阶段验收（五） 3.1 椭 圆（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

阶段验收（五）　3.1　椭　圆 （时间：60分钟　满分：80分） 　 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为（0，），（0，－），点（－1，）在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题意，设F1（0，－），F2（0，），P（－1，）， 则c＝，｜PF1｜＝＝3， ｜PF2｜＝＝1， 则2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，即a＝2，则e＝＝，所以椭圆的离心率为.故选A. 2.经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　易知椭圆左焦点为F1，且直线l的斜率为1， 故直线l的方程为y＝x＋1. 联立＋y2＝1得3x2＋4x＝0. 解得x＝0或x＝－. 所以A，B. 所以＝＝. 3.[一题多解]（2026·河北石家庄段考）A，B为椭圆C：＋＝1的左、右顶点，M为椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AM，BM的斜率之积是（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　方法一：设M（x，y），则有A（－10，0），B（10，0）， 由＋＝1，可得y2＝36＝（100－x2）， 所以kAM＝，kBM＝， 所以kAM·kBM＝·＝＝＝－. 方法二：由椭圆第三定义可知kAM·kBM＝e2－1＝－＝－. 4.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若｜PF1｜｜PF2｜＝12，则∠F1PF2的大小为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：B　P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， 则｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，｜F1F2｜＝2. 又｜PF1｜｜PF2｜＝12，由（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝＋2｜PF1｜｜PF2｜＋＝64， 得＋＝40. 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝， 而∠F1PF2为三角形内角，所以∠F1PF2＝60°.故选B. 5.已知圆F1：（x＋2）2＋y2＝36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　由已知，得｜PF2｜＝｜PA｜，所以｜PF2｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF1｜＝｜F1A｜＝6，又｜F1F2｜＝4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，以6为长轴长的椭圆， 所以2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1. 故选B. 6.如图，已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　连接PF1，OQ，因为线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，故PF2⊥OQ. 因为｜F1O｜＝｜OF2｜，点Q为线段PF2的中点， 故PF1∥OQ且｜PF1｜＝2｜OQ｜＝2b，故｜PF2｜＝2a－2b. 又PF1⊥PF2，故4b2＋4（a－b）2＝4c2＝4a2－4b2，整理得到3b＝2a， 所以9（a2－c2）＝4a2，所以e＝＝.故选A. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知点P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：（x＋1）2＋y2＝上的动点，则（　　） A.椭圆C的短轴长为1 B.椭圆C的离心率为 C.圆D在椭圆C的内部 D.｜PQ｜的最小值为 解析：BCD　由椭圆C：＋y2＝1可得，a2＝6，b2＝1， 所以c2＝a2－b2＝5，所以椭圆的短轴长为2，所以A不正确； 离心率e＝＝＝，所以B正确； 联立整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××＜0， 所以两个曲线无交点，所以圆D在椭圆的内部，所以C正确； 由题意可得｜PQ｜min＝｜PD｜min－，设P（x，y）， 则｜PD｜＝＝≥， 所以｜PQ｜的最小值为，所以D正确.故选B、C、D. 8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，M是椭圆C上异于A1，A2的一点，且｜OF1｜＝｜OM｜＝｜MF2｜＝1（O为坐标原点），记MA1，MA2的斜率分别为k1，k2，设I为△MF1F2的内心，记△IMF1△IMF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，则（　　） A.·＝0 B.椭圆C的离心率为 C.k1k2＝3－2 D.S1＋S2＝S3 解析：ACD　如图1，对于A，由｜F1O｜＝｜MO｜＝｜F1F2｜， 则在△MF1F2中，MF1⊥MF2，即·＝0，故A正确； 对于B，由｜F1O｜＝1，则c＝1，在Rt△MF1F2中，｜MF1｜＝＝， 由2a＝｜MF1｜＋｜MF2｜＝＋1，则a＝，所以离心率e＝＝－1，故B错误； 对于C，取线段OF2的中点为N，连接MN，如图2， 在△MOF2中，｜MO｜＝｜MF2｜＝｜OF2｜＝1，易知｜ON｜＝，｜MN｜＝，则M， 由A1，A2，则k1＝，k2＝－1，所以k1k2＝3－2，故C正确； 对于D，设△MF1F2内切圆半径为r，则S1＝r｜MF1｜，S2＝r｜MF2｜，S3＝r｜F1F2｜， 所以＝＝，即S1＋S2＝S3，故D正确.故选A、C、D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9.如图，图形由半椭圆＋＝1与半椭圆＋＝1组成，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0，F0，F1，F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a＋b＋c＝　　　　　. 答案： 解析：因为△F0F1F2是边长为1的等边三角形， 则＝＝，＝c＝＝， 所以b＝1. 又a2＝b2＋c2＝1＋＝， 所以a＝， 所以a＋b＋c＝. 10.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜＝2｜PF2｜，则椭圆C的离心率为　　　　. 答案：－1 解析：如图，连接PF1，QF1，QF2， ∵P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，∴O为PQ的中点. 又∵O为F1F2的中点且｜PQ｜＝｜F1F2｜，∴四边形PF1QF2为矩形， 不妨设｜PF2｜＝t，则｜F1F2｜＝2t，｜PF1｜＝t， e＝＝＝＝－1. 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.（13分）已知F（2，0）是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，P（，）是E上一点. （1）求E的方程； （2）记O为坐标原点，过F的直线l与E交于A，B两点，若OA⊥OB，求｜AB｜的值. 解：（1）由题可知，解得 则E的方程为＋＝1.（4分） （2）若l的斜率不存在，根据对称性，不妨令A（2，），B（2，－），则＝（2，），＝（2，－），·＝4－2≠0，不符合条件.（5分） 若l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x－2），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组整理得（1＋2k2）x2－8k2x＋8k2－8＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝.（8分） 因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2－2k2（x1＋x2）＋4k2 ＝＝＝0，解得k2＝2，（11分） 则｜AB｜＝·＝·＝.（13分） 12.（15分）（2026·浙江金华十校联考）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF1⊥F1F2，cos ∠PF2F1＝. （1）求C的方程； （2）过F1作直线l交C于A，B两点（A在x轴上方）.求△ABF2面积的最大值. 解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，所以2a＝4，解得a＝2.（2分） 设｜F1F2｜＝2c，因为PF1⊥F1F2，cos ∠PF2F1＝，所以｜F1F2｜＝｜PF2｜，｜PF1｜＝｜PF2｜， 又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，所以｜PF2｜＋｜PF2｜＝4，解得｜PF2｜＝，所以2c＝｜F1F2｜＝2，c＝1，（4分） 所以b＝＝，椭圆C的方程为＋＝1.（6分） （2）由题意知l的斜率不为0，F1（－1，0），故可设l的方程为x＝my－1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去x并整理得（3m2＋4）y2－6my－9＝0，此时Δ＝144（m2＋1）＞0， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝－，（9分） 所以｜y1－y2｜＝＝＝， 所以＝｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝＝. 令t＝∈[1，＋∞），设y＝3t＋，由对勾函数的性质，当t∈[1，＋∞）时，y＝3t＋在上单调递增，故y＝3t＋≥4， 即3＋≥4， 所以＝≤3，当且仅当t＝＝1，即m＝0时，等号成立. 所以△ABF2面积的最大值为3.（15分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $