1.2空间向量基本定理（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理　学案 ——基底与向量的分解 一、学习目标 1. 能说出空间向量基本定理的内容，知道基底、基向量的概念，会判断一组向量能否作为空间的一个基底。 2. 能在正方体、空间四边形中选定基底，并表示对角线向量与中点连线向量。 3. 能运用分解式的唯一性（比较系数）说明问题，并综合共面向量定理判定共面。 二、课前预习（阅读教材后完成） 1. 空间向量基本定理 如果三个向量 、、 ＿＿＿，那么对空间任一向量 ，存在＿＿＿的有序实数组 ，使 ＿＿＿。 2. 基底与基向量 此时 叫做空间的一个＿＿＿，其中 、、 都叫做＿＿＿。 基底判定：三个向量能否作基底，就看它们是否＿＿＿；＿＿＿（填「需要」或「不需要」）两两垂直。 3. 单位正交基底 若基向量 、、 两两＿＿＿且模均为＿＿＿，则称 为单位正交基底。 三、课堂探究 探究一　两个向量为什么不够 结合共面向量定理说明：为什么两个不共线的向量 、 的线性组合 表示不了空间中的全部向量？ 探究二　分解式为什么唯一 若 且 ，把 用 、 表示出来，会得出什么矛盾？ 探究三　正方体的「天然基底」 为什么正方体从同一顶点出发的三条棱向量 、、 是最方便的基底？它特殊在哪里？ 四、典例剖析 例1　基底判定 判断下列向量组能否作为空间的一个基底（说明理由）： （1）、、（、 不共线）；（2）、、（）；（3）正方体 中的 、、。 变式1 判断向量组 、、（、 不共线）能否作为空间的基底。 例2　中点连线 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，以 为基底，表示 。 例2图 变式2 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，以 为基底，表示 。 变式2图 例3　正方体中的表示与共面 正方体 中，以 为基底： （1）表示 与 ； （2）已知 为空间一点， 满足 （、、 不共线），判断 、、、 是否共面，并指出 的几何位置。 变式3 正方体 中，以 为基底，表示 。 【方法小结】① 基底判定只看「是否共面」；② 中点公式 （ 为 中点）是表示中点向量的桥梁；③ 体对角线向量沿三条棱「首尾相接」即可分解。 五、当堂检测 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 空间中任意三个向量都可以作为一个基底；② 基底中的基向量必须两两垂直；③ 若 、、 不共面，则 、、 可作为基底；④ 空间任一向量在给定基底下的分解式是唯一的。 2. 正方体 中，以 为基底，表示 。 3. 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，用 、、 表示 。 4. 已知 为空间一点，、、 不共线， 满足 ，判断 是否在平面 内，并说明理由。 六、分层作业 A 基础巩固 1. 已知 、、 是空间的一个基底，判断 、、 能否作为空间的一个基底。 2. 正方体 中，以 为基底，表示 。 3. 已知 为空间一点，、、 不共线， 满足 ，判断 、、、 是否共面。 4. 已知 是空间的一个基底，且 ，求 、、。 B 能力提升 5. 正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，以 为基底，表示 。 6. 四面体 中， 是 的重心，用 、、 表示 ，并证明 。 7. 已知 、、 不共面，，，，判断 、、 是否共面。 C 思维挑战 8. 四面体 中，、、 分别是 、、 的重心。 （1）用 、、 表示 、、； （2）求证：，且 。 七、学习反思 本节课我掌握得最好的： 还需要加强的： $ 1.2　空间向量基本定理　教学设计 ——基底与向量的分解 课型：新授课　课时：第 1 课时（共 1 课时） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·（3）向量基本定理及坐标表示；对应本课：环节二、三：定理内容与基底应用） ②　经历由平面向量推广到空间向量的过程。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·（2）空间向量及其运算；对应本课：环节一、二：平面向量基本定理类比） 本课核心素养锚点：数学抽象（主要）　逻辑推理、直观想象（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节核心是空间向量基本定理：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。此时 叫做空间的一个基底，其中 、、 叫做基向量；特别地，若基底由两两垂直的单位向量组成，则为单位正交基底（1.3 坐标法的起点）。 从哪来：学生已掌握平面向量基本定理（两不共线向量的唯一分解）与 1.1 的共面向量定理（ 只能表示与 、 共面的向量），空间基本定理是二者在三维的自然升级：多一个维度，就多一个基向量。 往哪去：定理是全章的「字典」：有了基底，几何体中任一向量都能写成三个基向量的线性组合，从而把几何计算统一为代数运算；1.3 取单位正交基底即得坐标表示，1.4 的向量法全部建立在它之上。 核心矛盾：重点：定理的内容、基底的概念、用基底表示空间向量。 难点：分解式「存在且唯一」的理解——为什么三个不共面的向量缺一不可，以及把唯一性用于「比较系数」。 成因：唯一性涉及反证思想（若两组系数不同则基向量相关），学生抽象程度不足。 独特价值：空间向量基本定理回答了「三个向量能否撑起整个空间」的问题，是坐标法的理论基石。 知识／能力起点：已掌握平面向量基本定理与共面向量定理，能用基底表示平面内向量；对正方体中棱、面对角线、体对角线的方向关系较熟悉。 认知／思维特点：高二学生能接受「类比升级」式新知，但对「不共面」这一三维特有条件的意义不敏感，易把基底条件误记为「两两垂直」。 预判困难与兴趣点：① 易错点：把「三个不共面向量」错当「任意三个向量」；② 中点连线向量的表示需要两次中点公式，步骤多，易漏项； ③ 兴趣点在于「选好基底，全空间任我表示」的普适感。 学情参考：可参考 1.1.2 当堂检测第 3 题（几何体中求数量积）的得分率作为参照。 三、教学目标 1. 能说出空间向量基本定理的内容，知道基底、基向量的概念，会判断一组向量能否作为空间的一个基底。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：基底判断题 3 题对 2 题及以上 2. 能在正方体、空间四边形中选定基底，并表示对角线向量与中点连线向量。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：基底表示题 3 题对 2 题 3. 能运用定理的唯一性说明分解式相等时系数相等，并综合共面向量定理判定共面问题。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：综合题 2 题对 1 题及以上 目标 1 的评估证据：教材例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：教材例 2、例 3 + 变式 2、3 + 当堂检测第 2、3 题；对应环节：环节三。 目标 3 的评估证据：当堂检测第 4 题 + 作业 B 组第 7 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：空间向量基本定理；基底的概念与判定；用基底表示空间向量。 难点：分解式唯一性的理解与应用（比较系数），及三个向量「不共面」条件的必要性。 难点成因：唯一性的论证需构造两组分解式相减后使用共面向量定理反推，思维链较长。 教法：类比启发 + 讲练结合——由平面向量基本定理与共面向量定理的「缺口」引入（两向量表示不了全空间），让学生自己猜出需要三个不共面的向量；定理给出后重在「用」，唯一性由教师板演推证。 学法：类比归纳（平面基底 → 空间基底）+ 程序化表示（定基底 → 找路径 → 逐段翻译）——本课认知任务以「基底表示」与「代数变形」为主。 五、教学过程 环节一　复习导入：两个向量够用吗（约3分钟） 回顾：平面向量基本定理——不共线的 、，平面内任一向量 ；共面向量定理—— 只能表示与 、 共面的向量。 提问：空间中的向量都在 、 张成的平面内吗？（不在。）要让「任一空间向量」都能表示，至少需要几个向量？它们要满足什么条件？ 【学生活动】口答平面基本定理；猜想：需要三个向量，且不能共面。 【设计意图】对应目标 1。从「两向量表示不了全空间」这一缺口自然引出三向量，定理的产生有逻辑必然性。 环节二　空间向量基本定理（约10分钟） （1）定理：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。 （2）基底：此时 叫做空间的一个基底，、、 都叫做基向量；任一不共面的三向量组都可作为基底，不要求两两垂直。 （3）唯一性推证（板书）：若又有 ，两式相减得 ；若 ，则 ，即 与 、 共面，矛盾。故三组系数全相等。 （4）基底判定口诀：能撑起全空间 ⇔ 不共面；有共面关系（如 、）的向量组一律不行。 【学生活动】在学案「知识梳理」填写定理与基底概念；同桌互述「为什么两两垂直不是必要条件」。 【设计意图】对应目标 1。唯一性推证是难点，由教师完整板演一次并强调「不共面」正是矛盾来源，为比较系数法提供理论依据。 环节三　例题精析（约15分钟） 例 1（基底判定）　判断下列向量组能否作为空间的一个基底（说明理由）： （1）、、，其中 、 不共线； （2）、、，其中 ； （3）正方体 中的 、、。 【解答】（1）不能： 与 、 共面（存在 、 使三向量满足 ），三向量共面，不能作基底。 （2）不能：，三向量共面。 （3）能：三条棱向量两两不共线、且不同在任何一个平面内（ 不在底面 内），三向量不共面。 【方法归纳】判断能否作基底，就看三向量是否共面：只要其中一个能写成另两个的线性组合，就不能。 变式 1　判断向量组 、、（、 不共线）能否作为空间的基底。 【答案】不能。 【详解】，与 、 共面，故三向量共面，不能作基底。 例 2（中点连线）　空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，以 为基底，表示 。 【解答】，， ， 即 。 【方法归纳】中点公式 （ 为 中点）是表示中点向量的桥梁。 变式 2　空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，以 为基底，表示 。 【答案】。 【详解】，，。 例 3（正方体中的表示）　正方体 中，以 为基底： （1）表示 与 ；（2）已知 为空间一点， 满足（、、 不共线），判断 、、、 是否共面，并指出 的几何位置。 【解答】（1）（沿三条棱首尾相接）； 。 （2）系数和 ，由共面向量定理的推论，、、、 共面； 且 表明 是 的重心。 【方法归纳】（1）的窍门是「沿棱走」：体对角线 = 三条棱之和；（2）把重心公式与系数和为 1 联系起来。 变式 3　正方体 中，以 为基底，表示 。 【答案】（即 ）。 【详解】（上底面与下底面平行移动），而 ，故 。 【学生活动】例 1 三小问由学生抢答；例 2 教师板演一条，学生独立完成变式 2；例 3 师生共同完成。 【设计意图】对应目标 1、2。三例构成「判基底 → 表中点 → 表对角线」的梯度；变式 2 与例 2 对照，训练中点公式的双向使用。 环节四　正交基底与方法展望（约4分钟） （1）若基向量 、、 两两垂直且模均为 1，则称 为单位正交基底。 （2）取正方体从同一顶点出发的三条棱所在向量为基底（如 、、），这就是最常用的「天然正交基底」。 （3）预告：给基底配上坐标（1.3），向量的表示就从「字母组合」升级为「数字运算」。 【学生活动】在学案「知识梳理」补写单位正交基底定义；思考：为什么正方体的三条棱向量是最方便的基底。 【设计意图】对应目标 3。单位正交基底是通往坐标法的桥，此处只需建立印象，为 1.3 埋下伏笔。 环节五　当堂检测（约5分钟） 独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，统计错题。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（4 小题），答案与详解由课件单击呈现。 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 空间中任意三个向量都可以作为一个基底；② 基底中的基向量必须两两垂直；③ 若 、、 不共面，则 、、 可作为基底；④ 空间任一向量在给定基底下的分解式是唯一的。 【答案】① ×　② ×　③ √　④ √ 【详解】① 错：三个向量不共面才可作基底；② 错：基向量只要求不共面，不要求垂直；③ 对：设 ，由基底无关性得 ，，，只有零解 ，三向量不共面；④ 对：这正是基本定理中「唯一」的含义。 2. 正方体 中，以 为基底，表示 。 【答案】 【详解】，而 ，故 。 3. 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，用 、、 表示 。 【答案】 【详解】（以 项算更直接：），，。 4. 已知 为空间一点，、、 不共线， 满足 ，判断 是否在平面 内，并说明理由。 【答案】 在平面 内 【详解】系数和 ，由共面向量定理的推论（ 且 ）知 、、、 共面，即 在平面 内。 【学生活动】独立作答 → 互换批改 → 举手统计错号。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别对应基底判定、基底表示、中点表示与共面判定。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一张表：定理内容（不共面三向量唯一分解）→ 基底判定（看是否共面）→ 常用基底（正方体三棱）→两大工具（中点公式、系数和为 1）。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结表格中的空缺处。 【设计意图】对应全部目标。以「一张表」收束，强化定理—基底—工具的结构。 教学准备——教具：多媒体课件、正方体框架模型、彩色粉笔（红笔标注答案）；学具：学案（随堂印发）、直尺；媒体资源：课件需支持：正方体中体对角线向量沿三条棱的分解演示。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 1.2 空间向量基本定理 一、定理：、、 不共面 ⇒ 任一 （唯一） 二、基底 ：判定 ⇔ 不共面（不要求垂直） 三、唯一性：两组分解相减 ⇒ 基向量相关 ⇒ 矛盾 ⇒ 比较系数合法 四、单位正交基底：、、 两两垂直且模为 1 副板书（右侧）：例 2 的中点公式推导 + 例 3 正方体分解示意 + 错例纠正区。 与重难点的对应：左侧「一、二」对应教学重点；右侧唯一性推证对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成，不一次性呈现；副板书的唯一性推证在环节二即时生成。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 的唯一性推证抽象度高，估计部分学生只能记住「可以比较系数」而说不出理由，需在 1.3 再次回扣。 学情预判是否准确：变式 2 与例 2 的中点位置不同（BC/AD 对 AB/CD），预计会有学生套用例 2 结果，当堂检测第 3 题的得分率是复核指标。 情境与实践活动效果：若学生对「三条棱向量撑起正方体」缺乏直观感受，可用框架模型演示任一面对角线、体对角线沿棱的分解。 改进设想：重心问题（B 组第 6 题、C 组第 8 题）为后续立体重心问题埋线；1.3 坐标表示引入后，可让学生用坐标法重解本课例 2、例 3，体会坐标法的效率。 附录　本课易错警示 1. ① 把「任意三个向量」当基底：基底的前提是三向量不共面，如 时三向量共面，不能作基底。 2. ② 误以为基向量必须两两垂直：垂直只是「方便」，不是「必须」。 3. ③ 中点公式用错： 为 中点时 ，不要漏掉系数 或把加法写成减法。 4. ④ 忽视唯一性的前提：比较系数法（对应系数相等）只在同一基底下才合法。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：基底判定与基底表示 能力提升——下列补充题第 5—7 题：中点、重心与共面判定 思维挑战——下列补充题第 8 题：三条重心连线构成的三角形 基础巩固 1. 已知 、、 是空间的一个基底，判断 、、 能否作为空间的一个基底。 【答案】不能。 【详解】设 ，即 ；由基底无关性得 ，即 ，取 有非零解，三向量线性相关（实为三者之和为 ），共面，不能作基底。 2. 正方体 中，以 为基底，表示 。 【答案】。 【详解】，而 ，，故 。 3. 已知 为空间一点，、、 不共线， 满足 ，判断 、、、 是否共面。 【答案】共面（ 在平面 内）。 【详解】系数和 ，由共面向量定理的推论知 、、、 共面。 4. 已知 是空间的一个基底，且 ，求 、、。 【答案】，，。 【详解】由分解式的唯一性，同一向量对同一基底的两组系数对应相等，故 ，，。 能力提升 1. 正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，以 为基底，表示 。 【答案】。 【详解】记 ，，； 为 中点：； 为 中点：；。 2. 四面体 中， 是 的重心，用 、、 表示 ，并证明 。 【答案】（证明见详解）。 【详解】取 中点 ，则 ；重心分中线 ，故 ；又 ，，。 3. 已知 、、 不共面，，，，判断 、、 是否共面。 【答案】不共面。 【详解】设 ，按基底分解整理得 ，，；由第一、三式相减得 ，代入得 且 ，解得 。三向量线性无关，故不共面。 思维挑战 8. 四面体 中，、、 分别是 、、 的重心。 （1）用 、、 表示 、、； （2）求证：，且 。 【答案】（1）；；。（2）见详解。 【详解】（1），，， 故 ；同理得其余两式。 （2）由（1），故 且 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 ——基底与向量的分解 第一章 空间向量与立体几何 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 1 课时（共 1 课时） 30 秒导入：本课解决「三个向量能否撑起整个空间」——它是坐标法的理论基石。 学习目标 1 目标1　能说出空间向量基本定理，会判断一组向量能否作基底。 目标2　能在正方体、空间四边形中选定基底，并表示对角线与中点连线向量。 目标3　会用唯一性比较系数，综合共面向量定理判定共面。 60 秒：突出第 3 条——唯一性是「比较系数」的理论依据。 复习导入：两个向量够用吗 2 平面：不共线的 、，平面内任一向量 。 共面向量定理： 只能表示与 、 共面的向量。 提问：要让「任一空间向量」都能表示，至少需要几个向量？要满足什么条件？ 猜想：三个，且不共面。 3 分钟：从「缺口」引出三向量，定理的产生有逻辑必然性。 空间向量基本定理 3 定理 如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ， 存在唯一的有序实数组 ，使 ； 叫做空间的一个基底，、、 叫做基向量。 唯一性：若 另有分解，相减得 ； 若 ，则 可由 、 线性表示 ⇒ 三向量共面，矛盾。 10 分钟：定理加框齐读；唯一性推证由教师完整板演一次。 基底判定口诀 4 判定口诀 能作基底 ⇔ 三向量不共面（不要求两两垂直）； 只要其中一个能写成另两个的线性组合（如 、 ），三向量共面，就不能作基底。 正方体中：、、（三条棱）不共面，是天然基底。 随堂口诀：能撑起全空间 ⇔ 不共面；有共面关系的一律不行。 例 1　基底判定 5 判断下列向量组能否作为空间的一个基底： （1）、、（、 不共线）；（2）、、（）；（3）、、。 【解答】（1）不能： 与 、 共面。 （2）不能：，三向量共面。 （3）能：三条棱向量不同在任何一个平面内，不共面。 3 小问学生抢答；强调（1）（2）都给出了显式共面关系。 变式 1　再判一组 6 判断向量组 、、（、 不共线）能否作为空间的基底。 【答案】不能。 【详解】，与 、 共面，故三向量共面，不能作基底。 90 秒：学生自主完成，答案与详解同页呈现。 例 2　中点连线 7 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点， 以 为基底，表示 。 【解答】，， 。 【方法归纳】 为 中点 ⇒ 。 5 分钟：教师板演一条，学生独立完成变式 2；中点公式是桥梁。 变式 2　换个位置练 8 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点， 以 为基底，表示 。 【答案】。 【详解】，，。 3 分钟：与例 2 对照——中点位置不同，结果符号随之改变。 例 3　正方体中的表示与共面 9 正方体 中，以 为基底： （1）表示 与 ；（2） （、、 不共线），判断 、、、 是否共面并指出 的位置。 【解答】（1）；。 （2）系数和 ，故四点共面， 且 是 的重心。 5 分钟：沿棱「走」出体对角线；重心与系数和为 1 联系起来。 变式 3　表示 B′D′ 10 正方体 中，以 为基底，表示 。 【答案】。 【详解】（平行移动），而 ，故 。 90 秒：关键看出 $\vec{B′D′}=\vec{BD}$（平行移动）。 单位正交基底与展望 11 若基向量 、、 两两垂直且模均为 1， 则 叫做单位正交基底。 正方体从同一顶点出发的三条棱就是最方便的「天然正交基底」。 预告：1.3 给基底配上坐标，向量运算升级为数字运算。 4 分钟：只建立印象——下节课给基底配上坐标。 当堂检测（第 1—2 题） 12 1. 判断下列说法是否正确（正确打「√」，错误打「×」）：① 空间中任意三个向量都可以作为一个基底；② 基底中的基向量必须两两垂直；③ 若 、、 不共面，则 、、 可作为基底；④ 空间任一向量在给定基底下的分解式是唯一的。 【答案】① ×　② ×　③ √　④ √ 【详解】① 错：三个向量不共面才可作基底；② 错：基向量只要求不共面，不要求垂直；③ 对：设 ，由基底无关性得 ，，，只有零解 ，三向量不共面；④ 对：这正是基本定理中「唯一」的含义。 2. 正方体 中，以 为基底，表示 。 【答案】 【详解】，而 ，故 。 5 分钟：独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，统计错题。 当堂检测（第 3—4 题） 13 3. 空间四边形 中，、 分别是 、 的中点，用 、、 表示 。 【答案】 【详解】（以 项算更直接：），，。 4. 已知 为空间一点，、、 不共线， 满足 ，判断 是否在平面 内，并说明理由。 【答案】 在平面 内 【详解】系数和 ，由共面向量定理的推论（ 且 ）知 、、、 共面，即 在平面 内。 5 分钟：独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，统计错题。 课堂小结与作业布置 14 小结：定理 · 基底 · 工具 定理：不共面三向量 ⇒ 任一向量唯一分解 ； 基底：判定 ⇔ 不共面（不要求垂直）；正方体三棱是天然基底； 工具：中点公式 ；系数和为 1 判共面。 作业布置 教材 1.2 节「练习」；「习题 1.2」相关题； 另完成本套《学案》所附分层作业（A 基础巩固必做，B、C 选做）。 3 分钟：小结只落一张表——定理、基底、工具。 $