3.1 椭 圆（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.1 椭 圆 知识点一　椭圆的定义 　　我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的 点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距 的一半称为半焦距. 椭圆可看作点集P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，0＜｜F1F2｜＜2a}. 要注意“0＜｜F1F2｜＜2a”这一条件. 　　[提示]　（1）若｜F1F2｜＝2a，则动点M的轨迹为线段F1F2； （2）若｜F1F2｜＞2a，则动点M的轨迹不存在； （3）注意焦距指的是2c. 知识点二　椭圆的标准方程与几何性质 1. 椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 图形 中心 （0，0） 顶点 （±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0） 对称性 关于x轴、y轴、坐标原点对称 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 离心率 e＝（0＜e＜1，其中c2＝a2－b2） 长轴、 短轴 线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 　　2. 关于椭圆的重要结论 （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两焦点，过F1的直线AB与椭 圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为定值4a； （2）椭圆短轴端点与焦点的连线段的长为a； （3）椭圆的离心率e＝； （4）椭圆的通径为过焦点且垂直于长轴的弦，通径长为. 角度一　椭圆的标准方程 1. 求椭圆标准方程的常用方法 （1）定义法：根据椭圆的定义或几何性质确定a2，b2的值，再结合焦点位置 求出椭圆的标准方程； （2）待定系数法：先根据题意确定焦点是在x轴上还是y轴上，以便确定方 程的形式，然后根据条件求出a2，b2的值. 2. 椭圆方程的几种常见设法 满足条件 可设方程 中心在坐标原点，焦点在x轴上 ＋＝1（a＞b＞0） 中心在坐标原点，焦点在y轴上 ＋＝1（a＞b＞0） 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上 mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n） [例1-1]　已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9，动圆 M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 （　　） A. －＝1 B. ＋＝1 C. －＝1 D. ＋＝1 √ [解析]　设圆M的半径为r， 则｜MC1｜＋｜MC2｜＝（13－r）＋（3＋r）＝16＞8＝｜C1C2｜， 所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝＝4， 故所求的轨迹方程为＋＝1. [例1-2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为F1（－2，0），长轴长是短轴长的2倍； [解]　设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. （2）经过点P（2，2），离心率为，焦点在x轴上； [解]　设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 有解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. （3）经过P1（－，1），P2（，－）两点； [解]　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1（m≠n，m＞0，n＞0）， 代入点P1（－，1），P2（，－）的坐标， 可得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. （4）在x轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直，且椭圆过点. [解]　由短轴上的顶点到焦点的距离为a，且在x轴上的一个焦点与 短轴上两顶点的连线互相垂直，得a2＋a2＝4b2，所以a＝b. 因为焦点在x轴上， 所以可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由椭圆过点及a＝b， 可求得b＝3，a＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 角度二　椭圆中的焦点三角形 椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点P（x0，y0）与左、右焦点F1，F2构成的 △PF1F2叫做焦点三角形. 如图所示，设∠F1PF2＝θ. （1）当点P为短轴端点时，θ最大； （2）焦点三角形的周长为2（a＋c）； （3）｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ（余弦定理）； （4）＝b2·tan. [例2-1]　已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个 焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　） A. 2 B. 6 C. 4 D. 12 [解析]　设另一焦点为F，由点F在BC边上， 所以△ABC的周长l＝｜AB｜＋｜BC｜＋｜CA｜ ＝｜AB｜＋｜BF｜＋｜CF｜＋｜CA｜＝2＋2＝4. √ [例2-2]　已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞3）的左、右焦点，点 P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝120°，则｜PF1｜｜PF2｜＝（　　） A. 18 B. 36 C. 36 D. 与a的取值有关 √ [解析]　由椭圆定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a. ∵∠F1PF2＝120°， ∴cos ∠F1PF2＝ ＝， 即－＝＝， ∴｜PF1｜｜PF2｜＝4b2＝36. [例2-3]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P为椭圆上的点， 且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积. [解]　由题可知a＝2，b＝，则c＝＝＝1， 所以｜F1F2｜＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 ｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF1｜｜F1F2｜·cos 120°， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4＋2｜PF1｜.　① 由椭圆定义，得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4， 即｜PF2｜＝4－｜PF1｜.　② 将②代入①，解得｜PF1｜＝. 所以＝｜PF1｜·｜F1F2｜·sin 120°＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. 角度三　椭圆的离心率 1. 离心率e的大小对椭圆扁平程度的影响 2. 求椭圆离心率的两种方法 （1）若易求a，c，则由e＝求解；若易求b，c，则由e＝求解；若易 求a，b，则由e＝求解. （2）列出关于a，c的齐次方程，列式时常用代替式子中的b，然后 将等式两边同时除以a的n次方（一般除以a或a2），从而利用e＝转化 为关于e的方程，解方程即可.但应注意0＜e＜1. [例3]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2， 点P在C上且PF2⊥x轴，O为坐标原点，点G满足＝3，⊥，求椭 圆C的离心率. [解]　设F1（－c，0），F2（c，0），由对称性不妨设点P在第一象限. 由PF2⊥x轴，可得xP＝c，故＋＝1，所以yP＝，即P. 因为＝3，所以G， 故＝.而＝， 因为⊥，所以×（－2c）＋×＝0， 整理得a2－2ac－c2＝0.故1－2e－e2＝0，解得e＝－1，符合题意. 角度四　直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆的位置关系的判断 将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消去未知数y（或x）得到一个 关于x（或y）的一元二次方程. （1）Δ＜0⇔原方程组无实数解⇔直线与椭圆相离； （2）Δ＝0⇔原方程组有两组相同的实数解⇔直线与椭圆相切； （3）Δ＞0⇔原方程组有两组不同的实数解⇔直线与椭圆相交. 2. 弦长公式 设斜率为k的直线被椭圆截得的弦为AB，若A，B两点的坐标分别是A （x1，y1），B（x2，y2），则弦长｜AB｜＝ ＝｜x1－x2｜ ＝， 或当k≠0时，｜AB｜＝｜y1－y2｜ ＝. 3. 弦的中点问题 （1）常见的角度 ①求中点弦所在的直线方程； ②求弦的中点的轨迹方程； ③求弦长为定值时的弦中点的坐标. （2）常用的求解方法 ①点差法：设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，并将两式 相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，借用中点坐标公式 即可求得弦所在的直线的斜率； ②根与系数的关系：联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为关 于x（或y）的一元二次方程后，由根与系数的关系求解. （3）与椭圆的中点弦有关的一个重要结论 设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的弦AB的中点为P（x0，y0） （y0≠0），则kAB＝－·. [例4]　已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于 A，B两点. （1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长； [解]　易得直线l的方程为y－2＝（x－4），即y＝x. 由可得或 则｜AB｜＝＝3. （2）当点P恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程. [解]　方法一：显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则其方 程为y－2＝k（x－4）. 　　由消去y， 得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋64k2－64k－20＝0， 　　设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝， 由于线段AB的中点恰好为P（4，2）， 所以＝＝4，解得k＝－，满足Δ＞0. 这时直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0. 　　方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）. 由 　得＋＝0，　 点差法 整理得直线AB的斜率kAB＝＝－， 由于P（4，2）是AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 于是kAB＝－＝－，于是直线l的方程为y－2＝－（x－4）， 即x＋2y－8＝0. $