2.1直线的倾斜角与斜率（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1　直线的倾斜角与斜率　学案 ——斜率公式与直线的方向 一、学习目标 1. 能说出直线的倾斜角的定义与取值范围，知道垂直于 轴的直线倾斜角为 ；能由已知两点求直线的斜率，并说明斜率的正负与直线方向的对应关系。 2. 掌握过两点的直线斜率公式 （），能正确代入坐标计算斜率，并能由斜率反求倾斜角。 3. 能用「三点共线 ⇔ 」判定三点共线并求参数，能对斜率不存在的情形作分类讨论。 二、课前预习（阅读教材 2.1 节后完成） 1. 直线的倾斜角 当直线 与 轴相交时，取 轴为基准，使 轴＿＿＿绕交点按＿＿＿方向旋转到与直线 ＿＿＿，所成的＿＿＿叫做直线 的倾斜角，记作 。 当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为＿＿＿；倾斜角 的取值范围是＿＿＿。 2. 直线的斜率 倾斜角 的＿＿＿叫做直线 的斜率，记作 ，即 ＿＿＿（ ＿＿＿）；当 时，直线的斜率＿＿＿。 过两点 、（）的直线的斜率 ＿＿＿；这个公式与 、 的顺序＿＿＿（填「有关」或「无关」）。 3. 预习自测 （1）倾斜角为 的直线的斜率是＿＿＿；（2）经过 、 的直线的斜率是＿＿＿。 图 1　倾斜角 α 的定义（x 轴正向逆时针转到直线 l） 三、课堂探究 探究一　一点加什么条件才能确定一条直线 过平面上一点 可以画出无数条直线。要让直线唯一确定，还需要补上什么？请在本页空白处过点 画出三条方向不同的直线，并说明它们「不同」在哪里。 探究二　倾斜角为什么不能取 180° 倾斜角的范围为什么要写成 ，右端为什么不能取到 ？请结合「最小正角」四个字说明理由。 探究三　竖直的直线为什么没有斜率 由 出发，说明当 时斜率不存在的原因；再想一想：倾斜角为 的直线的斜率是多少？它与「斜率不存在」有什么区别？ 四、典例剖析 例1　两点求斜率与倾斜角 求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角：（1）、；（2）、；（3）、。 变式1 已知直线经过点 与 ，求这条直线的斜率与倾斜角。 例2　已知倾斜角求斜率 分别求倾斜角为下列值的直线的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）。 变式2 求倾斜角为 的直线的斜率；求倾斜角为 的直线的斜率；若一条直线的斜率为 ，求它的倾斜角。 例3　三点共线的斜率条件 已知 、、 三点共线，求 的值。 变式3 已知 、、 三点共线，求 的值，并判断点 是否在这条直线上。 【方法小结】① 求斜率先比横坐标：相等则斜率不存在，不相等才代公式；② 由 反求倾斜角： 取锐角， 取钝角，倾斜角必须落在 内；③ 三点共线 ⇔ 两段连线的斜率相等（前提是两段连线都有斜率）。 图 2　斜率的正负与直线的方向 五、当堂检测 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 平面内任意一条直线都有倾斜角；② 平面内任意一条直线都有斜率；③ 若一条直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 ；④ 直线的倾斜角 的取值范围是 。 2. 求经过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 3. 已知直线经过 与 两点，求这条直线的斜率，并判断这条直线是上升的还是下降的。 4. 已知 、、 三点共线，求 的值。 六、分层作业 A 基础巩固 1. 求经过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 2. 分别求倾斜角为 与 的直线的斜率。 3. 求经过 、 两点的直线的斜率，并判断它的倾斜角是锐角还是钝角。 4. 判断 、、 三点是否共线，并说明理由。 B 能力提升 5. 已知经过 、 两点的直线的倾斜角为 ，求 的值；若这条直线的倾斜角为 ，再求 的值。 6. 已知 、、 三点共线，求 的值，并求出这条直线的斜率。 7. 已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，求 的值；若 的倾斜角为 ，再求 的值。 C 思维挑战 8. 已知点 、，其中 为实数。 （1）当 为何值时，直线 的斜率不存在？此时它的倾斜角是多少？ （2）当 时，求直线 的斜率与倾斜角； （3）若直线 的倾斜角为 ，求 的值。 七、学习反思 本节课我掌握得最好的： 还需要加强的（特别是倾斜角的范围、斜率不存在的判断）： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　直线的倾斜角与斜率　教学设计 ——斜率公式与直线的方向 课型：新授课　课时：第 1 课时（共 1 课时） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·直线与方程；对应本课：环节二、三：倾斜角与斜率的概念、过两点的斜率公式） ②　体会用代数方法解决几何问题的思想，感悟「几何问题代数化」的基本思路。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·平面解析几何；对应本课：环节一、六：确定直线的几何要素与坐标法展望） 本课核心素养锚点：数学抽象、直观想象（主要）　逻辑推理、数学运算（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节是第二章的开篇，用两个量刻画直线的方向：① 倾斜角——直线 与 轴正向所成的最小正角，记作 ，取值范围是 ；② 斜率——倾斜角的正切值 （），当 时斜率不存在。再给出过两点 、（）的斜率公式 。 从哪来：学生在初中已知道「两点确定一条直线」，在必修中已学过一次函数 、直角坐标系与正切函数。本节课做的事情是：把一次项系数 从一个「算出来的数」提升为刻画直线倾斜程度的几何量，并补上一次函数没回答的问题——竖直的直线为什么没有 。 往哪去：倾斜角与斜率是后面全部内容的起点：点斜式、斜截式、两点式、一般式方程都离不开斜率；两条直线平行与垂直的判定、直线的交点与距离，本质都在比较斜率。没有斜率，就不可能把「方向」写成一个代数等式。 核心矛盾：重点：倾斜角与斜率的概念、过两点的斜率公式、斜率与直线方向的对应。 难点： 时公式分母为零、斜率不存在的分类处理；由负斜率反求倾斜角时钝角的确定（如 对应 而不是 ）。 成因：学生习惯「代公式算出一个数」，缺少「几何意义先行」的意识，遇到分母为零时往往硬算或错写为 ；而正切值为负对应钝角，与初中只接触锐角三角函数的经验相冲突。 独特价值：斜率第一次把「形」（倾斜程度）翻译成「数」（一个实数），是解析几何「几何问题代数化」的真正起点。 知识／能力起点：已掌握平面直角坐标系、一次函数 的图象与性质、特殊角（、、）的正切值；能判断两点在图中的相对位置。 认知／思维特点：对「 越大直线越陡」有直观感受，能接受「用角刻画方向」；但抽象概括能力尚在发展中，容易把结论记成形式而不注意条件。 预判困难与兴趣点：① 把倾斜角范围错记为 ；② 混淆「斜率不存在」与「斜率为 」，把竖直直线的斜率写成 ； ③ 由 反求倾斜角时写出负角；④ 兴趣点：只给两个点的坐标，就能算出直线的「陡峭程度」。 学情参考：可参考必修阶段一次函数单元测试中「已知两点求 」类题的得分率作为参照。 三、教学目标 1. 能用自己的话说出直线的倾斜角的定义与取值范围，知道垂直于 轴的直线倾斜角为 ；能由已知两点求直线的斜率，并说明斜率的正负与直线方向（上升、下降）的对应关系。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：概念判断题 4 题对 3 题及以上 2. 掌握过两点的直线斜率公式 （），能正确代入坐标计算斜率，并能由斜率反求倾斜角。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：斜率计算题 4 题对 3 题 3. 能运用「三点共线 ⇔ 」判定三点共线并求参数，能对 （斜率不存在）的情形作分类讨论。