2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步作业 （限时：45分钟） 1．已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 3．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 4．已知圆与圆交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 7．已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（多选）记圆，圆，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，圆的面积大于圆的面积 C．当时，圆与圆相切 D．当时，点到圆上一点距离的最大值为5 9．（多选）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有两条公切线 10．（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 12．若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 13．设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 14．已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 15．已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步作业 （限时：45分钟） 1．已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 根据两点间距离公式得，且，，， 所以与的位置关系为相交. 2．已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 3．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 4．已知圆与圆交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到交线的方程，利用点到直线的距离求出到的距离，再根据勾股定理求出，扩大两倍即可求出的值. 【详解】联立圆的方程和圆的方程，得， 两式相减得交线的方程为， 圆的圆心坐标为，半径为，设到交线的距离为， 而，则. 5．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 6．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 7．已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】解法一：由知，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得到圆和圆有公共点（相交或相切），结合圆和圆的位置关系求解即可；解法二：设，,由化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】解法一：由知， 则点在以为直径的圆上，即以原点为圆心，为半径的圆上． 又点在圆上，所以圆和圆有公共点（相交或相切）， 由圆：，得其圆心，半径为1， 则两圆圆心距，需满足，解得， 则的最大值为6. 解法二：设，, 则， 则 ，其中，即， 因为，所以， 又，则，即的最大值为6. 8．（多选）记圆，圆，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，圆的面积大于圆的面积 C．当时，圆与圆相切 D．当时，点到圆上一点距离的最大值为5 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到其圆心与半径，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】对于A选项，显然圆可化为， 可得点坐标为，故A正确； 对于B选项，圆的面积为，圆的面积为， 当时，显然圆的面积小于圆的面积，故B错误； 对于C选项，时，圆的半径为3，此时， 二者内切，故C正确； 对于D选项，此时圆的半径为4，可得点到圆上一点距离的最大值，故D错误. 9．（多选）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【分析】A按参数分离求出直线恒过的定点；B写出圆心到直线的距离后取举反例否定；C把直线化为"过定点斜率"的形式，讨论斜率与第三象限的关系；D把第二个圆化为标准方程，由圆心距与半径和、差的大小关系判断两圆位置，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程按整理得， 令且，解得、，所以直线恒过定点，A正确. 对于B，圆心到直线的距离为. 取，得，此时直线与圆没有交点，B错误. 对于C，由得. 若，则时随的减小而增大，其最小值在处为， 要使直线不进入第三象限（即时），需，解得； 若，则斜率，当时，直线必经过第三象限. 所以不经过第三象限等价于，C正确. 对于D，圆, 即，其圆心为、半径为. 两圆圆心距为，而两圆半径都是， 由知两圆相交，恰有两条公切线，D正确. 所以正确的是A、C、D. 10．（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】对于ABC，根据各自的几何意义找到几何背景，由几何直观得到最值即可；对于D，利用三角换元，求得最值即可. 【详解】由，可得, 即曲线为圆心为，半径为2的圆. 对于A，几何意义为曲线到原点距离平方最大值， 所以当时，曲线到原点距离平方最大，最大值为9，A正确. 对于B，几何意义为曲线上的点与连线的斜率的最大值， 如下图所示，当过的直线与圆相切时，斜率有最大值， 设直线方程为， 则，即，解得或， 由图可知，的最大值是. 对于C，几何意义为曲线上与直线有交点时，直线截距的最大值， 如图，当直线与圆相切时，直线截距有最大值. 此时有，解得或（舍去）， 所以的最大值是，C正确. 对于D，设， 则可化为 因为，所以， 故的最小值是，D错误. 11．已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 12．若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 13．设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 14．已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. （3）设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 15．已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 【答案】(1)或 (2) (3)（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． （2）设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． （3）略 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $