2.4 圆的方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程、一般方程、点与圆位置关系及轨迹方程，从直线方程过渡，通过圆心、半径等几何要素构建知识支架，衔接前后内容，助力学生系统掌握。 其亮点在于分层训练（基础到拔高）、数形结合（如参数方程几何意义）及高考对接，含思维导图。以轨迹方程例题为例，培养数学思维与语言，提升学生运算能力，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 本节掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件求出圆的方程，会判断点与圆的位置关系，体会数形结合思想，提升解析几何运算与问题求解能力。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括107张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 圆的标准方程 1 圆的标准方程 我们把称为圆心为 ，半径（圆的几何要素：圆 心位置和半径）为 的圆的标准方程. 特别提醒 所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程的右端 ,当方程右端 小于或等于0时，对应的方程不是圆的标准方程. . . . . 4 2 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点圆心，半径 圆心在原点即,,半径为, 圆心在轴上即,半径为, 圆心在轴上即,半径为, 圆心在轴上且过原点即,半径, 圆心在轴上且过原点即,半径, 与轴相切圆心,半径, 与轴相切圆心,半径, 5 学思用·典例详解 例1-1 若某圆的标准方程为 ，则此圆的圆心和半径分别为 ( ) B A., B.， C.，3 D. ，3 【解析】由圆的标准方程可知，圆心为，半径为 . 例1-2 [教材改编P85 T1（2）](2026·广东省佛山市期中)以 为圆心，且经过点 的圆的方程是________________________. 【解析】由题意知，圆心是，半径 , 所以圆的方程为 ． 6 知识点2 圆的一般方程 1 圆的一般方程的概念 方程叫做圆的一般方程 （圆的一般方程的形式特点：,项的系数均为1；②没有 项； ） . . 7 2 方程 表示的图形 对方程 的左边配方，并把常数项移到右边，得 .根据圆的标准方程的特点，可知: 方程 条件 意义 方程没有实数解，它不表示任何图形 方程只有实数解, ,它表示一个点 方程表示以为圆心， 为 半径的圆 . . . . . . 8 知识剖析 一般地，二元二次方程 表示圆的充要 条件是:,（【文字解释】和的系数相等，且不等于0；没有 项）, . . . . . 9 学思用·典例详解 例2-3 [多选题]已知方程 ，下列叙述正确的是( ) BD A.方程表示的是圆 B.若方程表示圆，则圆心在 轴上 C.若方程表示圆，则圆心在 轴上 D.当时,方程表示以 为圆心,半径为1的圆 【解析】易知,,，由方程表示圆的条件得， ， 即，解得，因此只有当 时才表示圆，故A错误. ,，若方程表示圆，则圆心坐标为，圆心在 轴上，故B正确， C错误. 当时，半径 ,故D正确. 10 点评 也可以先把方程配方成 的形式，再由圆的标准方程的 特点判断各选项是否正确. 11 知识点3 点与圆的位置关系 设点的坐标为，圆的标准方程为 ，一 般方程为，则点与圆 的位置关系 的判断方法如下： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆 上 或 点在圆 内 或 点在圆 外 或 12 学思用·典例详解 例3-4 [教材改编P85 T3]已知圆的圆心为，且过原点，求圆 的标准方 程，并判断点，，与圆 的位置关系. 【解析】因为圆过原点，圆心为，所以圆 的半径 ，故圆 的标准方程为 . 因为 ， 所以点在圆 内. 因为 ， 所以点在圆 上. 因为 ， 所以点在圆 外. 13 释疑惑 重难拓展 知识点4 轨迹和轨迹方程 1 轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点,点的轨迹方程是指点的坐标 满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的 轨迹（集合）. 特别提醒 “轨迹”与“轨迹方程”有区别.“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小（范围） 等特征;“轨迹方程”是方程,不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围. 14 2 坐标法求轨迹方程的步骤 15 学思用·典例详解 例4-5 [教材改编P89 T9]已知点与两个定点,的距离的比值为 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】设是满足条件的任意一点，由题意知 ， 即，两边平方并化简，得 ,配方得 .故所求轨迹是圆心为，半径为 的圆. 16 【想一想丨知识拓展】 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.本书章末对阿氏圆进行了专题探究. 17 知识点5 圆的参数方程 教材深挖：该知识点是对教材第89页【习题2.4】第10题的挖掘.#1 圆的标准方 程 图形 参数方程 参数 的几何意义 为参数 绕点 逆 时针旋转到 的 位置时转过的角度， 18 圆的标准方 程 图形 参数方程 参数 的几何意义 为参数 绕点 逆 时针旋转到 的 位置时转过的角度， 续表 19 学思用·典例详解 例5-6 参数方程 表示圆心为________，半径为___的圆，化为标准方 程为______________________. 1 【解析】 从参数方程中可以看出，圆心为,半径 ，所以圆的标准 方程为 . 参数方程变形为 平方相加,得到标准方程 ， 所以圆心坐标为,半径 . 20 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 二元二次方程表示圆的问题 1 判断二元二次方程是否表示圆 例7 下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径. （1） ; 【解析】中与 的系数不相同，故原方程不表示圆; （2） ; 【解析】中含有 项，故原方程不表示圆; 21 （3） ； 【解析】 因为 ,所以方程表示圆，圆心坐标 为，即,半径 . 方程可化为，它表示以 为圆心， 为半径的圆． （4） . 【解析】因为，，，所以 ，所以 方程不表示圆． 22 2 确定圆的条件（求参数的取值范围） 例8 (2026·重庆市清华中学校月考)若方程 表 示圆，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 方程 可化为 ,若它表示圆，则需满足，故 . 若方程 表示圆， 则（（））（（））（（）），解得 . . . . . . . 23 判断二元二次方程是否表示圆的思路 判断二元二次方程是否表示圆时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特 征，与的系数相等且不为0，没有项 当它具备圆的一般方程的特征时，再看 它能否表示圆.此时有两种途径：一是看 是否大于零；二是直接配方变 形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． . . . . 24 【学会了吗丨变式题】 1.已知方程 表示的图形是圆. （1）求 的取值范围； 【答案】将方程化为 ，因为该方程 表示圆，所以，由此解得 . （2）求其中面积最大的圆的方程. 【答案】要使圆的面积最大，则需其半径 最大，因为 ，所以当时， 有最大值，且最大值为1， 即的最大值为1，于是面积最大的圆的方程为 . 25 题型2 点与圆的位置关系的应用 1 由圆的方程判断点与圆的位置关系 例9 ［教材改编P88 T6]已知，，， ，判断这四点是否 在同一个圆上. 26 【解析】 线段，的斜率分别是,，得 ，则 ,,三点不共线，设过,,三点的圆的方程为 . 因为,, 三点在圆上， 所以解得 所以过,,三点的圆的方程为，将点的坐标 代入 圆的方程，得，即点在圆上，故，，， 四点 在同一个圆上. 27 因为，所以 （先通过画图进行观察猜 想，再进行代数证明）， 所以是过，， 三点的圆的直径， ，线段的中点 即为圆心． 因为 ， 所以点在圆 上， 所以，，， 四点在同一个圆上． 名师点评 解决四点是否共圆问题，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四 个点的坐标代入，若满足方程，则四点共圆，若不满足方程，则四点不共圆. . . 28 2 由点与圆的位置关系求参数的取值范围 例10（1）点在圆的内部，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 29 【解析】 因为点在圆 的内部， 所以点到圆心 的距离小于2， 故 ， 两边平方得 ， 化简得，解得 ． 因为点在圆 的内部，所以 , 化简得，解得 ． 30 （2）若坐标原点在方程所表示的圆的外部，则实数 的 取值范围为______. 【解析】因为点 在圆的外部， 所以,即 . 又（切勿忽略此隐含条件），所以 ， 即，故实数的取值范围为 . 