3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，分层设计从概念辨析到综合应用，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三阶路径，培养抽象能力、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|实轴虚轴、焦点、渐近线|选择辨析概念，如第1题方程化为标准式求轴长| |中档|离心率、等轴双曲线、方程求法|填空与解答结合，如第8题构造满足多条件双曲线方程| |拔高|焦点三角形、实际应用、新定义|复杂情境与逻辑推理，如第11题冷却塔旋转曲面问题|

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则该双曲线的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.实轴长为4,虚轴长为2 B.实轴长为8,虚轴长为4 C.实轴长为2,虚轴长为4 D.实轴长为4,虚轴长为8 2.[2026·云南师大附中高二期中] 双曲线E:x2-=1(b>0)的一个焦点为F(-2,0),则E的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x 3.[2025·武汉六中高二月考] 已知等轴双曲线过点(2,1),则该双曲线的方程为 (　 ) A.x2-y2=1 B.x2-y2=5 C.x2-y2=3 D.y2-x2=3 4.已知双曲线C:-=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有 (　 ) A.相同的焦点 B.相同的实轴长 C.相同的离心率 D.相同的渐近线 5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为e,则下列说法中正确的为 (　 ) A.越大,双曲线开口越小 B.越小,双曲线开口越大 C.e越大,双曲线开口越大 D.e越小,双曲线开口越大 6.(多选题)[2026·渭南高二期中] 已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的上、下焦点,且C的实轴长等于虚轴长的2倍,则 (　 ) A.m=2 B.C的顶点坐标为(±2,0) C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为y=±2x 7.已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为　　　　,C的焦点到其渐近线的距离是　　　　.  8.写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为　　　　.  ①中心在原点,焦点在y轴上;②两条渐近线互相垂直;③焦距大于2. 9.(13分)求下列双曲线的标准方程. (1)与双曲线-=1有共同的渐近线,并且经过点(,-1); (2)等轴双曲线C与椭圆+=1有公共的焦点; (3)双曲线C的渐近线方程为y=±x,两顶点间的距离为6. 10.[2026·南通高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,|PF1|=3|PF2|且2|OP|=|F1F2|(O为坐标原点),则双曲线的离心率为 (　 ) A. B.2 C. D. 11.如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 (　 ) A. cm B. cm C. cm D. cm 12.(多选题)[2026·湖北武昌实验中学高二检测] 已知焦点在y轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实轴长与圆O的半径相等,C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P,Q,M,N四点,且|PQ|=,则 (　 ) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的焦距为 C.|PN|= D.四边形PQMN的面积为2 13.[2025·深圳中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是　　　　.  14.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程; (2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率. 15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若=+λ,则下列结论正确的是 (　 ) A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30° B.双曲线的离心率e= C.λ= D.点I的横坐标为定值a 16.(15分)对于双曲线C1:-=1(a>0,b>0),定义C2:+=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B. (1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程; (2)若双曲线C1:-=1,C1的弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.B　[解析] 双曲线方程x2-8y2=32可化为-=1,可得a=4,b=2,所以该双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B. 2.C　[解析] 依题意得a=1,由F(-2,0)为双曲线的一个焦点,得c2=b2+1=4,所以b=,故E的渐近线方程为y=±x.故选C. 3.C　[解析] 设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(2,1)的坐标代入等轴双曲线的方程可得λ=22-12=3,则该双曲线的方程为x2-y2=3.故选C. 4.D　[解析] 当m>0时,-=m可化为-=1,∴ a=2,b=,c=,焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为,渐近线方程为y=±x;当m<0时,-=m可化为-=1,∴ a=,b=2,c=,焦点在y轴上,实轴长为2,离心率为,渐近线方程为y=±x.∴这些双曲线有相同的渐近线.