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：共线判定与求参题 3 题对 2 题及以上 目标 1 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 3 题 + 作业 A 组第 1—3 题；对应环节：环节三、四。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 当堂检测第 4 题 + 作业 B 组第 5—7 题、C 组第 8 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：直线的倾斜角与斜率的概念；过两点的直线斜率公式；斜率与直线方向的对应关系。 难点：斜率不存在（、）的分类处理；由斜率反求倾斜角时钝角的确定。 难点成因：斜率公式是分式，学生缺少「先看几何意义、再动笔算」的习惯；正切在 内取负值，与初中只学锐角三角函数的经验冲突。 教法：情境启发 + 讲练结合——由「过一点能画多少条直线」制造认知缺口，让「方向」成为必须量化的对象；倾斜角与斜率的概念给出后重在「用」，斜率公式由教师配合几何图形板演推导一次，并在推导中自然暴露 的例外。 学法：几何直观（看图说方向）+ 程序化计算（先比横坐标 → 再代公式 → 最后定符号）——本课认知任务以「概念理解」与「程序化计算」为主，难点落在分类讨论。 五、教学过程 环节一　情境导入：确定一条直线还需要什么（约4分钟） 情境：楼梯有陡有缓，自行车坡道也有缓有急——同样是从低处到高处，它们的差别到底在哪里？ 回顾：两点确定一条直线（初中）。 追问：如果只给一个点 ，能画出多少条直线？（无数条。）再补上什么条件，这条直线就唯一确定了？ 点明：只要再给定方向，直线就唯一确定。本章的第一件事，就是把「方向」这个几何要素量化成一个数——先给它起个名字叫倾斜角，再给它配上一个数叫斜率。 【学生活动】观察两幅楼梯图片，口答「陡缓」的差别；在学案上过一点 画出三条不同方向的直线，体会还有「无数条」。 【设计意图】对应目标 1。用「一点不足以确定直线」制造认知缺口，让倾斜角与斜率的出现成为逻辑必然，而不是教师硬塞的定义；生活情境保证起点公平，人人有话说。 环节二　倾斜角的定义与范围（约7分钟） （1）定义：当直线 与 轴相交时，取 轴为基准，使 轴正向绕交点按逆时针方向旋转到与直线 重合，所成的最小正角叫做直线 的倾斜角，记作 。 （2）规定：当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。 （3）范围：直线的倾斜角 的取值范围是 ；当直线与 轴垂直时，。 （4）追问：右端为什么取「」而不取「」？（因为倾斜角为 的直线与倾斜角为 的直线方向完全相同，按「最小正角」的要求只取 。） （5）口答练一练：与 轴垂直的直线倾斜角是多少？（。）与 轴重合的直线呢？（。）倾斜角为 的直线有几条？（无数条，彼此平行。） 【学生活动】对照课件图 1，在学案「知识梳理」处填写倾斜角的定义关键词（正向、逆时针、最小正角）与取值范围；同桌互查有没有把范围写成 。 【设计意图】对应目标 1。「最小正角」是定义的三个关键词之一，用「为什么不含 」这一追问把范围从死记变为理解；第（5）问的最后一小问为「倾斜角相同 ⇒ 直线平行」埋伏笔。 环节三　斜率的定义与过两点的斜率公式（约10分钟） （1）斜率的定义：倾斜角 的正切值叫做直线 的斜率，记作 ，即 （）。 （2）为什么 时斜率不存在：由 ，当 时 ，分母为零， 无意义，故此时直线没有斜率（注意：倾斜角仍然是 ，只是斜率不存在）。 （3）两点求斜率（配合课件边画边推）：设直线 经过 、 两点，且 。过 作平行于 轴的直线，过 作平行于 轴的直线，两线相交于点 ，则在直角三角形 中， ，即 （）。 （4）三点说明：① 公式与 、 的顺序无关（分子分母同时变号，比值不变）；② 时公式失效，直线垂直于 轴，斜率不存在；③ 时 ，直线平行（或重合）于 轴，倾斜角为 。 （5）斜率与直线的方向（配合课件四条直线对比图）： ① ⇔ 倾斜角为锐角 ⇔ 直线上升（ 随 的增大而增大）； ② ⇔ 倾斜角为钝角 ⇔ 直线下降（ 随 的增大而减小）； ③ ⇔ 直线水平；④ 斜率不存在 ⇔ 直线竖直。 越大，直线越陡。 【学生活动】跟教师一起在学案上完成公式推导（画出直角三角形 ）；默写斜率公式并主动标注使用条件 ；观察课件四条直线图，齐答「 的符号 → 直线的方向」。 【设计意图】对应目标 1、2。公式由 的几何意义「推出来」而不是「给出来」，学生才不会把它当成又一个要背的公式；四条直线对比图把「数」与「形」绑定，为下节课点斜式方程做直观准备。 环节四　例题精析（约12分钟） 例 1　两点求斜率与倾斜角　求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角： （1）、；（2）、；（3）、。 【答案】（1），；（2）斜率不存在，；（3），。 【详解】（1），；由 且 为锐角得 。 （2），公式分母为零，斜率不存在；直线垂直于 轴，倾斜角 。 （3），；由 且 为锐角得 。 【方法归纳】求斜率先比较两点的横坐标：相等 ⇒ 斜率不存在；不相等 ⇒ 代公式。再由 反求倾斜角： 取锐角， 取钝角。 变式 1　已知直线经过点 与 ，求这条直线的斜率与倾斜角。 【答案】，。 【详解】，；，故 为钝角，。 例 2　已知倾斜角求斜率　分别求倾斜角为下列值的直线的斜率： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）不存在。 【详解】（1）；（2）；（3）；（4） 时 无意义，斜率不存在。 【方法归纳】 时直接取正切；钝角先化为锐角再定符号：。 变式 2　求倾斜角为 的直线的斜率；求倾斜角为 的直线的斜率；若一条直线的斜率为 ，求它的倾斜角。 【答案】；；。 【详解】（1）；（2）；（3）由 且 得 （不是 ）。 例 3　三点共线的斜率条件　已知 、、 三点共线，求 的值。 【答案】。 【详解】，；三点共线 ⇒ ，即 ，解得 。检验： 与 连线的斜率 ，与 一致，结论成立。 【方法归纳】三点共线 ⇔ 任意两段连线的斜率相等（前提：这两段连线都有斜率）；这是判定共线最常用的代数方法。 变式 3　已知 、、 三点共线，求 的值，并判断点 是否在这条直线上。 【答案】；点 在这条直线上。 【详解】，；由共线得 ，故 ，即 。 又 ，故点 也在这条直线上。 【学生活动】例 1 三小问由学生抢答（第（2）问专门请一位同学说明「为什么不能说 」）；例 2 全班齐答；例 3 由教师板演，随后学生独立完成变式 3 并上台板演；变式 1 同桌互批，重点查是否写成负角。 【设计意图】对应目标 1、2、3。三例构成「由点求斜率与角 → 由角求斜率 → 用斜率判共线」的梯度；变式 1 专攻钝角反求，变式 3 增加「求参后再验证」，覆盖本课两类高频错误。 环节五　当堂检测（约4分钟） 独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（共 4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 平面内任意一条直线都有倾斜角；② 平面内任意一条直线都有斜率；③ 若一条直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 ；④ 直线的倾斜角 的取值范围是 。 【答案】① √　② ×　③ √　④ × 【详解】① 对：平面内任意一条直线都有倾斜角（与 轴垂直时为 ）；② 错：与 轴垂直的直线倾斜角为 ，斜率不存在；③ 对：由 且 得 ；④ 错：应为 ，右端取「」而非「」，因为 与 表示同一方向，按最小正角只取 。 2. 求经过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 【答案】， 【详解】，故 ；由 且 为锐角，得 。 3. 已知直线经过 与 两点，求这条直线的斜率，并判断这条直线是上升的还是下降的。 【答案】，这条直线下降 【详解】，故 ，所以这条直线从左到右下降（ 随 的增大而减小）。 4. 已知 、、 三点共线，求 的值。 【答案】 【详解】，；三点共线 ⇒ ，即 ，解得 （此时 ，公式可用，检验通过）。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别对应概念判断、倾斜角与斜率的正用、斜率符号与方向、三点共线的求参，实现对三个目标的当堂检测。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一条链：确定直线需要「一个点 + 一个方向」→ 方向叫倾斜角（）→ 方向量化为斜率 （）→ 两点求 （）→ 的符号定增减 → 判共线。 预告：有了斜率，下节课就能把「过一个点、有确定方向」这件事写成一个等式——直线的点斜式方程。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结链条中的空缺处；把「倾斜角的范围」和「斜率不存在的条件」各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「一条链」收束全课，把零散概念串成结构；末句预告点斜式，让学生看到本课在整章中的位置。 时间弹性提示：若环节四推进偏慢，可把变式 2 改为课后完成，务必保证环节五「当堂检测」不少于 3 分钟。 差异化处理：对基础较好的班级，变式 3 之后可追加追问「若 、 两点的横坐标相等，、、 三点共线还需要什么条件」（答： 的横坐标与 、 相同），为含参分类讨论作准备。 教学准备——教具：多媒体课件、三角板、彩色粉笔（红笔标注答案）；学具：学案（随堂印发）、直尺、量角器；媒体资源：课件需支持：倾斜角定义图、同一坐标系中四条直线（、、、斜率不存在）的对比图。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 2.1　直线的倾斜角与斜率 一、倾斜角 ： 轴正向逆时针转到直线的最小正角；；平行或重合时 二、斜率 （）： 时斜率不存在 三、斜率公式 （），与两点顺序无关 四、方向对应： 上升｜ 下降｜ 水平｜斜率不存在 竖直 副板书（右侧）：直角三角形 推导斜率公式 + 例 3 的共线计算 + 错例纠正区。 与重难点的对应：左侧「一、二、三」对应教学重点；右侧 的例外说明对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成，不一次性写完；副板书的公式推导在环节三即时生成。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 中「由 反求钝角」仍是薄弱点，估计有部分学生会写成负角，需在 2.2 点斜式中继续强化。 学情预判是否准确：预判的「分母为零」错误与「负角」错误应该在当堂检测第 1、3 题中显形，这两题的得分率是复核学情预判的关键指标。 情境与实践活动效果：若学生对「倾斜角是一条射线转出来的角」缺乏直观感受，可用三角板在投影下实地旋转演示；四线对比图建议保留整节课，随讲随指。 改进设想：四点共线的判定、两条直线平行与垂直的斜率条件均由本节自然生长，可在 2.1.2 后布置一道「用斜率判断四边形形状」的小题，提前打通与后续内容的联系。 附录　本课易错警示 1. ① 把倾斜角范围写成 ：右端必须取「」，因为 与 表示同一方向，按「最小正角」只取 。 2. ② 把「斜率不存在」与「斜率为 」搞反： 时斜率不存在（直线竖直）； 时斜率为 （直线水平）。 3. ③ 代公式时代错位置：必须分子取纵坐标之差、分母取横坐标之差；两点顺序可以交换，但分子分母必须「配套」。 4. ④ 由负斜率反求倾斜角时写出负角：如 时倾斜角是 而不是 ，倾斜角必须落在 内。 5. ⑤ 判三点共线时忽略斜率不存在：若两段连线都竖直（横坐标分别相等），应改用「三点横坐标相同」来判定，不能套用 。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：倾斜角与斜率的概念、过两点的斜率公式的直接应用 能力提升——下列补充题第 5—7 题：由倾斜角求斜率、三点共线求参、由倾斜角反求参数 思维挑战——下列补充题第 8 题：含参数直线的分类讨论（斜率不存在的情形） 基础巩固 1. 求经过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 【答案】，。 【详解】，；由 且 得 ，即直线平行于 轴（此时 ，与结论一致）。 2. 分别求倾斜角为 与 的直线的斜率。 【答案】；。 【详解】；。 3. 求经过 、 两点的直线的斜率，并判断它的倾斜角是锐角还是钝角。 【答案】，倾斜角是锐角。 【详解】，，故倾斜角为锐角（此时 ，）。 4. 判断 、、 三点是否共线，并说明理由。 【答案】三点共线。 【详解】，；因为 且两段连线都有斜率，所以 、、 三点共线。 能力提升 1. 已知经过 、 两点的直线的倾斜角为 ，求 的值；若这条直线的倾斜角为 ，再求 的值。 【答案】；。 【详解】，。倾斜角为 时 ，故 ，；倾斜角为 时 ，故 ，。 2. 已知 、、 三点共线，求 的值，并求出这条直线的斜率。 【答案】，。 【详解】，；由三点共线得 ，所以 ，，此时 ，故这条直线的斜率为 （检验：直线过 且 ，即 ，、 均满足）。 3. 已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，求 的值；若 的倾斜角为 ，再求 的值。 【答案】；。 【详解】若 ，则 、 横坐标相等，斜率不存在，倾斜角为 ，不合题意，故 。此时 。倾斜角为 时 ，故 ，，；倾斜角为 时 ，故 ，，。 思维挑战 8. 已知点 、，其中 为实数。 （1）当 为何值时，直线 的斜率不存在？此时它的倾斜角是多少？ （2）当 时，求直线 的斜率与倾斜角； （3）若直线 的倾斜角为 ，求 的值。 【答案】（1），倾斜角为 ；（2），；（3）。 【详解】（1）斜率不存在 ⇔ 、 两点横坐标相等且纵坐标不相等：由 得 ，此时 、 横坐标相同而纵坐标不同，直线 垂直于 轴，斜率不存在，倾斜角为 。 （2） 时 ，，；由 且 得 。 （3）倾斜角为 ⇒ ；由（1）知须 ，此时 。令 ，得 ，即 ，，（检验： 时 的坐标为 ，，符合题意）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　直线的倾斜角与斜率 ——斜率公式与直线的方向 第二章 直线和圆的方程 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 1 课时（共 1 课时） 30 秒导入：本章第一件事——把直线的「方向」量化成一个数，这就是斜率。 学习目标 1 目标1　能说出倾斜角的定义与范围，能由两点求斜率并判断直线的方向。 目标2　掌握过两点的斜率公式，能由斜率反求倾斜角。 目标3　会用「三点共线 ⇔ 斜率相等」判共线、求参数，会讨论斜率不存在的情形。 60 秒：突出第 3 条——三点共线 ⇔ 斜率相等，这是本课唯一的新工具。 情境导入：确定一条直线还需要什么 2 楼梯有陡有缓，自行车坡道也有缓有急——同样是从低处到高处，差别在哪里？ 回顾：两点确定一条直线。 追问：如果只给一个点 ，能画多少条直线？（无数条。） 再补上「方向」，直线就唯一确定 —— 本章先把方向量化。 方向的「名字」叫倾斜角，方向的「数」叫斜率。 4 分钟：从「一点不足以确定直线」制造认知缺口，让概念的出现成为必然。 一、直线的倾斜角 3 定义 直线 与 轴相交时，取 轴为基准， 使 轴正向绕交点逆时针旋转到与 重合， 所成的最小正角叫做 的倾斜角，记作 。 与 轴平行或重合时，规定 。 范围：， 竖直直线 ；为什么不含 ？ ——因为 与 方向相同，只取最小正角。 7 分钟：三个关键词「正向、逆时针、最小正角」要让学生自己找出来。 二、直线的斜率 4 定义 倾斜角 的正切值叫做直线 的斜率，记作 ，即 （）。 当 时， 的分母 ， 此时 无意义，直线斜率不存在（但倾斜角仍然是 ）。 辨析： ⇔ 斜率不存在（竖直）； ⇔ （水平）。 口答：、、 各是多少？ 5 分钟：把「斜率不存在」讲透——倾斜角仍是 90°，只是没有斜率。 三、过两点的斜率公式 5 公式 直线 过 、 两点，且 ，则 ，即 ； 公式与 、 的顺序无关（分子分母同时变号，比值不变）。 ① ⇒ 公式失效，直线竖直，斜率不存在； ② ⇒ ，直线水平，倾斜角为 ； ③ 越大，直线越陡。 10 分钟：公式由直角三角形推出来，不要直接给；推导中自然暴露 x₁=x₂ 的例外。 四、斜率的正负与直线的方向 6 ⇔ 倾斜角为锐角，直线上升。 ⇔ 倾斜角为钝角，直线下降。 ⇔ 直线水平，倾斜角为 。 斜率不存在 ⇔ 直线竖直，倾斜角为 。 越大，直线越陡。 3 分钟：把「数」和「形」绑定——k 的符号定方向，为下节课点斜式做准备。 例 1　两点求斜率与倾斜角 7 求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角： （1）、；（2）、；（3）、。 【答案】（1），；（2）斜率不存在，；（3），。 【详解】（1），由 且 为锐角得 。 （2），分母为零，斜率不存在；直线垂直于 轴，。 （3），由 得 。 3 分钟：三小问抢答；第（2）问请一位同学说明「为什么不能说 k=0」。 变式 1　斜率是负数怎么办 8 已知直线经过点 与 ，求这条直线的斜率与倾斜角。 【答案】，。 【详解】，；由 知 为钝角， 故 （不能写成 ）。 2 分钟：同桌互批，重点查有没有写成负角。 例 2　已知倾斜角求斜率 9 分别求倾斜角为下列值的直线的斜率： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）不存在。 【详解】（1）；（2）； （3）；（4） 时 无意义，斜率不存在。 2 分钟：全班齐答；钝角先化锐角再定符号。 变式 2　正着用、反着用 10 求倾斜角为 的直线的斜率；求倾斜角为 的直线的斜率；若一条直线的斜率为 ，求它的倾斜角。 【答案】；；。 【详解】；； 由 且 得 （不是 ）。 2 分钟：第 3 问是易错点——tanα=-1 对应 135°，不是 -45°。 例 3　三点共线的斜率条件 11 已知 、、 三点共线，求 的值。 【答案】。 【详解】，；三点共线 ⇒ ， 即 ，解得 ；检验 与 连线的斜率为 ，结论成立。 3 分钟：教师板演；强调结论「三点共线 ⇔ 两段连线斜率相等」。 变式 3　先求参，再验证 12 已知 、、 三点共线，求 的值，并判断点 是否在这条直线上。 【答案】；点 在这条直线上。 【详解】，；由共线得 ，，即 。 又 ，故 也在这条直线上。 2 分钟：学生独立完成并上台板演；第 2 问考「再用一次斜率相等」。 当堂检测（第 1—2 题） 13 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 平面内任意一条直线都有倾斜角；② 平面内任意一条直线都有斜率；③ 若一条直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 ；④ 直线的倾斜角 的取值范围是 。 【答案】① √　② ×　③ √　④ × 【详解】① 对：平面内任意一条直线都有倾斜角（与 轴垂直时为 ）；② 错：与 轴垂直的直线倾斜角为 ，斜率不存在；③ 对：由 且 得 ；④ 错：应为 ，右端取「」而非「」，因为 与 表示同一方向，按最小正角只取 。 2. 求经过 、 两点的直线的斜率与倾斜角。 【答案】， 【详解】，故 ；由 且 为锐角，得 。 4 分钟：独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，只讲错得最多的那一题。 当堂检测（第 3—4 题） 14 3. 已知直线经过 与 两点，求这条直线的斜率，并判断这条直线是上升的还是下降的。 【答案】，这条直线下降 【详解】，故 ，所以这条直线从左到右下降（ 随 的增大而减小）。 4. 已知 、、 三点共线，求 的值。 【答案】 【详解】，；三点共线 ⇒ ，即 ，解得 （此时 ，公式可用，检验通过）。 4 分钟：独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，只讲错得最多的那一题。 课堂小结与作业布置 15 倾斜角： 轴正向逆时针转到直线的最小正角，。 斜率：（），竖直直线斜率不存在。 公式：（），与两点顺序无关。 作业布置 教材 2.1 节「练习」；另完成《学案》分层作业（A 必做，B、C 选做）。 预告：下节课用「一点 + 斜率」写出直线的点斜式方程。 3 分钟：小结只落一条链——确定直线 → 倾斜角 → 斜率 → 公式 → 用法。 $