2.3 直线的交点坐标与距离公式（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 　 知识点一　两条直线的交点坐标 　　已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋ C2＝0（A2，B2不同时为0）相交，则以方程组的解为坐 标的点必是l1，l2的交点. 知识点二　两点间的距离公式 P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式为｜P1P2｜＝ . 特别地，原点O（0，0）与任意一点P（x，y）间的距离｜OP｜＝ . 知识点三　点到直线的距离公式 平面上任意一点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距 离d＝. [提示]　（1）点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为直线上所有的 点到已知点P的距离中的最小距离.在应用此公式时，若给出的直线的方程不是 一般式，则应先把方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式求解. （2）点到几种特殊直线的距离： ①点P（x0，y0）到x轴的距离d＝｜y0｜； ②点P（x0，y0）到y轴的距离d＝｜x0｜； ③点P（x0，y0）到直线y＝a的距离d＝｜y0－a｜； ④点P（x0，y0）到直线x＝b的距离d＝｜x0－b｜. 知识点四　两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直线l2：Ax＋By＋C2＝0（A， B不同时为0，且C1≠C2）间的距离为d＝. [提示]　两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式， 并且x，y的系数分别对应相等的情况，若x，y对应的系数不相等，应先化为相 等，再求距离. 角度一　两直线的交点问题 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合 其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y ＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中λ为 常数，且该直线系方程不包括直线l2），再根据其他条件求出待定系数，写出 直线方程. [例1]　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于 直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. [分析]　思路一：先求交点坐标，再由所求直线与直线l3垂直得到所求直 线的斜率，利用点斜式写出方程；思路二：设垂直直线系方程；思路三：设过 交点的直线系方程. [解]　方法一（点斜式方程）：由 得l1，l2的交点坐标为（－1，2）. ∵l3的斜率为，∴l的斜率为－， ∴直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0. 方法二（垂直直线系方程）：∵l⊥l3， ∴可设直线l的方程为5x＋3y＋C＝0， 由方法一知，l过l1，l2的交点（－1，2）， ∴5×（－1）＋3×2＋C＝0，∴C＝－1， ∴直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 方法三（过交点直线系方程）：∵直线l过l1与l2的交点， ∴可设l：3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0， 即（3＋5λ）x＋（2＋2λ）y＋λ－1＝0. 结合该直线与l3垂直，可得（3＋5λ）×3＋（2＋2λ）×（－5）＝0. 解得λ＝，∴所求直线的方程为5x＋3y－1＝0. 角度二　直线过定点问题 求直线恒过定点的常用方法 （1）将直线方程化成点斜式方程y－b＝k（x－a），则该直线恒过定点（a，b）； （2）特殊值法，给参数赋予两个特殊值，得到直线系中的两条直线，联立两直 线方程，得到两直线的交点坐标，该交点坐标即直线恒过的定点； （3）将直线方程整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0的形式，从而将 直线恒过的定点转化为两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交 点，解方程组求出交点坐标，即得所求的定点. [例2]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R），则该直线所过的定点的坐 标为 ⁠. [解析]　方法一：分别令k＝0，1， 则对应的两直线方程为－y＋1＝0，x－y＋3＝0. 由得 故所求定点坐标为（－2，1）. 方法二：kx－y＋1＋2k＝0可化为k（x＋2）＋（－y＋1）＝0， 由得故所求定点坐标为（－2，1）. （－2，1） 角度三　距离公式的应用 1. 求点到直线的距离时，首先要把直线方程化成一般式，然后再套用点到直线 的距离公式. 2. 求解两平行直线间的距离，可以利用公式法求解，但要注意两直线方程系数 对应相等，也可以转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离. [例3-1]　直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0之间的距离是（　　） A. B. C. D. √ [解析]　方法一（公式法）：直线6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋＝0，所以两条平行直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y＋1＝0之间的距离d＝＝. 方法二（转化法）：在直线6x＋8y＋1＝0上取一点P， 则点P到直线3x＋4y－2＝0的距离就等于两直线之间的距离， 即d＝＝. [例3-2]　如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的 位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，求直线l2的方程. [解]　由直线l1的方程可知A（1，0），D（0，1）， 设直线l2的方程为y＝－x＋b（b＞1），即x＋y－b＝0， 则B（b，0），C（0，b）， ∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b. 梯形ABCD的高h即点A到直线l2的距离， 故h＝＝（b＞1）. 由梯形的面积公式，得×＝4， 解得b＝±3，∴b＝3. 故直线l2的方程为x＋y－3＝0. 角度四　与直线有关的最值问题 [例4]　点（3，2）到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为（　　） A. 10 B. C. 4 D. [分析]　思路一：最直接的思路是用含λ的式子表示距离，利用函数思想求 最值；思路二：找到直线所过定点，数形结合求最值.思路一前期思路比较直 接，但后期处理比较复杂，容易出错.利用直线过定点是此类问题最优解法. √ [解析]　方法一：点（3，2）到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离 d＝＝. 　　要求d的最大值，即求d2＝＝的最大值. 下面用判别式法求d2的最值： 原式即为（d2－1）λ2－6λ＋d2－9＝0， 利用判别式Δ＝36－4（d2－1）（d2－9）≥0可得d2≤10. 所以d的最大值为. 方法二：由λx＋y－2λ＋1＝0，得λ（x－2）＋y＋1＝0. 故直线λx＋y－2λ＋1＝0恒过定点P（2，－1）， 记点（3，2）为点Q，当PQ与直线λx＋y－2λ＋1＝0垂直时， 点Q（3，2）到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离有最大值， 最大值为｜PQ｜＝＝. $