由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等 号变为“ ”“ ”或“ ”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. . . 31 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·天津市静海区第六中学质检)若点在圆 的外部，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得 （不要遗漏圆的一般方程中 这一隐含条件） 解得.故的取值范围为 ，故选C. 32 题型3 求圆的方程 例11 ［教材改编P88 T5]已知，，则以线段 为直径的圆的标准 方程为__________________________. 【解析】 设所求圆的标准方程为 . 所求圆的圆心为线段的中点，由中点坐标公式得 圆心坐标为 （求圆的标准方程，可先确定圆心）. 又半径 ，由两点间的距离公式有 ， .（再确定半径） 所求圆的标准方程为 . . . . . 33 （向量法） 设 为圆上任意一点， 则， ， 由圆的性质知, ， 即 ， 整理得标准方程为 . 名师点评 圆的直径式方程：若一个圆的一条直径的两个端点坐标分别是 , ，则该圆的方程为 （可利用向量法证 明，同方法2）. . . 34 例12 [教材改编P88习题2.4 T3]求圆心在直线上,且过点 , 的圆的方程. 【解析】 （待定系数法） 设所求圆的标准方程为 ， 则圆心为 ， 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为 . 35 （待定系数法） 设所求圆的方程为 ，则圆心为 . 圆心在直线上，圆过, 两点， 解得 故所求圆的方程为 . 36 （几何性质法） 设点为圆心， 点在直线 上， 可设点的坐标为 （用一个字母表示，减少参数个数）. 连接, . 该圆经过,两点， , , 解得 , 圆心为，半径 . 故所求圆的标准方程为 . . . 37 图2.4-1 （几何性质法） 如图2.4-1，连接，则线段 的 中点的坐标为,直线的斜率 , 弦的垂直平分线的斜率为 ， 弦的垂直平分线的方程为 ，即 . 又圆心是直线与直线 的交点， 由得 圆心坐标为 , 圆的半径 , 故所求圆的标准方程为 . 38 例13 圆过点和，且两坐标轴被圆截得的弦长相等,求圆 的方程. 39 图2.4-2 【解析】如图2.4-2，因为两坐标轴被圆 截得的弦长相等， 所以由圆的性质得，圆心到两个坐标轴的距离相等，由角 平分线性质得，圆心在直线或 上. 又圆过点和 , 则圆心在线段 的垂直平分线上（弦的垂直平分线过圆心 是求圆的方程时常用的几何性质之一）， 设直线的斜率为，其垂直平分线的斜率为 ,则 ，所以 ， 又线段的中点为 , . . 40 所以的垂直平分线方程为，即 . 由得或 所以圆心的坐标为或 . 当圆心坐标为时， ；同理，当圆心坐标为 时， . 故圆的方程为或 . 名师点评 本例中，尽管所给的条件与圆心和半径无直接关系，但通过画图分析，利 用平面几何知识，找到了所给条件与圆心和半径的联系，从而避免了选用圆的一般 方程带来的烦琐的计算. 41 求圆的方程的两种方法 （1）几何性质法：根据圆的几何性质，直接求出圆的圆心坐标和半径，进而写出圆 的方程. （2）待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于三个参数的方程组，解出参数 的值，代入即得圆的方程.选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得 圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可 设圆的一般方程. 42 待定系数法求圆的方程的步骤 43 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·江苏省泰州市期中)圆心为 ，一条直径的两个端点落在两坐标轴上的 圆的标准方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】设落在两坐标轴上的直径的两个端点坐标为，，则有 ， ， 所以， ， 于是该圆的半径为 ， 故所求的圆的标准方程为 . 44 4.已知某圆圆心在轴上，半径为5，且截 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 【答案】 如图D 2.4-1，由题设知,, . 图D 2.4-1 在中， . 设圆心的坐标为，则 （涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容 易漏解）, . 故所求圆的标准方程为或 . . . 45 由题意设所求圆的标准方程为 . 圆截轴所得线段长为8, 圆过点 , 将代入方程得, . 