故选D. 5.C　[解析] 对于A,越大,双曲线开口越大,故A错误;对于B,越小,双曲线开口越小,故B错误;对于C,由e==知,e越大,则越大,双曲线开口越大,故C正确;对于D,e越小,则越小,双曲线开口越小,故D错误.故选C. 6.CD　[解析] 由题意可知m∈(0,5),a2=m,b2=5-m,2a=2×2b,即a=2b,∴a2=4b2,即m=4(5-m),∴m=4,A选项错误;∵a2=4,∴a=2,∴C的顶点坐标为(0,±2),B选项错误;∵a=2,b=1,∴c==,∴e==,C选项正确;∵a=2,b=1,且双曲线的焦点在y轴上,∴渐近线方程为y=±x=±2x,D选项正确.故选CD. 7.(3,0)　　[解析] 由双曲线C的方程知,a=,b=,则c==3,所以双曲线C的右焦点的坐标为(3,0).双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=. 8.-=1(答案不唯一)　[解析] 由①可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由②可得渐近线方程为y=±x,则-=-1,所以a=b,由③可得2c>2,所以c>1,可取a=b=,所以双曲线方程为-=1. 9.解:(1)因为所求双曲线与双曲线-=1有共同的渐近线,所以设所求双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0), 又因为所求双曲线经过点(,-1),所以-=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为-y2=1. (2)由椭圆+=1可得其半焦距c==2,且椭圆的焦点在x轴上,故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),依题意,a2+a2=4,可得a=,故双曲线C的方程为x2-y2=2. (3)当双曲线C的焦点在x轴上时, 设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0), 则解得 所以双曲线C的方程为-=1; 当双曲线C的焦点在y轴上时,设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),则解得 所以双曲线C的方程为-=1. 综上,双曲线C的方程是-=1或-=1. 10.C　[解析] 因为2|OP|=|F1F2|,所以|OP|=|OF1|=|OF2|=c,可知PF1⊥PF2.不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,故|F1F2|=2c=.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,所以e===.故选C. 11.C　[解析] 根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,所以设双曲线上的点A(3,y1),B(4,y2),且y1-y2=8.由两式相减得==,又双曲线的离心率为3,所以==e2-1=8,所以b2=8a2,代入可得=,得y2+y1=-7,所以y1=,将代入双曲线方程可得-=1,得a=,所以2a=,即冷却塔的最小直径为 cm,故选C. 12.ACD　[解析] 如图,由双曲线C是等轴双曲线,可知C的渐近线方程为y=±x,故A正确;设等轴双曲线C的方程为-=1(a>0),以实轴长2a为半径的圆O的方程为x2+y2=4a2,两方程联立消去y2可得x2+a2+x2=4a2,即x2=a2,解得x=±a,因为|PQ|=,所以2×a=,解得a=1,则b=a=1,c2=a2+b2=2,可得c=,则C的焦距为2,故B错误;等轴双曲线C的方程为y2-x2=1,以实轴长2a=2为半径的圆O的方程为x2+y2=4,两方程联立消去x2可得y2-1+y2=4,解得y=±,故|PN|=2×=,故C正确;根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性,可知四边形PQMN是矩形,故其面积为|PQ||PN|=×=2,故D正确.故选ACD. 13.　[解析] 设P(x,y),则由|PB|≥b得≥b,整理得x2+y2-2by≥0(*).由-=1得x2=a2,代入不等式(*)中,化简得y2-2by+a2≥0恒成立,则Δ=4b2-≤0,即b4≤a2c2,即b2≤ac,即c2-a2≤ac,可得e2-e-1≤0,解得≤e≤,又e>1,所以1<e≤. 14.解:(1)因为A(0,b),△AF1F2的面积为a2, 所以×2c×b=a2,即(a2+b2)b2=2a4,所以+=2,解得=1或=-2(舍去), 所以=1,所以双曲线C的渐近线方程是x±y=0. (2)因为以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P, 所以|F1O|=|OP|=c,所以|F1P|=|OP|=c, 在△POF1中,由余弦定理可得cos∠POF1===-,所以∠POF1=,则∠POF2=,所以=, 即b=a,所以3a2=b2=c2-a2,所以c2=4a2,所以e==2,所以双曲线C的离心率为2. 15.BCD　[解析] 当PF2⊥x轴时,|PF2|==|F1F2|,此时tan∠PF1F2=,故A错误;∵|F1F2|=,∴2c==,整理得e2-e-1=0,又e>1,∴e=,故B正确;设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,=|PF1|·r,=|PF2|·r,=×2cr=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,故λ====,故C正确;设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,则|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,∴T的坐标为(a,0),即I的横坐标为定值a,故D正确.故选BCD. 16.解:(1)因为c1=,c2=,所以由c1=2c2,可得a2+b2=4(a2-b2), 即3a2=5b2,所以=,所以双曲线C1的渐近线方程为y=±x. (2)设P(x0,y0),则Q(x0,-y0),x0≠±2, 因为A(-2,0),B(2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),直线QB的方程为y=(x-2),联立直线PA与直线QB的方程可得x0=,y0=,代入-=1,可得-=1,化为+=1, 所以动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2). 学科网（北京）股份有限公司 $