦长、弦心距d三者之间的关系，知｜AB｜ ＝2. 2. 弦的中点的求法 （1）把直线方程和圆的方程联立，由根与系数的关系求解； （2）解方程组（弦所在的直线方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的 方程组），求两直线的交点. [例2-1]　（1）已知圆M：（x－2）2＋y2＝4内有点P（3，1），则以点P为 中点的圆M的弦所在的直线方程为（　　） A. x＋y－2＝0 B. x－y－2＝0 C. x＋y－4＝0 D. x－y＋2＝0 √ [解析]　由圆M的标准方程（x－2）2＋y2＝4， 可知圆心M（2，0），半径r＝2， 如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点， 以点P为中点的圆M的弦即为AB， ∵kMP＝＝1，MP⊥AB， ∴kAB＝－＝－1， 即直线AB的方程为y－1＝－（x－3），即x＋y－4＝0. （2）圆C：x2＋4x＋y2－5＝0的一条弦以点A（－1，2）为中点，则该弦的长为 （　　） A. 2 B. 4 C. D. 2 [解析]　将x2＋4x＋y2－5＝0配方得（x＋2）2＋y2＝9， 圆心为C（－2，0），r＝3， 所以弦长为2＝2 ＝2＝4. √ [例2-2]　 设直线x＋my－1＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝4相交于A，B 两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ⁠. [解析]　圆（x－1）2＋（y－3）2＝4的圆心为（1，3），半径r＝2， 圆心（1，3）到直线x＋my－1＝0的距离d＝， 由题意，弦AB的长为2，则2＝2， 则4－＝1，解得m＝±. ± 角度三　圆的切线的相关问题 1. 经过圆外一点P（x0，y0）的切线方程的求法 （1）几何法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k（x－ x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k，进而得出切线方程. 当切线斜率不存在时，易知切线方程为x＝x0. （2）代数法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k（x－ x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次 方程，由Δ＝0，求得k，即可求出切线方程. 　　[提示]　（1）过圆外一点的圆的切线必有两条，当解出的k值唯 一时，应检验是否有一条垂直于x轴的切线； （2）一般来说，用几何方法求切线方程较为简单，但应注意检验斜率不存 在时的直线方程是否为所求切线方程. 2. 经过圆上的一点P（x0，y0）的切线方程的求法 圆的方程 切线方程 x2＋y2＝r2（r＞0） x0x＋y0y＝r2 （x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0） （x0－a）（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2 －4F＞0） x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0 　　3. 切点弦所在直线的方程的求法 过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一点P（x0，y0）引圆的两条切线，切点分 别为A，B，则过A，B两点的直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－ b）＝r2. [例3]　已知点P（＋1，2－），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋ （y－2）2＝4. （1）求过点P的圆C的切线方程； [解]　由题意得圆心C（1，2），半径r＝2. ∵｜PC｜2＝（＋1－1）2＋（2－－2）2＝4，∴点P在圆C上. 方法一（利用切线与直线PC垂直）：∵kPC＝＝－1， ∴切线的斜率k＝－＝1. ∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－）＝x－（＋1）， 即x－y＋1－2＝0. 方法二（利用圆的切线方程）：圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4的切 线方程为（x0－1）（x－1）＋（y0－2）（y－2）＝4， 将x0＝＋1，y0＝2－代入， 可得（x－1）－（y－2）＝4，即x－y＋1－2＝0. （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长. [解]　∵｜MC｜2＝（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4， ∴点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C（1，2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2， ∴直线x＝3是圆C的切线. 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3）， 即kx－y＋1－3k＝0， 则圆心C到切线的距离d＝＝2，解得k＝， ∴切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0. 综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0，切线长为 ＝＝1. 角度四　两圆的公共弦 （1）求两圆公共弦所在的直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，　① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，　② 若两圆相交，则它们有一条公共弦， 由①－②，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为公共弦所在 的直线方程. （2）求两圆公共弦的长 ①代数法：将两圆的方程联立得方程组，由此解出两交点的坐标，再 利用两点间的距离公式求出公共弦长； ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，利用勾股定理解直角三角 形，求出公共弦长. [例4]　求圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所 在直线的方程及公共弦长. [解]　两圆的方程相减得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在的直线方程. 方法一（代数法）：设两圆相交于两点A，B， 由得或 所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2. 方法二（几何法）：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 得（x－1）2＋（y＋5）2＝50， 其圆心坐标为（1，－5），半径r＝5， 圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（3）2＋l2， 解得l＝，故公共弦长2l＝2. 角度五　圆系方程 常用的圆系方程有以下几种： （1）以（a，b）为圆心的同心圆的圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ＞ 0）. （2）过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0. （3）过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2） ＝0（λ≠－1），其中不包含圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意，以 防漏解. 当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋ （F1－F2）＝0（当两圆是同心圆时，此直线不存在）. [例5]　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2 －4y－6＝0的交点的圆的方程为 ⁠. [解析]　方法一：由解得或 故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A（－1，－1），B（3，3），线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－（x－1）， 由解得 所以所求圆的圆心坐标为（3，－1），半径为＝4， 所以所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝16. （x－3）2＋（y＋1）2＝16 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠ －1）. 易求得所求圆的圆心坐标为， 将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－. 故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即（x－3）2＋（y＋1）2＝16. 角度六　圆的方程的实际应用 [例6]　如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两 段直线型道路PB，QA. 规划要求，线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不 小于圆O的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足）， 测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）. （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； 　　[解]　如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴， 建立平面直角坐标系. 因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25. 因为AC＝6，BD＝12，所以OH＝＝9， 故直线l的方程为y＝9，则点A，B的纵坐标分别为3，－3. 从而A（4，3），B（－4，－3）， 直线AB的斜率为. 因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－， 直线PB的方程为y＝－x－. 　　令y＝9，得x＝－13，所以P（－13，9）， 所以PB＝＝15. 因此道路PB的长为15百米. （2）在规划要求下，点Q能否选在D处？并说明理由. [解]　若点Q选在D处，可求出点D（－4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：y＝－x＋6（－4≤x≤4）. 由解得x＝4或x＝， 故不妨取x＝3，得到在线段AD上的点M， 因为OM＝＜＝5， 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径5. 因此点Q选在D处不满足规划要求. $