故所求圆的标准方程为或 . 46 题型4 与圆有关的对称问题 1 圆的对称性 例14 (2026·北京工业大学附属中学期中)若直线 是圆 的一条对称轴，则 ( ) A A. B. C.1 D. 【解析】依题意可知圆心坐标为 ， 又直线 是圆的一条对称轴， 所以，所以 . 名师点评 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是对称轴,圆也是中心对称图形，对 称中心是圆心. 47 2 圆关于点对称 例15 求圆关于原点 对称的圆的方程. 【解析】由题知,所求圆的圆心与圆的圆心关于原点 对 称，且两圆半径相等，所以所求圆的圆心为，半径为 ， 故所求圆的方程为 . （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相 等． （2）两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点． 48 3 圆关于直线对称 例16 (2026·福建省莆田市期中)已知圆与圆关于直线 对 称，则圆 的标准方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意知，圆的圆心为，半径 . 设圆心关于直线对称的点为 , 则解得 故所求圆的标准方程为 . 49 （1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知 圆相等. （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 50 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·安徽省临泉田家炳实验中学月考)圆 关于直线 对称的圆的标准方程为_____________________. 【解析】将圆化为，则圆心 ， 半径 . 设圆心关于直线的对称点为 ， ,（直线与直线 垂直） ,（线段的中点在直线 上） 解得所以所求圆的标准方程为 . 则 51 题型5 求与圆有关的轨迹方程 例17 [教材改编P87例5]已知圆的方程为，求经过点的弦的中点 的轨迹． 52 【解析】 （向量法） 设动点的坐标为，则 , ， 由点为经过点的弦的中点，知 , 所以,即 ， 即 ， 所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆. 53 （定义法） 连接,，设的中点为 , 则的坐标为,连接 . 由为经过点的弦的中点可知， , 在中， （直角三角形斜边上的中线长等于斜 边长的一半）, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆. . . 54 例18 已知圆上一定点,点为圆内一点，, 为圆上的动点. （1）求线段 中点的轨迹方程； 【解析】 （代入法） 设的中点为，由中点坐标公式可知点 的 坐标为 . 因为点在圆 上， 所以 . 当时，，此时,, 三点重合，应舍去. 故线段中点的轨迹方程为 . 55 图2.4-3 （定义法） 设的中点为 ， 如图2.4-3，连接，由圆的垂径定理知， ， 在中，取中点，则,连接 ,则 , 得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去 点）， 所以线段中点的轨迹方程为 . 56 （2）若 ，求线段 中点的轨迹方程. 图2.4-4 【解析】（直接法）设为坐标原点，的中点为 , 连接,, ,如图2.4-4所示. 在中， . 又，所以 ， 所以 . 故线段中点的轨迹方程为 . 57 58 求轨迹方程的常用方法 （1）直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有 关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等）进行整理、化简.这种求轨 迹方程的方法不需要特殊的技巧. （2）代入法也称相关点法,如果动点依赖于另一动点，而 又按某个规 律运动，则可先用,表示，，再把,代入它满足的条件便得到动点 的轨迹方程. （3）定义法，通过分析已知条件，找到其中隐含的圆，利用定义求解. 在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（后面还会学到交轨 法）. 59 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·湖北省武汉市期中)已知圆经过，， 三点． （1）求圆 的方程； 【答案】设圆的方程为 ， 将三点坐标，，分别代入圆的方程得 解得 所以圆的方程为 . 60 （2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点 的轨迹,并说 明轨迹的形状． 【答案】设，,则, , 由于，则解得 因为点在圆上运动，所以 ，即 ， 所以点的轨迹方程为，它是一个以 为圆心，3为 半径的圆． 61 题型6 与圆有关的最值问题 例19 已知点,点是圆 上的任一点. （1）当时，求 的最大值; 【解析】由知,点在圆外，所以 . （2）若的最小值为3,求 的值. 【解析】当点在圆外时，,即, ; 当点在圆内时，,即, . 故满足条件的 的值为2或8. 【解析】圆的圆心坐标为 ， 由两点间的距离公式得 . 62 思路点拨 （1）由两点间距离公式得,当时，点在圆 外，由此可 得的最大值;（2）利用点与圆的位置关系，结合 的最小值求解. 名师点评 点与圆上的点之间的距离的最值为 , .利用该公式可以避免第（2）问中对点与圆 的位置关系的分 类讨论. 63 例20 设点是圆上任意一点，则 的最大 值为_________. 64 图2.4-5 【解析】因为点是圆 上任意一点，所以 表示点 与该圆上任一点的距离. 易知点在圆 的外部， 结合图2.4-5可得 的最大值为 . 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 （1）求圆心与定点间的距离 . （2）根据圆的几何性质知, ①当点在圆外时，, ; ②当点在圆内时,, . 其中, 为圆的半径. 66 【学会了吗丨变式题】 7.新情境 传统文化 (2026·贵州省遵义市第二中学等六校模拟)两千多年前，我国的 思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的 长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年左右.已知点 ,，若，则 的最大值为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为, ，（定点，定长） 所以点的轨迹是圆心为，半径为 的圆， 因为，所以 在圆外，所以 . 67 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 求解圆的方程是高考的热点，考查角度为用几何性质法和待定系数法求圆的方程、 求与圆有关的轨迹问题等.考查题型有选择题、填空题.考查难度为中等. 核心素养：数学运算（方程的求解），直观想象（数形结合的应用），逻辑推理 （圆的性质的应用）. 68 考向 求圆的方程 例21 (全国乙卷)过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为 _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________. 或或 或 或或 或 或 （题干中未要求方程形式， 因此写出任意一个一般方程或标准方程均可） 69 【解析】（1）若圆过，， 三点，设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入，可得 解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 ,即 . 70 （2）若圆过，， 三点, 设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 ， 即 . 71 （3）若圆过，， 三点，设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 , 即 . 72 （4）若圆过，， 三点，设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 , 即 . 73 命题探源 试题解法有很多，但不同的选择难易悬殊，如何选到性价比最高的方 案，是本题快速求解的关键.试题不要求考生把全部结果都写出来，选 择三个点确定一个圆的方程即可，这实际上也是对考生数学能力的考 查.试题增加了开放性，改变固化的命题形式，强调对基础性、应用性 和创新性的考查，引导考生多想少算，服务“双减”. 74 提分探源 将四点标在平面直角坐标系中，如图2.4-6，不难发现，以三点 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，直角三角形的外接圆是以 ， 连线为直径的圆，故所求圆的方程为 ，（圆的直径式方程）即 . ________________________________________________ 图2.4-6 续表 . . 75 高考新题型专练 1.[多选题](2026·江西省景德镇市期中)设有一组圆 ，下列命题正确的是( ) AC A.不论如何变化，圆心 始终在一条直线上 B.若点在圆的内部，则 C.若圆的半径为，则 D.所有圆均不经过点 76 【解析】圆，即 ， 其圆心为，半径为，则圆心在直线上，故A正确. 点在圆 的内部，，解得 ，故B错误. 圆的半径为，则，解得，故C正确.将 代入圆的方程可 得，解得或， 存在两个圆经过点 ，D错误.故选 ． 77 2.新考法 新定义题 (2026·北京市北京大学附属中学元培学院期中)“康威圆定理”的内 容如下： 图2.4-7 如图2.4-7，的三条边长分别为， ， .延长线段至点，使得 ，以此类推得 到点，，，和 ，那么这六个点共圆，这个圆称 为康威圆.若在中，，， ，康威圆 圆心为，则 的坐标为( ) D A. B. C. D. 78 图D 2.4-2 【解析】如图D 2.4-2，因为，， ，所以 , , ， 则直线的方程为，所以 . 又因为,所以是线段的中点，所以 ， 是线段的中点，所以 ， （先求出康威圆上三点的坐标） 79 设该康威圆的一般方程为 ， 代入，， 得 解得 所以，即 ， 所以圆心 .故选D. 80 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·湖南省永州市期末)圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的标准方程是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】设圆心坐标为,则由题意知,解得 ,则圆的 标准方程为 . 81 2.(2026·河北省唐山市期中)已知点在圆 的外部， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 方程表示圆，则，得或 ，又 在圆外，则，得 ，综上， . 82 圆，即 ，表示以 为圆心、半径等于的圆．易知或.由于点 在圆外， 可得点到圆心的距离大于半径，即 ，解得 ，综上， ．故选A． 83 3.若的斜边的两端点，的坐标分别为和，则直角顶点 的轨迹 方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】 线段的中点坐标为，因为为直角三角形， 为直角顶 点，所以点到点的距离为，所以点 满足 ，即 ． 直角顶点的轨迹为的外接圆，且以斜边 为直径，所以外接圆 的方程为，整理得，因为直角顶点 不能 与端点,共线，所以 ，故选C. 84 4.(2026·河南省信阳市期中)圆关于点 中心对称的圆的方程为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】圆的圆心为 ，半径为1， 设关于的对称点为 ， 则解得则 ， 故所求圆的方程为 ． 85 5.[多选题](2026·江苏省南京市月考)已知圆的一般方程为 ， 则下列说法正确的是( ) BD A.圆的圆心为 B.圆 的半径为5 C.点不在圆上 D.圆关于直线 对称 【解析】可化为，所以圆 的圆心为 ，半径为5，故A错误，B正确； 因为，所以点在圆 上，故C错误； 因为圆心为在直线上，所以圆关于直线 对称， 故D正确. 86 6.(2026·广东省广州市月考)已知点，，， 四点共圆， 则 ___. 1 【解析】设过，，的圆的方程为 ，则 解得所以过，， 的圆的方程为 ， 又点在此圆上，所以，即，所以 ． 87 7.(全国甲卷)设点在直线上，点和均在上，则 的 方程为____________________________________________________. （或） 【解析】 设的方程为 , 则解得 的方程为 . 88 设的方程为 ,则 , 解得 的方程为 ， 即 . 设,，连接,,的半径为,则， 的中 点坐标为，，的垂直平分线方程为，即 .由 解得，, 的方程为 . 89 由点在直线上，可设 ,则 ，解得，即 . 即圆的半径为 ， 故圆的方程为 . 90 8.(2026·山东省济宁市期中)已知点是的外接圆上的一个动点，且 , , . （1）求线段的垂直平分线方程及 的外接圆的标准方程； 【答案】连接,设的中点为，由,得 . 因为直线的斜率 ， 所以其垂直平分线的斜率 . 所以线段的垂直平分线方程为，即 . 因为外接圆半径，圆心为 （直角三角形的 外接圆直径为直角三角形的斜边）， 所以外接圆方程为 . . . . . 91 （2）若，为的中点，求动点 的轨迹方程. 【答案】如图D 2.4-1，设,，又 ， 图D 2.4-1 则, . 由于点在圆上，将点 的坐标代入圆方程 可得 . 化简可得 . 即所求的轨迹方程为 . 92 B 综合练丨高考模拟 建议时间：45分钟 9.若，则 的取值范围为( ) D A.， B. C. D.， 93 【解析】因为，所以 ， 所以 . 图D 2.4-2 上述方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，如图D 2.4 -2所示，则的几何意义是半圆上的点与点 连线 的斜率. 