阶段验收（六） 3.2 双曲线（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

阶段验收（六）　3.2　双曲线 1.C　由已知得，双曲线的顶点（±a，0）到渐近线bx±ay＝0的距离d＝＝，故＝，e＝＝2.故选C. 2.C　由题意知，双曲线的方程为－＝1，椭圆的标准方程为＋＝1， 椭圆的焦点在x轴上，且a2＝24，b2＝18，所以c2＝a2－b2＝6. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以m＞0，且m＋m＝c2＝6，解得m＝3. 3.C　因为PF1⊥PF2，所以＝·｜PF1｜｜PF2｜＝8，即｜PF1｜｜PF2｜＝16， 由双曲线定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，所以＋－2｜PF1｜｜PF2｜＝4a2， 即＋＝4a2＋32， 又＋＝4c2，所以4a2＋32＝4c2， 所以4b2＝32，解得b＝2. 故选C. 4.C　依题意，PF1⊥PF2，双曲线C：－＝1的半焦距c＝， 由cos∠PF2F1＝，得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝，则｜PF1｜＝，而｜PF1｜－｜PF2｜＝2a， 于是c＝5a，即5a＝，解得a＝，c＝，而点O是线段F1F2中点， 所以点O到直线PF1的距离为｜PF2｜＝＝. 故选C. 5.B　根据题意，F（0，－2）是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），且M（x1，y1），N（x2，y2）. 由已知条件易得直线l的斜率k＝kPF＝＝1，则有＝1， 变形可得y1－y2＝x1－x2.因为M，N两点在双曲线上，所以 两式相减得－＝0.又因为MN的中点为P（3，1）， 所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，化简得b2＝3a2. 又因为c＝2，所以a2＋b2＝4，解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线的方程为y2－＝1. 故选B. 6.A　在△F1PF2中， 由e＝＝＝ ＝＝ ＝·. 因为θ∈，所以＋θ∈， 所以cos∈，所以e∈.故选A. 7.BD　曲线C1：4x2＋3y2＝48整理得＋＝1， 则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中＝16，＝12， 所以＝－＝4，离心率为e1＝＝＝， 故曲线C1的长轴长2a1＝8，故A错误； 曲线C2：x2－＝1是焦点在x轴上的双曲线，其中＝1，＝3， 所以＝＋＝4，离心率为e2＝＝＝2，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误； C2：x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，故B正确； 又e1·e2＝×2＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确. 8.ACD　由题知A（－，0），B（，0），焦点为（±3，0）， 以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆，其参数a＝3，c＝， 则方程为＋＝1，则A正确； 由方程知双曲线C的离心率为＝，则B错误； 令P（m，n），则Q（m，－n），则kAPkBQ＝·＝－， 又－＝1，则n2＝4，则kAPkBQ＝－＝－，则C正确； 由双曲线渐近线方程为y＝±x，即2x±y＝0，则焦点到渐近线的距离为＝2，则D正确.故选A、C、D. 9.2　解析：双曲线－＝1，则a2＝4，b2＝5， 所以c＝＝＝3，所以双曲线的右焦点为（3，0）， 所以右焦点（3，0）到直线y＝2x＋4的距离为＝＝2. 10.　解析：由题意可知PF1⊥PF2，∴＋＝. 在双曲线中，设｜PF1｜＝t（t＞2a），则｜PF2｜＝t－2a，｜F1F2｜＝2c， 又∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，即t＋t－2a＝×2c，∴t＝c＋a. 由＋＝，可得t2＋（t－2a）2＝（2c）2，即t2－2at＋2a2－2c2＝0， ∴－2a＋2a2－2c2＝0， 即c2＋ac＋a2－ac－2a2＋2a2－2c2＝0， ∴a2＝c2，即＝，＝＝. 所以所求渐近线的斜率为. 11.解：（1）不妨设双曲线的一个焦点坐标为（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，即bx＋ay＝0， 依题意＝1，结合c2＝a2＋b2，解得b＝1.（2分） 又离心率e＝＝＝，所以a2＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1.（4分） （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意得x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 又－＝1，－＝1，两式相减得－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，（7分） 所以kAB＝＝＝＝1.（9分） 又直线l过点M（4，1），所以直线l的方程为y－1＝x－4，（11分） 即x－y－3＝0，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.（13分） 12.解：（1）因为双曲线的实轴长为6，所以a＝3. 因为双曲线的离心率为，所以＝，解得c＝2.（3分） 由a2＋b2＝c2，得b＝，则C的方程为－＝1.（4分） （2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），因为直线l过定点B（－2，0），显然直线l不垂直于y轴，则设直线l：x＝my－2（m≠±）， 联立方程组消去x得（m2－3）y2－4my－5＝0.（8分） 由Δ＝16m2＋20（m2－3）＞0，得m2＞， 则y1＋y2＝，y1y2＝.（10分） 因为A为双曲线C的左顶点，所以A（－3，0）， 直线AE的斜率kAE＝，直线AF的斜率kAF＝，（12分） 所以kAE·kAF＝ ＝ ＝ ＝＝＝，（14分） 即直线AE与AF的斜率之积为定值.（15分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段验收（六）　3.2　双曲线 （时间：60分钟　满分：80分） 　 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则C的离心率为（　　） A. B.2 C.2 D.5 2.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆3x2＋4y2＝72有相同的焦点，则实数m的值为（　　） A.－6 B.－3 C.3 D.6 3.已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为C上一点，PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于8，则b＝（　　） A. B.2 C.2 D.4 4.已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若cos∠PF2F1＝，则点O到直线PF1的距离为（　　） A. B.1 C. D.2 5.若双曲线的中心为原点，F（0，－2）是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P（3，1），则双曲线的方程为（　　） A.－y2＝1 B.y2－＝1 C.－x2＝1 D.x2－＝1 6.已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝，设∠PF1F2＝θ，当θ的范围为时，双曲线C离心率的取值范围为（　　） A. B. C.（1，） D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知曲线C1：4x2＋3y2＝48，C2：x2－＝1，则（　　） A.C1的长轴长为4 B.C2的渐近线方程为y＝±x C.C1与C2的焦点坐标相同 D.C1与C2的离心率互为倒数 8.双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A，B，P，Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列选项正确的是（　　） A.以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为＋＝1 B.双曲线C的离心率为 C.直线AP与BQ的斜率之积为－ D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9.双曲线－＝1的右焦点到直线y＝2x＋4的距离为　　　　. 10.双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，则双曲线渐近线的斜率为　　　　. 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.（13分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线l交双曲线C的右支于A，B两点，交x轴于点D，且线段AB的中点为M（4，1），O为原点. （1）求双曲线C的方程； （2）求直线l的方程. 12.（15分）（2026·浙江宁波五校联考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点B（－2，0），且与双曲线C交于E，F两点. （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $