2.2 直线的方程（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.2 直线的方程 知识点一　直线的方程 1. 直线方程的几种形式 名称 已知条件 直线方程 适用范围 点斜式 直线上一定点P0（x0，y0）和斜率k y－y0＝k（x－x0） k存在 斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b y＝kx＋b k存在 两点式 直线经过点P1（x1，y1）和P2（x2，y2） ＝ x1≠x2， y1≠y2 名称 已知条件 直线方程 适用范围 截距式 直线在x轴上的截距a和在y轴上的截 距b ＋＝1 a≠0，b≠0 一般式 Ax＋By＋C＝0 A，B不同 时为0 2. 截距 直线l与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距，直线l与x轴 交点（a，0）的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距. 3. 几种特殊位置的直线方程 x轴：y＝0； y轴：x＝0； 平行于x轴的直线：y＝b（b≠0）； 平行于y轴的直线：x＝a（a≠0）； 过原点的直线：y＝kx或x＝0. 知识点二　利用直线方程（斜截式和一般式）判断两直线的位置关系 位置关系 斜截式 一般式 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 l1，l2相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 l1∥l2 l1⊥l2 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 l1，l2重合 角度一　直线方程的求解 1. 已知直线上某一个点的坐标（斜率存在），可设直线方程的点斜式. 2. 已知直线的斜率，可设直线方程的斜截式. 3. 已知直线在x轴或y轴上的截距，则应考虑直线方程的斜截式（斜率存在）或 截距式. 4. 已知直线上两点坐标，可用两点式. [例1-1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为，且经过点A（5，3）； [解]　由点斜式方程得y－3＝（x－5）， 即 x－y＋3－5＝0. （2）过点B（－3，0），且垂直于x轴； [解]　x＝－3，即x＋3＝0. （3）斜率为4，在y轴上的截距为－2； [解]　y＝4x－2，即4x－y－2＝0. （4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； [解]　y＝3，即y－3＝0. （5）经过C（－1，5），D（2，－1）两点； [解]　由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0. （6）在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [解]　由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0. [例1-2]　已知直线l经过点P（1，2）. （1）若直线l的倾斜角为120°，求直线l的方程； [解]　由直线l的倾斜角为120°， 可知l的斜率为tan 120°＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－（x－1）， 即x＋y－2－＝0. ①当a＝0时，直线l经过坐标原点， 此时直线的斜率k＝＝2， 故直线l的方程为y－0＝2（x－0），即2x－y＝0. ②当a≠0时，则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. 又直线l经过点P（1，2），故有1＋2－a＝0，解得a＝3， 所以直线l的方程为x＋y－3＝0. 综上，直线l的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0. （2）若直线l在两个坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. [解]　设直线l在x轴上的截距为a， 则由已知可得直线l在y轴上的截距也为a. 角度二　两直线平行和垂直的判定及应用 垂直的判定用直线的一般式方程较好，不必分类讨论；平行的判定用直线 的斜截式方程较好，虽然要分类讨论，但判定条件很简洁. [例2-1]　若直线l1：mx＋y＋1＝0与直线l2：2x＋y－2＝0互相垂直，则实 数m的值为（　　） 　 A. 2 B. －2 C. D. － [解析]　因为直线mx＋y＋1＝0与直线2x＋y－2＝0互相垂直， 则2m＋1＝0，解得m＝－. √ [例2-2]　已知a，b∈R，则“直线（a－1）x－3y－1＝0与直线ax－（a－ 1）y＋2＝0垂直”是“a＝1”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]　直线（a－1）x－3y－1＝0与直线ax－（a－1）y＋2＝0垂直， 则a（a－1）＋3（a－1）＝0，解得a＝－3或a＝1， 故“直线（a－1）x－3y－1＝0与直线ax－（a－1）y＋2＝0垂直”是“a＝ 1”的必要不充分条件. √ [例2-3]　已知直线l1：x＋2ay－1＝0和直线l2：（3a－1）x－ay－1＝0，则 “a＝”是“l1∥l2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ [解析]　由题设l1∥l2，可得2a（3a－1）＝－a，解得a＝0或a＝. 当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝－1，此时l1∥l2； 当a＝时，l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋6＝0，此时l1∥l2. 所以“a＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件. [例2-4]　若直线l1：2x＋ay－4＝0与直线l2：（a－1）x＋3y－4＝0平行， 则实数a的值为 ⁠. [解析]　由直线l1：2x＋ay－4＝0与l2：（a－1）x＋3y－4＝0平行，得a（a －1）－2×3＝0，解得a＝－2或a＝3. 当a＝－2时，直线l1在y轴上的截距为＝－2，直线l2在y轴上的截距为，则 l1∥l2； 当a＝3时，直线l1在y轴上的截距为＝，直线l2在y轴上的截距为，则直线 l1，l2重合. 所以实数a的值为－2. －2 角度三　利用直线系方程求直线方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性 质的直线的集合表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确 定参数的值，进而求出直线方程. 直线系方程的常见类型： （1）过定点P（x0，y0）的直线系方程是：y－y0＝k（x－x0）（k是参数，直线 系中未包括直线x＝x0），也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0（λ是参 数，λ≠C）； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0（λ是参 数）. [例3-1]　（1）直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且它在y轴上的截距为4，则 直线l的方程为 ⁠； x－y＋4＝0 [解析]　（1）方法一（斜截式方程）： 设直线l的斜率为k. 因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以k×（－1）＝－1，解得k＝1. 又直线l在y轴上的截距为4，故其方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0. 方法二（直线系方程）： 巧用直线系 因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋m＝0. 又它在y轴上的截距为4，所以m＝4，所以直线l的方程为x－y＋4＝0. （2）直线l与直线x＋y－2＝0平行，且它在y轴上的截距为4，则直线l的方程 为 ⁠. [解析]　方法一（斜截式方程）： 因为直线l与直线x＋y－2＝0平行，所以直线l的斜率k＝－1. 又直线l在y轴上的截距为4，所以其方程为y＝－x＋4，即x＋y－4＝0. 方法二（直线系方程）： 因为直线l与直线x＋y－2＝0平行， 巧用直线系 x＋y－4＝0 所以可设直线l的方程为x＋y＋λ＝0（λ≠－2）. 又它在y轴上的截距为4，所以λ＝－4， 所以直线l的方程为x＋y－4＝0. 　　[例3-2]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； [证明]　方法一：将直线l的方程整理为y－＝a， ∴l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限，故不论a为何值，直线l总经过第一象限. ∴即 即l过定点A，以下同方法一. 方法二：直线l的方程可化为（5x－1）a－（5y－3）＝0. ∵上式对任意的a都成立， 构建方程组 （2）为了使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围. [解]　由（1）知，要使l不经过第二象限，只需它在y轴上的截距不 大于零. 令x＝0，则y＝－≤0， ∴a≥3，即实数a的取值范围为[3，＋∞）. $