1.1 空间向量及其运算（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.1 空间向量及其运算 知识点一　空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 单位向量 模为1的向量 零向量 长度为0的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量（平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 　　[提示]　任意两个非零的空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是 说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示.因此，空间向量的问题有时 可转化为平面向量的问题. 　知识点二　空间向量的线性运算 1. 空间向量的加法、减法（图1）以及数乘运算（图2） （1）a＋b＝＋＝； （2）a－b＝－＝； （3）当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0. 2. 空间向量的线性运算律（其中λ，μ∈R） 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa ，λ（a＋b）＝λa＋λb. 利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换 相加向量的顺序，其和不变. [拓展]　空间向量加法运算的推广——多边形法则 （1）首尾连接的若干个空间向量a 1，a 2，…，a n相加，等于由起始向量a 1的起 点指向末向量a n的终点的向量，如图所示. （2）若首尾连接的若干个空间向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋…＋＋＋＝0. 知识点三　向量共线与向量共面的充要条件 1. 向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b（a≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. 2. 向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb. 知识点四　空间向量的数量积运算 1. 空间向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则 ∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞. 若＜a，b＞＝，则向量a，b互相垂直，记作a⊥b；若＜a，b＞＝0或 π，则向量a，b共线（平行），记作a∥b. 2. 空间向量的数量积 （1）已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos ＜a，b＞叫做向量a，b的数 量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. （2）向量c＝｜a｜cos＜a，b＞称为向量a在向量b上的投影向量. [拓展]　投影向量可以用来求两个向量的数量积，如上图1，向量a在向量b 上投影向量为c，那么向量a与向量b的数量积a·b＝c·b.因为a，b共线，它们的 夹角要么为0，要么为π，只需要确定c，b是同向还是反向就可以求出a，b的数 量积. （3）运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b）（λ∈R）； ② a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）. [提示]　（1）空间向量数量积的性质：当a≠0，b≠0时，a⊥b ⇔a·b＝ 0，｜a｜2＝a·a，cos＜a，b＞＝，｜a·b｜≤｜a｜｜b｜； （2）0≤＜a，b＞≤π.两个向量的夹角是唯一确定的，且＜a，b＞＝＜b，a＞. 角度一　空间向量的线性运算 1. 向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量加法的平行四边形 法则：“起点重合”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向 量”. 2. 与空间向量的线性运算相关的结论 （1）＝－. （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有＝＋＋. （3）若O为空间中任意一点： ①点P是线段AB中点的充要条件是＝（＋）.应用到平 行四边形ABCD中，如图，即＋＝2或＝（＋）.因 此，题目中出现系数时，常要考虑取线段的中点，利用该条件转化. ②若G为△ABC的重心，则＝（＋＋）. [例1]　如图，已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. （1）用，，表示； [解]　∵几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， ∴＝＋＋＝＋＋. （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上靠近C1的四等分 点，设＝α ＋β ＋γ ，试求α，β，γ的值. [解]∵＝＋＝＋ ＝（－）＋（＋） ＝＋＋， 又＝α ＋β ＋γ ， ∴α＝，β＝，γ＝. [反思]　（1）利用平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对角线对应向量＝ ＋＋. （2）用已知向量表示未知向量或参数求解的问题，以已知的向量为目标，通过 向量的线性运算逐步接近目标，然后令对应的系数相等可得结论. 角度二　共线与共面问题 1. 证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： （1）＝λ（λ∈R）； （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）； （3）对空间任一点O，＝x＋y（其中x，y∈R，x＋y＝1）. 2. 证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： （1）＝x＋y（x，y∈R）； （2）对空间任一点O，＝＋x＋y（x，y∈R）； （3）在点M，A，B不共线的条件下，对空间任一点O，＝x＋y＋ z（其中x，y，z∈R，x＋y＋z＝1）； （4）∥或∥或∥. [例2-1]　已知向量a，b，c不共面，＝4a＋5b＋3c，＝2a＋3b＋c， ＝6a＋7b＋5c.求证：B，C，D三点共线. [分析]　要证明B，C，D三点共线，只需要找到一个非零实数λ，使得 ＝λ.利用三角形法则，分别求，.同理，也可以选择证明存在非零实 数λ使得＝λ等.但最后一定要说明它们存在一个公共点. [证明]　因为＝4a＋5b＋3c，＝2a＋3b＋c，＝6a＋7b＋5c， 所以＝－＝2a＋3b＋c－（4a＋5b＋3c）＝－2a－2b－2c， ＝－＝6a＋7b＋5c－（4a＋5b＋3c）＝2a＋2b＋2c， 所以＝－，所以∥，又B为公共点， 所以B，C，D三点共线. [例2-2]　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满 足＝（＋＋）. （1）判断，，三个向量是否共面； [解]　由题知＋＋＝3， 则－＝－＋－， 即＝＋＝－－，所以，，共面. （2）判断点M是否在平面ABC内. [解]由（1）知，，共面且向量都过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内. [反思]　（1）A，B，C三点可以组成三角形，由＝（＋＋ ）可知M是△ABC的重心；（2）利用四点共面的充要条件“对空间任一点 O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1”可知M，A，B，C共面.该结论 常与基本不等式中“1”的代换结合用来求最值. 角度三　投影向量与数量积 1. 求两个向量的数量积，一般将两个向量分别分解为已知模和夹角的几个向量 和的形式，然后利用运算律展开，计算出结果. 2. 利用投影向量的定义，找到向量a在向量b上的投影向量c，利用a·b＝c·b 转化. [例3]　如图，在空间四边形OABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，设 ＝a，＝b，＝c. （1）试用向量a，b，c表示向量； [解]　＝＋＝＋＝a＋b＋c. （2）若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求 ·的值. [分析]　对于（2），思路一：，，模已知，夹角已知， 用a，b，c表示，再利用运算律可得·. 思路二：找到在上的投影向量，利用数量积的几何意义解答. [解] 　方法一：＝－＝c－a，＝a＋b＋c， 所以·＝·（c－a） ＝a·c－a 2＋b·c－b·a＋c 2－c·a. 将b·c＝2×4cos 60°＝4，a·b＝4×2cos 60° ＝4，a·c＝4×4cos 60°＝8代入上式， 可得·＝×8－×16＋×4－×4＋×16－×8＝－2. 方法二：如图，过点E作EF⊥AC，OG⊥AC， 则在上的投影向量为， 则·＝·＝－｜｜·｜｜. 只需要求｜｜.由OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°， 可知AC＝4，AB＝BC，则G为AC的中点，H为△ABC的重心. 又E为AD的中点，所以＝＝＝， 所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝，所以·＝－2. [反思]　将本题的第（1）（2）题结合起来，显然用方法一更简单一些； 利用投影解决数量积问题适合垂直关系较多的图形，计算量较小，思维量较大. 角度四　距离问题 求空间两点间的距离或某条线段的长度，可以利用空间向量的数量积将其 转化为求向量的模的问题.基本思路如下： （1）选择以两点为端点的向量，将此向量用几个已知向量线性表示出来； （2）求出几个已知向量的模及其两两之间的夹角； （3）利用公式｜a｜＝求出模，即求出空间两点间的距离. [例4]　已知空间向量，，的模分别为2，2，3，且两两夹角均为 ，点G为△ABC的重心，则＝ 　　​　　. ​ [解析]　因为点G为△ABC的重心， 则＋＋＝0， 可得－＋－＋－＝0，则3＝＋＋， 所以9＝ ＝＋＋＋2（·＋·＋·） ＝4＋4＋9＋2×（ 22cos ＋2×3cos ＋3×2cos ）＝33，故＝. 角度五　异面直线夹角问题 利用数量积求异面直线夹角或夹角余弦值的方法 [例5]　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正 方形，侧棱AA'的长为2，且∠A'AB＝∠A'AD＝120°. 求： 　　（1）AC'的长； [解]　由题意知｜｜2＝1，｜｜2＝1，｜｜2＝4，·＝0， ·＝cos ∠A'AB＝－1，·＝cos ∠A'AD＝－1， 因为＝＋＋， 所以｜｜＝ ＝ ＝＝. 所以AC'的长为. （2）直线BD'与AC所成角的余弦值. [解]　＝＋＋， ＝ ＝ ＝ ＝， 易得＝， ·＝（＋＋）·（＋） ＝－＋·＋·＋·＋·＋· ＝－1＋0－1＋0＋1－1＝－2， 所以cos ＜，＞＝＝＝－. 因为异面直线BD'与AC所成角的取值范围为， 所以直线BD'与AC所成角的余弦值为. $