由图可得，，，， ， ，所以的取值范围为， . 94 10.新情境 《淮南万毕术》 (2026·江西省萍乡市期中)汉代初年成书的《淮南万毕术》 记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣.”这是中国古人利用平面镜反射原理 的首个实例.在平面直角坐标系中，由点 出发的一束光线经直线 反射后到达圆 上某一点，则光线经过的最 短路程为( ) A A. B. C. D. 95 图D 2.4-3 【解析】如图D 2.4-3，设光线由点出发，经过直线 上 的点反射后与圆交于点 ， 则光线经过的路程为 . 设是点关于直线的对称点，连接, , 则 解得即 ， 由对称性可知，，即 ， 显然当,,,四点共线时， 最小，（实质为圆外一点到圆上的最短距离） 又,圆半径为3，此时 ， 即光线经过的最短路径为 . 96 11.数学文化 阿氏圆 [多选题](2026·黑龙江省大庆市质检)古希腊著名数学家阿波罗 尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点, 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,,点满足，设点 的轨迹 为 ,下列结论正确的是( ) BC A.的方程为 B.在轴上存在异于,的两定点,,使得 C.当,,三点不共线时，射线是 的平分线 D.在上存在点 ,使得 97 【解析】对于A选项，设点，则 ,化简整理得 ,即,故A错误.对于B选项，点 的轨迹为圆心为 ,半径为4的圆，所以根据对称性可知，当,时， ，故B 正确.对于C选项，在中，,在 中， ,要证射线 为角平分线，只需证明 ,即证 ，化简整理即证 .又， ,所以 ,故 ,故C正确.对于D选项，设 ,由 可得 ,整理得.而点在圆 上， 故满足,联立解得，无实数解，于是D错误.故答案为 . 98 12.已知圆.当的面积最大时，实数 的值为 ____；若此时圆的一条对称轴为直线，则 的 最大值为___. 【解析】圆的方程可化为.当 时， 取得最大值38,此时圆 的半径最大，面积也最大,此 时，圆心坐标为,且圆的一条对称轴为直线 , 故点在直线上,所以,即,又 , ,当且仅当 ，即时取等号,所以，故 的最大值为 . 99 13.新考法 结构不良 已知圆过点，圆心在 轴上，且____． 在①圆心在直线上，②圆的半径为2，③圆过点 这三个条件 中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． （1）求圆 的标准方程； 【答案】若选条件①，设圆心，将代入中，解得 ， 所以 ， 设半径为,则,则圆 的标准方程为 ； 100 若选条件②，设圆心，由题意知，解得 ， 所以圆心 ，半径为2， 所以圆的标准方程为 ； 若选条件③，设圆心，由题意知 ， 即，解得，所以圆心 ，且 半径为,所以圆的标准方程为 . 101 （2）设点，满足存在圆上的两点和，使得，求实数 的取 值范围． 【答案】因为，即 ， 又，所以 ， 故点在以点 为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得,即实数 的取值范围为 ， ． 102 14.(2026·江西省景德镇一中期中)已知圆过点，，且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程； 【答案】连接，由，，得直线的斜率为 ，设线 段中点为，则 ， 连接,则，为圆心，为线段的中垂线 直线的方程为，即 ， 由解得即 ， 所以半径为 ， 所以圆的方程为 . 103 （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆 的圆 周，求反射光线 所在直线的一般式方程； 【答案】由恰好平分圆的圆周，得经过圆心 ， 设点关于直线的对称点为 ， 则直线与直线垂直，且线段的中点在直线 上， 即解得所以 ， 所以直线即为直线，且 ， 直线方程为，即 . 104 （3）若为圆上的动点，求 的最小值. 【答案】设 ，则 ， 其中表示点到点 距离的平方， 将代入中得，即点 在圆 的内部， 圆心到点的距离为，圆的半径为 ， 所以点到点距离的最小值为 ， 所以的最小值为 ， 所以的最小值 . 105 C 培优练丨能力提升 15.(2026·河北省石家庄市第四十三中学月考)已知点， 为直线 上的动点，为圆上的动点，则 的 最小值为___. 9 【解析】令，则.（这样做是为了将“ ”中的系数化 为一致） 设点的坐标为，点坐标为 ， 则 ， . . 106 整理得 ， 而该圆的方程为 ， 则解得故点的坐标为 ， 所以 . 图D 2.4-4 如图D 2.4-4，过点作垂直于于点 ，交圆 于点 ， 故的最小值为 ， 所以的最小值为 . 107 $