1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕空间向量及其线性运算展开，涵盖空间向量的概念、线性运算及共线共面问题。通过类比平面向量导入，课前预习梳理零向量、单位向量等概念并结合诊断分析巩固基础，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于采用类比迁移的教学方法，结合诊断分析与变式训练，培养学生的抽象能力和空间观念。如课中探究通过正方体模型分析向量运算，素养小结提炼关键点，帮助学生形成结构化认知。学生能深化空间向量理解，教师可依托分层习题提升教学效率。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.1 空间向量及其线性运算 2 探究点一 空间向量的有关概念及应用 探究点二 空间向量的线性运算 探究点三 空间向量的共线、共面问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.类比平面向量，能直接获得空间向量的概念，以及零向量、单 位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念. 2.结合立体几何与空间向量的特征，知道共面向量的概念. 3.在平面向量的基础上，能应用平行四边形法则和三角形法则进 行空间向量的加减运算. 4.类比平面向量，能进行空间向量的数乘运算. 4 知识点一 空间向量及有关概念 1.在空间，把具有______和______的量叫作空间向量，空间向量的大 小叫作空间向量的______或____. 空间向量用字母,,， 表示，也用有向线段表示，有向线段的 ______表示空间向量的模，向量的起点是，终点是，则向量 也 可以记作 ，其模记为____或_____. 大小 方向 长度 模 长度 课 前 预 习 5 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫作________，记为 单位向量 _______的向量叫作单位向量 相反向量 与向量长度______而方向______的向量，叫作 的相反 向量，记为____ 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_________ _______，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量 ， 都有___ 零向量 模为1 相等 相反 互相平行或重合 平行 课 前 预 习 6 名称 定义及表示 相等向量 方向______且模______的向量叫作相等向量.在空间， ______且______的有向线段表示同一向量或相等向量 续表 相同 相等 同向 等长 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）零向量是没有方向的.( ) × [解析] 零向量也是有方向的，只是方向是任意的. （2）两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同.( ) √ [解析] 相等向量，如果起点相同，那么终点必相同. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）空间中方向相反的两个向量是相反向量.( ) × [解析] 相反向量不仅要求方向相反，而且要求模必须相等. （4）空间内所有单位向量都是相等的.( ) × [解析] 空间内所有单位向量的长度都相等，但其方向不一定相同. 课 前 预 习 9 知识点二 空间向量的线性运算 1.空间向量的自由性 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任 意两个__________的运算就可以转化为__________的运算. 空间向量 平面向量 课 前 预 习 10 2.空间向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个 向量 ____的 运算 _____________________________________ ________法则 _________________________________ ____________法则 （1）加法交换律: ______; （2）加法结合律: ___________ 和 三角形 平行四边形 课 前 预 习 11 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 减去一个向量相 当于加上这个向 量的__________ ______________________________________ ________法则 _______ ___ 相反向量 三角形 续表 课 前 预 习 12 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 实数 与向量 的 积是一个______, 这种运算叫作向 量的__________, 记作____ （1） ______. （2）当时, 与 的方向______;当 时,与 的方 向______;当 时, ___ （1）对向量加 法的分配律: ________； （2）对实数加 法的分配律: _________ 向量 数乘运算 相同 相反 续表 课 前 预 习 13 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) √ （2）有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.( ) √ （3）若，则 .( ) √ 课 前 预 习 14 2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平 面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗? 解：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算, 由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同. 平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用. 课 前 预 习 15 知识点三 空间向量共线与共面的充要条件 1.空间两向量共线的充要条件 对任意两个空间向量,,的充要条件是存在实数 ,使 ________. 课 前 预 习 16 2.空间直线的确定 （1）直线的方向向量的定义 在直线上取___________,把与向量______的非零向量称为直线 的 方向向量. 非零向量 平行 （2）空间直线的确定 空间直线可以由其上一点和它的__________确定. 方向向量 课 前 预 习 17 3.共面向量的定义 （1）向量与直线平行 如果表示向量的有向线段所在的直线与直线 ______或______， 那么称向量平行于直线 . 平行 重合 （2）向量与平面平行 如果表示向量的有向线段所在的直线 _____________或_____ _______，那么称向量平行于平面 . 平行于平面 在平面 内 （3）共面向量 平行于同一个平面的向量,叫作__________. 共面向量 课 前 预 习 18 4.共面向量定理 如果两个向量，不共线,那么向量与向量， 共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对 ,使____________. 课 前 预 习 19 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于向量,,,若存在,，使得成立,则向量 与, 共面.( ) √ [解析] 若存在,，使得成立,则与, 一定共面. （2）若向量与向量,共面,则存在,，使得 成立. ( ) × [解析] 当,共线,而与,不共线时,不存在, ,使得 成立. 课 前 预 习 20 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若,则,,, 共面.( ) √ [解析] 若,则与,共面,又因为， ，有公共点，所以,,, 共面. （4）若,,,共面,则 .( ) × [解析] 当,共线,而与,不共线时, 不成立. 课 前 预 习 21 探究点一 空间向量的有关概念及应用 例1（1）（多选题）给出下列四个说法,其中正确的是( ) A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B.若空间向量,满足,则 C.在正方体中,必有 D.若空间向量,,满足,,则 √ √ 课 中 探 究 22 [解析] 对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同，故A错误; 对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等, 而且方向还要相同,但B中向量与 的方向不一定相同，故B错误; 对于C,根据正方体的性质,在正方体中,向量 与向量的方向相同,模也相等,则 ，故C正确; 对于D,由相等向量的定义可知，故D正确.故选 . 课 中 探 究 23 （2）（多选题）如图所示，在长方体 中， ，， ，则在以八个顶点中的两个顶点分别为 起点和终点的向量中，下列说法正确的是( ) A.单位向量有8个 B.与相等的向量不含 有3个 C. 的相反向量有4个 D.模为 的向量有4个 √ √ √ 课 中 探 究 24 [解析] 由题可知单位向量有， ，，，，，， ，共8个，故A正确； 与相等的向量（不含 有，， ，共3个，故B正确； 向量 的相反向量有，，， ，共4个，故C正确； 模为的向量有，，，，，，， ，共8个，故D错误.故选 . 课 中 探 究 25 变式 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点 构成一个圆； ②在正五棱柱中，必有 ； ③空间中任意两个方向相反的单位向量的模必相等. 其中真命题的序号是______. ②③ [解析] 对于①，根据空间向量的定义，将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 课 中 探 究 26 对于②，根据正五棱柱的性质，得 ，故②为真命题； 对于③，空间中任意两个方向相反的单位向量的模都等于1，故③为真命题.故填②③. 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: （1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. （2）注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②单位向 量的方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等， 不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等， 而且方向相同.若两个向量的模相等，方向相反，则它们为相反向量. 课 中 探 究 28 探究点二 空间向量的线性运算 例2（1）（多选题）如图所示,在正方体 中,下列各式 中运算结果为 的有( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 中 探 究 29 [解析] 对于A, ,故A符合题意; 对于B, ,故B符合题意; 对于D, ,故D符合题意.故选 . 对于C, ,故C不符合题意; 课 中 探 究 30 （2）[2025·无锡高二期中] 如图， 是四面体的 棱的中点，点在线段上，点 在线段上， 且, ，用向量,, 表示, . 解：因为是 的中点，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 课 中 探 究 31 因为 ，所以 ， 所以 . 课 中 探 究 变式（1）若,,, 为空间中不同的四个点，则下列各式中运算结 果不一定为零向量的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 对于A， , 故A中结果不一定为零向量； 课 中 探 究 33 对于B， ，故B中结果为零向量； 对于C， ，故C中结果为零向量； 对于D， ，故D中结果为零向量.故选A. 课 中 探 究 34 （2）如图，在正六棱柱 中. ①化简： _____； [解析] . 课 中 探 究 35 （2）如图，在正六棱柱 中. ②化简： _____. [解析] . 课 中 探 究 36 ［素养小结］ 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要 注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确 的结果. 课 中 探 究 37 探究点三 空间向量的共线、共面问题 角度1 空间向量的共线 例3（1）若空间中不同的四点,,,满足 ，其中 ，则( ) A.点一定在直线上 B.点一定不在直线 上 C.点不一定在直线 上 D.以上答案都不对 [解析] 因为，所以， 又 ，故，所以 ，所以，则点一定在直线 上.故选A. √ 课 中 探 究 38 （2）设向量,,不共面，已知 ， ,,若,, 三点共线，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析] 方法一：因为,,三点共线，所以，则存在实数 ，使得，由已知得 , , 故,由于,, 不共面，故 解得 故选C. 课 中 探 究 39 方法二：因为，，三点共线，所以 ，由已知得, , 又向量,,不共面，故向量表达式中,, 的系数对应成比例，即，解得 .故选C. 课 中 探 究 40 变式 如图，在平行六面体 中，，分 别是,的中点，在 上且，在 上且，判断 与 是否共线. 解：由空间向量的线性运算法则，可得 ，即，所以与 共线. 课 中 探 究 41 ［素养小结］ （1）证明空间向量共线的方法:证明空间向量<m></m>,<m></m>共线的关键是利用 已知条件找到实数<m></m> ，使<m></m>成立，在做题时要运用空间 向量的运算法则，结合空间图形，化简得出<m></m>，从而得 出<m></m>. （2）证明空间三点共线的思路:对于空间三点<m></m>，<m></m>，<m></m>，可通过证明 下列结论来证明<m></m>，<m></m>，<m></m>三点共线. ①存在实数<m></m> ，使<m></m>成立. ②对空间中一点<m></m>，有<m></m>. 课 中 探 究 42 角度2 空间向量的共面问题 例4 已知,,三点不共线,是平面外一点，点 满足 . （1）,, 三个向量是否共面? 解：由题意知 , , , 向量,, 共面. 课 中 探 究 43 例4 已知,,三点不共线,是平面外一点，点 满足 . （2）点是否在平面 内? 解：由（1）知向量,, 共面, 它们有共同的起点,且,, 三点不共线, ,,,四点共面,即点在平面 内. 课 中 探 究 44 变式 ［教材P5例1改编］如图，已知 是平面四边形 所在平面外一点，连接， ，，，点，，， 分别为 ，，，的重心， 求证： ，，， 四点共面． 证明：如图，连接，，， 并延长，分别交，，，于点，，， ， 则，，，分别为，，， 的中点，作四边形 ，则该四边形为平行四边形，连接，，， . 课 中 探 究 45 易知， ，， ， 所以 ， 所以与， 共面，又因为它们有公共点 , 所以，，， 四点共面． 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另 两个向量的线性组合,即若<m></m>,则向量<m></m>,<m></m>,<m></m>共面. （2）证明空间四点共面的思路:对于空间四点<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，可通过 证明下列结论来证明<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>四点共面. ①存在实数<m></m>,<m></m>，使<m></m>成立； ②对空间中一点<m></m>，存在实数<m></m>，<m></m>，使<m></m>成立； ③对空间中一点<m></m>，有<m></m>. 课 中 探 究 47 课后习题 48 1.下列命题中是假命题的是( ) A.任意向量与它的相反向量不相等 B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C.如果，那么 D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 对于A，零向量的相反向量是它本身，故A是假命题； 对于B，空间向量不能比较大小，故B是真命题； 对于C，如果 ，那么 ，故C是真命题； 对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故D是真命题.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 2.[2026·广东江门高二阶段考]在空间四边形 中， ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 3.若空间向量，不共线，且，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.6 [解析] 空间向量，不共线，且 ， 解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 4.下列条件中，能说明空间中不重合的三点，， 共线的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，在空间中恒有，不能说明，， 三点共线，故A错误； 对于B，若，则 ，而恒成立，不能说明，， 三点共线，故B错误； 对于C，若，则，， 三点共线，故C正确； 对于D，若，则线段的长度与线段 的长度相等，不一定有，， 三点共线，故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 5.若，， 是空间一组不共面的向量，则下列不共面的一组向量为 ( ) A.，， B.，， C.，， D.，， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 对于A选项，，所以， ， 是共面向量； 对于B选项，，所以， ，是共面向量； 对于C选项， ，所以，， 是共面向量； 对于D选项，令，显然，无解，故，， 不是共面向量.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 6.