1.4 空间向量的应用（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.4 空间向量的应用 知识点一　空间中直线和平面的向量表示 1. 直线的方向向量 若A，B分别是直线l上任意不同的两点，则就是直线l的方向向量， ±是直线l的单位方向向量. 2. 平面的法向量 若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，向量a为平面α的法向量. [提示]直线的所有方向向量平行，平面的法向量与平面内任意向量垂 直；一条直线有无数个方向向量，一个平面有无数个法向量. 知识点二　空间中直线、平面位置关系的向量表示 设直线l的方向向量是a＝（a1，b1，c1），直线m的方向向量是b＝（a2， b2，c2），平面α的法向量u＝（a3，b3，c3），平面β的法向量v＝（a4，b4， c4），则 （1）l∥m⇔a∥b⇔a＝k1b⇔（a1，b1，c1）＝k1（a2，b2，c2）（k1∈R）； （2）l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0； （3）α∥β⇔u∥v⇔u＝k2v⇔（a3，b3，c3）＝k2（a4，b4，c4）（k2∈R）； （4）l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； （5）l⊥α⇔a∥u⇔a＝k3u⇔（a1，b1，c1）＝k3（a3，b3，c3）（k3∈R）； （6）α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 知识点三　用空间向量研究距离问题 1. 用向量法求直线l外一点P到直线l的距离 如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u（u为直 线l的单位方向向量）. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 2. 用向量法求平面α外一点P到平面α的距离 如图，PQ＝＝＝. 知识点四　用空间向量研究夹角问题 1. 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝ ｜cos＜u，v＞｜＝＝. 2. 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直 线AB的方向向量u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos ＜，n＞｜＝ ＝. [提示]　直线与平面所成的角，与直线的方向向量与平面的法向量所成 的角（或补角）是互余关系，而不是相等关系，此处是易错点. 3. 平面与平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和 n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜ ＝＝. [提示]　注意以下两种表述的差异：平面ABC与平面BCD的夹角，二面 角A-BC-D的平面角.前者的范围为，利用平面的法向量求出余弦值后 取绝对值即为所求夹角的余弦值；后者的范围为[0，π]，利用平面的法向量 求出余弦值后，需要根据图形判断是取正值还是负值. 角度一　用空间向量证明空间中的位置关系 [例1]　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三 角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中 点.求证： （1）DE∥平面ABC； 　　[证明] 　如图，建立空间直角坐标系Axyz，　 令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2）， F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）. 取AB的中点为N，连接CN，则N（2，0，0）. ∵C（0，4，0），D（2，0，2）， ∴＝（－2，4，0），＝（－2，4，0）， ∴＝，∴DE∥NC. 又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC. （2）B1F⊥平面AEF. [证明] 　∵＝（－2，2，－4），＝（2，－2，－2）， ＝（2，2，0）， ∴·＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0， ·＝（－2）×2＋2×2＋（－4）×0＝0. ∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF. 又∵AF∩EF＝F，AF，EF⊂平面AEF， ∴B1F⊥平面AEF. 角度二　用空间向量研究距离问题 1. 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点： （1）直线l上的点可任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点； （2）直线l的方向向量可任意选取； （3）可按如下方法求点线距离，如图. 方法一：①求直线l的单位方向向量u＝±；②求向量与 单位方向向量的数量积·u；③利用｜｜＝可 得距离. 方法二：①求向量与直线l的方向向量的夹角的余弦值 cos∠PAQ；②利用同角三角函数基本关系求夹角的正弦值sin∠PAQ； ③求向量的模｜｜；④求｜｜sin∠PAQ，即所求距离. 2. 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤： （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点到平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的 模，即可求出点到平面的距离. [例2-1]　已知平面α内一点P（8，9，5），点Q（1，2，2）在平面α外， 若α的一个法向量为n＝（4，3，－12），则点Q到平面α的距离为 ⁠. [解析]　因为点P（8，9，5），点Q（1，2，2）， 所以＝（－7，－7，－3）， 又α的一个法向量为n＝（4，3，－12）， 所以点Q到平面α的距离为＝＝＝1. 　 1 [例2-2]　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝1，BC＝1，AA'＝2，求点B 到直线A'C的距离. 　　[解]　 以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB＝1，BC＝1，AA'＝2， 所以A'（0，0，2），C（1，1，0），B（1，0，0）， 所以＝（1，1，－2），＝（0，1，0）， 方法一：步骤一，先求直线A'C的单位方向向量： ＝（1，1，－2）＝； 步骤二，求与单位方向向量的数量积：·＝； 步骤三，勾股定理求距离： d＝＝＝＝. 方法二：步骤一，先求夹角余弦值：，的夹角θ的余弦值为cos θ＝； 步骤二，再求夹角的正弦值：sin θ＝＝； 步骤三，求距离：d＝｜｜sin θ＝＝. 角度三　用空间向量研究夹角问题 空间向量与空间角的关系 （1）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m 2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ ＝｜cos＜m1，m2＞｜； （2）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝｜cos ＜m，n＞｜； （3）设n 1，n 2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ ＝｜cos＜n1，n2＞｜. [例3-1]　已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直 线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值是（　　） A. B. C. D. √ [解析]　 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点， ∴A（1，0，0），E，B（1，1，0），D1（0，0，1）， ∴＝，＝（0，1，0），＝（－1，0，1）. 设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z）， 则∴ 取x＝1，则n＝（1，0，1）是平面ABC1D1的一个法向量. 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ， 则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝. [例3-2]　如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD， CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点. （1）求证：BE∥平面PAD； 　　[证明]　设AB＝a，PA＝b（a＞0，b＞0）， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b）， D（0，2a，0），C（2a，2a，0），E， 则＝，＝（0，2a，0），＝（0，0，b）， 所以＝＋. 因为BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD. （2）已知BE⊥平面PCD. （i）求异面直线PD与BC所成的角的余弦值； [解] 　因为BE⊥平面PCD，所以BE⊥PC，即·＝0. 因为＝（2a，2a，－b），所以·＝2a2－＝0，则b＝2a. （i）＝（0，2a，－2a），＝（a，2a，0）， cos＜，＞＝＝， 所以异面直线PD与BC所成的角的余弦值为. （ii）求平面BDE与平面BCD夹角的余弦值. [解] 　设平面BDE的法向量为n1＝（x0，y0，z0）. 因为＝（0，a，a），＝（－a，2a，0）， 所以即 取y0＝1，则x0＝2，z0＝－1，故 1＝（2，1，－1）. 显然，平面BCD的一个法向量为 2＝（0，0，1）， 设平面BDE与平面BCD的夹角为θ， 所以cos θ＝｜cos＜ 1， 2＞｜＝. 所以平面BDE与平面BCD夹角的余弦值为. $