（多选题）[2026·桂林高二期末]如图，已知四面体 中，点，分别是， 的中点，则下列等式正确 的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] ，故A正确； ，故B错误； ， 故C正确； ，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 7.如图所示，在三棱柱中， 与是______向量，与 是______向 量.（用“相等”“相反”填空） 相等 相反 [解析] 在三棱柱中，四边形 是平行四边形，则，即与是相等向量； 四边形 是平行四边形，则，即与 是相反向量. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 8.已知空间向量，， ，化简 _______________． [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 9.（13分）如图，在三棱柱中，是 的中点，化简 下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1） ； 解：连接，易知 ，如图①所示. ① 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 9.（13分）如图，在三棱柱 中，是 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到 的向量： （2） ； 解：连接，因为是 的中点，所以 . 又，所以 ， 所以 ，如图②所示. ② 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 9.（13分）如图，在三棱柱中，是 的中点，化简 下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （3） . 解： ，如图③所示. ③ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 10.如图，在四面体中，是棱的中点，是棱 上一点， 且，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 连接，由题意得 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 11.［教材P6练习第5题改编］已知， 分别为正方体 的上底面和侧面 的中心，若 ，则( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，连接，， ，由题意得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 又，所以， ，只有D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 12.（多选题）已知为平面 外一点，则在下列条件中，不能使 空间中四点，，， 共面的是( ) A. B. C. D. [解析] 为平面外一点，空间中四点，，， 共面的充要条件是，其中 . 对于A，因为，所以A中条件不能使空间中四点，，， 共面; √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 对于B，因为 ，所以B中条件不能使空间中四点 ，，，共面; 对于C，因为 ，所以，易知，， 为共面向量，所以空间中四点，，，共面，所以C中条件能使空间中四点，，， 共面; 对于D，因为 ，所以，又 ，所以D中条件不能使空间中四点，，，共面.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在正四棱锥中，过点 作一个 平面分别交棱，，于点，， ，若 ，，则 __. [解析] 设 ，则， 因为，，， 四点共面，所以，解得，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 14.（15分）如图，在正方体中，在 上，且，在体对角线 上，且 .设，， . （1）用，，表示 ； 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 14.（15分）如图，在正方体 中， 在上，且， 在体对角线上， 且.设， ， . （2）求证：，， 三点共线. 证明：连接. ， ，， ， ， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 ， 又由（1）知， ，又与有公共点，，， 三点共线. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，几何体为三棱柱， 为空间中一点，且满足 ， ， ，则下列说法错误的是( ) A.当时，点在棱 上 B.当 时，点在线段 上 C.当时，点在棱 上 D.当时，点在线段 上 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 对于A，当时， ，，所以，则点在棱 上，故A中说法正确； 对于B，连接，当 时，， ，即，即，所以点在线段 上，故B中说法错误； 对于C，当时，， ，所以，所以 ，即，所以点在棱 上，故C中说法正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 对于D，当 时， ，，所以 ，即，即，所以点 在线段 上，故D中说法正确.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图所示，已知几何体 是 平行六面体. （1）化简（用 表示），并点明， 的具体位置； 解：如图，取的中点，在 上取一点，使得，连接，则 . （与 相等的向量都对） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 16.（15分）如图所示，已知几何体 是平行六面体. （2）设是底面的中心， 是侧面的 对角线上一点，且 ， 设，试求 ，， 的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 解：如图，连接，则为 的中点，所以 ，故，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 $